用分類討論思想探討特殊四邊形

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時(shí)，就需要對(duì)其進(jìn)行分類討論.分類討論問題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，下面介紹分類討論思想在解特殊四邊形問題中的應(yīng)用.

知識(shí)梳理

特殊四邊形問題需要分類討論，主要有以下3個(gè)原因：

（1）特殊四邊形種類多，每個(gè)類型都有其獨(dú)特的性質(zhì)和判定條件；（2）當(dāng)問題條件指向不唯一時(shí)，需要分類討論；（3）涉及四邊形的幾何變換（如平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等）和位置關(guān)系（如相鄰、相交、平行等）時(shí)，由于變換和位置關(guān)系的多樣性，需要進(jìn)行分類討論.

典例分析

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠ABC 的平分線交 AD 于點(diǎn) E，∠BCD 的平分線交 AD 于點(diǎn) F. 若動(dòng)點(diǎn) P 以 1cm/s 的速度從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BC 向終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 以 2cm/s 的速度從點(diǎn) C 出發(fā)，沿 CB 向終點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也將停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) 時(shí)，以點(diǎn) P，Q，E，F(xiàn) 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

思路點(diǎn)撥：由平行四邊形的性質(zhì)得 AB=CD=8cm，AD=BC=12cm，AD/BC ，又可知 AB=AE=8cm，CD=DF=8cm ，得 EF=4cm 當(dāng) PQ=EF 時(shí)，以點(diǎn) P，Q，E，F(xiàn) 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ts 業(yè)

① 當(dāng)四邊形 PQEF 為平行四邊形時(shí)， 12-t-2t=4 ，解得 中② 當(dāng)四邊形QPEF為平行四邊形時(shí)， 2t+t-12=4 ，解得 綜上所述，點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 s或 S.

例2正方形ABCD中，分別以點(diǎn) δ_C，D 為圓心， CD 長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) P 則 ∠APB 的度數(shù)是

思路點(diǎn)撥： ① 如圖2，當(dāng)點(diǎn) P 在正方形 ABCD 內(nèi)時(shí)， ΔDPC 為等邊三角形， ΔADP 和 ΔBCP 為頂角等于 30^° 的等腰三角形，則 ∠APB=180^°-∠ABP- ∠BAP=180^°-15^°-15^°=150^°;

② 如圖2，當(dāng)點(diǎn) P 在正方形ABCD外時(shí)，同理可得∠APB=180^°-∠ABP-∠BAP=180^°-75^°-75^°= 30^°

綜上所述， ∠APB 的度數(shù)是 150^° 或 30^°

例3若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們就把這條對(duì)角線叫作這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫作和諧四邊形.在四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90^°，AC 是四邊形ABCD的和諧線，則 ∠BCD=

思路點(diǎn)撥：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由 AC 是四邊形ABCD的和諧線，可以得出 ΔACD 是等腰三角形，分圖3、圖4、圖5三種情況進(jìn)行討論，然后運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和含 30^° 角的直角三角形性質(zhì)就可以求出 ∠BCD 的度數(shù).

∠BCD 的度數(shù)是 135^° 或 90^° 或 45^°

拓展訓(xùn)練

1.在平行四邊形ABCD中， BC 邊上的高為 4，AB=5 ， ，則平行四邊形ABCD的面積是

2.如圖6，正方形 ABCD 邊長(zhǎng)為6，點(diǎn) E 是線段 BC 上一點(diǎn)，且 BE=2 ，點(diǎn) F 是直線 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，以 EF 為邊作正方形EFGH（E，F(xiàn)，G，H 逆時(shí)針排列），連接 HA ，直線 HA 與直線 CD 交于點(diǎn) P. 若點(diǎn) A，H，P 中的任意一點(diǎn)到其余兩點(diǎn)距離相等，則 EF 的長(zhǎng)為

3.如圖7，在矩形ABCD中， AB=5cm，BC=2cm，M，N 兩點(diǎn)分別從 A，B 兩點(diǎn)以2cm/s 和 1cm/s 的速度在矩形 ABCD 邊上沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，其中有一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D 即停止，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 s時(shí)， ΔMBN 為等腰三角形.

4.如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（9，0），點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（3， ），四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn) _D，E 分別在邊 OA，BC 上，且 動(dòng)點(diǎn) P，Q 在平行四邊形 OABC 的一組鄰邊上，以點(diǎn) D，E，P，Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，其面積為

參考答案：1.20或4（分兩種情況： BC 邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部）

或 或 （分三種情況： ①AH=AP ②AH=HP ③AP=PH）

3. 或 或 （分四種情況： ① 點(diǎn) M 在 AB 上，點(diǎn) N 在 BC 上； ② 點(diǎn) M 在 BC 上，點(diǎn) N 在 CD 上； ③ 點(diǎn) M，N 都在 ΔC，D 上，此種情況不符合題意，舍去； ④ 點(diǎn) M 在 AB 上，點(diǎn) N 在 CD 上）.

或 或 （過點(diǎn) C 作 CH⊥OA 于點(diǎn) H ，根據(jù) A，C 兩點(diǎn)坐標(biāo)可得 _D，H 重合，動(dòng)點(diǎn) P，Q 在平行四邊形 OABC 的一組鄰邊上，以點(diǎn) D，E，P，Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，有以下3種情況： ① 如圖9，點(diǎn) P 在 上，點(diǎn) Q 在 BC 上，且點(diǎn) P 與點(diǎn) o 重合， DE 是對(duì)角線； ② 如圖10，點(diǎn) Q 在 上，點(diǎn) P 在 OA 上，且點(diǎn) C 與點(diǎn) Q 重合； ③ 如圖11，點(diǎn) Q 在 OA 上，點(diǎn) P 在 AB 上，且點(diǎn) P 與點(diǎn) B 重合）.

（作者單位：大連市西崗區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校）