平面直角坐標(biāo)系中的圖形變換

各地中考試卷中關(guān)于坐標(biāo)系中的圖形變換問(wèn)題主要是將圖形的位置坐標(biāo)化，通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究與圖形的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題，主要考查同學(xué)們數(shù)與形的轉(zhuǎn)換能力和綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，下面舉例介紹.

一、對(duì)稱變換

1.關(guān)于 x 軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

2.關(guān)于 y 軸對(duì)稱：縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

3.關(guān)于直線對(duì)稱：（1）關(guān)于直線 x=m 對(duì)稱， P（a，b）?P（2m-a，b） ;（2）關(guān)于直線y=n 對(duì)稱， P（a，b）?P（a，2n-b）

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 ABCD 的邊 AB 在 x 軸上，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （-2，0） ，點(diǎn) E 在邊 CD 上.將 ΔBCE 沿 BE 折疊，點(diǎn) C 落在點(diǎn) F 處.若點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（0，6），則點(diǎn) E 的坐標(biāo)為

解析：由正方形的性質(zhì)得 AD=AB=CD=CB ，由折疊得 FB=CB，F(xiàn)E=CE

設(shè) CD 交 y 軸于點(diǎn) G，AD=AB=CB=CD=m ，則 BF=OG=m

由 A（-2，0），F(xiàn)（0，6） ，得 OA=GD=2，OF=6 在 RtΔBOF 中，由勾股定理得 （m-2）²+6²=m² 解得 m=10 ，則 AD=OG=CD=10

由 GE²+FG²=FE² ，得 GE²+4²=（8-GE）²

解得 GE=3 ，則可得點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（3，10）.

故填（3，10）.

二、平移變換

平移變換與坐標(biāo)變化：（1）向右平移 Ψ_a 個(gè)單位長(zhǎng)度，坐標(biāo) P（x，y）?P（x+a，y） ：（2）向左平移 a 個(gè)單位長(zhǎng)度，坐標(biāo) P（x，y）?P（x-a，y） ;（3）向上平移 b 個(gè)單位長(zhǎng)度，坐標(biāo) P（x，y）?P（x，y+b） ;（4）向下平移 b 個(gè)單位長(zhǎng)度，坐標(biāo) P（x，y）?P（x，y-b）

例2平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn) A 向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn) A^′（2，1） ，則點(diǎn) A的坐標(biāo)是（ ）.

A. （5，1） B.（2，4） C.（-1，1） D.（2，-2）

解析：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)平移的規(guī)律：“橫坐標(biāo)，右移加，左移減;縱坐標(biāo)，上移加，下移減”，可得點(diǎn) A 坐標(biāo)為（-1，1）.

故選C.

例3如圖2，點(diǎn) A（0，-2），B（1，0） ，將線段 AB 平移得到線段 DC ，若 ∠ABC=90^° ， BC=2AB ，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)是

解析：如圖3，過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥y 軸于點(diǎn) E ，首先利用點(diǎn) ^A，B 的坐標(biāo)表示出線段 OA ，OB 的長(zhǎng)，然后利用平移的性質(zhì)和矩形的判定定理得到四邊形 ABCD 是矩形；最后利用相似三角形的判定與性質(zhì)，由點(diǎn)的坐標(biāo)表示出 DE，AE 的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到 OE 的長(zhǎng)度.

易得

??DE=2OA=4，AE=2OB=2，??OE=OA+AE=4，??D（4，-4）. （2號(hào) 故填（4，-4）.

三、旋轉(zhuǎn)變換

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（a，b） 繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 得點(diǎn) A^′ 的坐標(biāo)為 （-b，a） 點(diǎn) A（a，b） 繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 得點(diǎn) A^′ 的坐標(biāo)為 （b，-a） ；點(diǎn) A（a，b） 繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180^° 得點(diǎn) A^′ 的坐標(biāo)為 （-a，-b）

例4如圖4，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（-4，6），將線段 OA 繞原點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.

A.（4，6） B.（6，4） C.（-6，-4） D.（-4，-6）

解析：如圖5所示，設(shè)點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) B. 分別過(guò)點(diǎn) A 和點(diǎn) B 作 x 軸的垂線，垂足分別為 M 和 N_?rosun

由旋轉(zhuǎn)可知 ΔAOMΔΔOBN，∴BN=OM，ON=AM. ：點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （-4，6），∴BN=MO=4，ON=AM=6， ：點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（6，4）.

故選B.

例5如圖6，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形 ABC 的頂點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn) B，C 均在 x 軸上.將 ΔABC 繞頂點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30^° 得到 ΔAB^′C^′ ，則點(diǎn) C^′ 的坐標(biāo)為

解析：如圖7，作 C^′F⊥AO ，交 y 軸于點(diǎn) F ，

由題可得 OA=4 業(yè)

： ΔABC 是等邊三角形， AO⊥BC

：AO是 ∠BAC 的平分線，

在 RtΔAOC 中， AO²+OC²=AC²

即 ，解得

（20

故填

四、位似變換

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于 k 或 -k

例6如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中， ΔABC 與 ΔA^′B^′C^′ 是位似圖形，位似中心為點(diǎn) o 若點(diǎn) A（-3，1） 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A^′（-6，2） ，則點(diǎn) B（-2，4） 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B^′ 的坐標(biāo)為（ ）.

A.（-4，8） B.（8，-4） C.（-8，4） D.（4，-8）

解析：： ΔABC 與 ΔA^′B^′C^′ 是位似圖形，位似中心為點(diǎn)

o ，點(diǎn) 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 A^′（-6，2），∴ΔABC 與 ΔA^′B^′C^′ 的相似比為1：2.：點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（-2，4），：點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B^′ 的坐標(biāo)為 （-2×2，4×2） ，即（-4，8）.故選A.

拓展訓(xùn)練

1.如圖9， ΔABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（1，0），B（4，0） ，C（1，4） ，將 ΔABC 沿 x 軸向右平移，當(dāng)點(diǎn) C 落在直線 y=x-4 上時(shí)，線段 BC 掃過(guò)的面積為（ ）.

A. 24 B.18 D. 28

2.如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn) o 重合， AB/%x 軸，交 y 軸于點(diǎn) P. 將 ΔOAP 繞點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn) 90^° ，則第2026次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為.

3.如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 OABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 O（0，0） ，A（1，0），B（2，3），C（-1，2） ，若四邊形 OA^′B^′C^′ 與四邊形 OABC 關(guān)于原點(diǎn) o 位似，且四邊形 OA^′B^′C^′ 的面積是四邊形 OABC 面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn) B^′ 的坐標(biāo)為

4.如圖12，已知點(diǎn) A（3，0） ，點(diǎn) B 在 y 軸正半軸上，將線段 AB 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120^° 到線段 AC ，若點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ^{（7，h）} ，則 h=

答案：1.D 2.B 3.（4，6） （作者單位：大連市中山區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）