旋轉(zhuǎn)巧加輔助線(xiàn) 以不變應(yīng)萬(wàn)變

旋轉(zhuǎn)是中考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，中考數(shù)學(xué)中很多題都可以利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線(xiàn)來(lái)解決，常用的旋轉(zhuǎn)輔助線(xiàn)添加技巧有：（1）連接旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，構(gòu)造等腰三角形或構(gòu)造旋轉(zhuǎn)后的新圖形與原圖形之間的公共邊或公共角；（2）旋轉(zhuǎn)背景下的矩形或者正方形問(wèn)題通常作垂線(xiàn)；（3）若旋轉(zhuǎn)角度不固定，則通常先找到旋轉(zhuǎn)軌跡，再結(jié)合題中特殊條件找到符合題意的瞬間狀態(tài)進(jìn)行解答.

例1如圖1，在 ΔABC 中， ，點(diǎn) D 是 AC 的中點(diǎn)，連接 BD ，將 ΔBCD 繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)，得到 ΔBEF. 連接CF ，當(dāng) CF//AB 時(shí)，求 CF 的長(zhǎng).

分析：當(dāng)點(diǎn) F 在點(diǎn) C 的右側(cè)時(shí)，作 BG⊥CF 于點(diǎn) G ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的 圖1性質(zhì)可知 ΔDCB?ΔFEB ，根據(jù)勾股定理可以求得 BD 的值，然后再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理、銳角三角函數(shù)求得 CG 和 GF 的值，從而可以求得 CF 的值;當(dāng)點(diǎn) F 在點(diǎn)C 的左側(cè)時(shí)，同理可以求得 CF 的值.

解：點(diǎn) F 的位置有兩種情況.

① 當(dāng)點(diǎn) F 在點(diǎn) C 的右側(cè)時(shí)，作 BG⊥CF 于點(diǎn) G ，如圖2所示.： ，點(diǎn) D 是 AC 的中點(diǎn)，（204號(hào) （24（204 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 ΔDCB?ΔFEB ，（204 ∵CFNAB，∴∠BCG=∠ABC=45^°，∴ΔBCG 是等腰直角三角形，∴CG=2，BG=2. （204號(hào)

② 當(dāng)點(diǎn) F 在點(diǎn) C 的左側(cè)時(shí)（如圖2中的點(diǎn) F^′ ），同理可得，

： CF 的長(zhǎng)為 或

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是找到點(diǎn) F 的位置，依據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知 BF=BD ，因此點(diǎn) F 的軌跡是以點(diǎn) B 為圓心，以 BD 長(zhǎng)為半徑的圓.依據(jù)已知條件 CF//AB 可作出點(diǎn) F 所在的直線(xiàn)，圓與直線(xiàn)的交點(diǎn)即為點(diǎn) F 的具體位置.

例2如圖3，在矩形 ABCD 中，點(diǎn) P 在 BC 邊上， 連接 PA ，將 PA 繞點(diǎn) P 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 得到 PA^′ ，連接 CA^′ ，若 ，求 BP 的長(zhǎng).

分析：過(guò)點(diǎn) A^′ 作 A^′H⊥BC 于點(diǎn) H ，如圖4.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 PA=PA^′ ，再證明 ΔABP?ΔPHA^′ 得到PB=A^′H，PH=AB=5. 設(shè) PB=x ，則 A^′H=x，CH=4- x ，然后在 RtΔA^′CH 中利用勾股定理得到 x²+（4- ，解方程求出 x 即可.

解：過(guò)點(diǎn) A^′ 作 A^′H⊥BC 于點(diǎn) H ，如圖4.

：四邊形ABCD為矩形，

∴BC=AD=9，∠B=90^°.

：將 PA 繞點(diǎn) P 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 得到 PA^′

?.PA=PA^′

∵∠PAB+∠APB=90^°，∠APB+∠A^′PH=90^°， ∴∠PAB=∠A^′PH. （204號(hào)

在 ΔABP 和 ΔPHA^′ 中，

∴ΔABP?ΔPHA^′（AAS），

∴PB=A^′H，PH=AB=5

設(shè) PB=x ，則 A^′H=x，CH=4-x.

在 RtΔA^′CH 中，

解得 x₁=x₂=2 ，即 BP 的長(zhǎng)為2.

點(diǎn)評(píng)：本題屬于線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，由于背景圖形是矩形，且旋轉(zhuǎn)角度是 90^° ，因此輔助線(xiàn)以垂線(xiàn)為主.

例3在平面直角坐標(biāo)系中，已知 ，將點(diǎn) N 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45^° 得到 N^′ ，求點(diǎn) N^′ 的坐標(biāo)，

分析：如圖5，過(guò)點(diǎn) N 作 NA⊥x 軸于點(diǎn) A ，過(guò)點(diǎn) N^′ 作 N^′B⊥x 軸于點(diǎn) B ，交 ON 于點(diǎn)

C ，過(guò)點(diǎn) N^′ 作 N^′D⊥ON 于點(diǎn) D ，根據(jù)勾股定理求出 ON 的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 的長(zhǎng)，由 ∠NON^′=45^° 得出 ΔODN^′ 是等腰直角三角形，由勾股定理求出 OD，N^′D 的長(zhǎng).設(shè) BC=a ，根據(jù)tan 用含 a 的式子表示出 ?OB ， 的長(zhǎng)，即可求出 a 的值.在 RtΔCDN^′ 中，由勾股定理求得 N^′C 的長(zhǎng)，即可得到N^′B 的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn) N^′ 的坐標(biāo).

解：如圖5，過(guò)點(diǎn) N 作 NA⊥x 軸于點(diǎn) A ，過(guò)點(diǎn) N^′ 作 N^′B⊥x 軸于點(diǎn) B ，交 ON 于點(diǎn) C ，過(guò)點(diǎn) N^′ 作 N^′D⊥ON 于點(diǎn) D

在 RtΔOAN 中，由勾股定理得 在 RtΔOAN 中， ，：.tan 即 （20設(shè) BC=a ，則 OB=2a 由勾股定理得 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ， ∠NON^′=45^° ∴ΔODN^′ 是等腰直角三角形.由勾股定理得 ，（2 ： ∴∠N^′DO=∠N^′BO=90^°，∠N^′CD=∠BCO，∴∠DN^′C=∠BOC， ：tan 即 （20號(hào)： a=1 ，即 在 RtΔCDN^′ 中，由勾股定理得 ，（20 ∴N^′B=N^′C+BC=5+1=6， ：點(diǎn) N^′ 的坐標(biāo)為（2，6）.

點(diǎn)評(píng)：本題背景是平面直角坐標(biāo)系，屬于旋轉(zhuǎn)后求點(diǎn)坐標(biāo)，求解時(shí)要想到向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn).因?yàn)樾D(zhuǎn)角度是 45^° ，屬于特殊角度，故而聯(lián)想等腰直角三角形，由于0N的長(zhǎng)度已知，因此嘗試以 ON 為邊構(gòu)造等腰直角三角形.

總結(jié)：旋轉(zhuǎn)輔助線(xiàn)的添加口訣為“連接旋轉(zhuǎn)兩對(duì)應(yīng)，旋轉(zhuǎn)圓上找交點(diǎn)，平行垂直加 等腰，構(gòu)造全等或相似”.

（作者單位：沈陽(yáng)市渾南區(qū)第五初級(jí)中學(xué)）