諧波齒輪柔輪齒圈結(jié)構(gòu)參數(shù)對最高負載應(yīng)力影響研究

中圖分類號：TH132.43 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.004

0 引言

諧波齒輪具有傳動比大、傳動精度高等優(yōu)點[5-6，被廣泛應(yīng)用于航空航天、機器人、精密儀表等領(lǐng)域。柔輪的疲勞強度決定著諧波齒輪的工作壽命，柔輪齒圈負載應(yīng)力的強度分析是保證諧波齒輪正常傳動的前提。因此，對齒圈負載應(yīng)力的研究尤為重要。

為研究柔輪齒圈應(yīng)力，沈允文等[4]205-213基于等厚度殼體理論提出了空載狀態(tài)下柔輪變形與應(yīng)力簡化模型。付軍鋒等5建立了杯形柔輪與波發(fā)生器接觸分析的有限元模型，得到齒圈上沿圓周方向的應(yīng)力呈對稱分布的特征。邢靜忠等考慮配合間隙和中面伸長，研究了橢圓波發(fā)生器作用下齒圈變形和內(nèi)力。為研究輪齒對應(yīng)力的影響，YAO等[7]103871通過設(shè)計正交仿真試驗，擬合得到輪齒應(yīng)力影響系數(shù)經(jīng)驗公式。為研究負載工況的嚙合力分布規(guī)律，崔博文等以有限元初始側(cè)隙和柔度矩陣為條件，建立接觸模型，得到了嚙合力分布。MA等針對柔輪嚙合區(qū)受載變形，研究了不同轉(zhuǎn)矩下的嚙合齒對數(shù)和嚙合線長度。SAHOO等[考慮到載荷與齒體變形成正比關(guān)系，計算了接觸齒對所分擔的載荷大小。牛洪波求解分析了漸開線齒廓諧波齒輪傳動的嚙合力沿軸向的分布，發(fā)現(xiàn)中截面承受嚙合力較大，前、后截面嚙合力較小。為研究輪齒接觸載荷對應(yīng)力的影響，鄒創(chuàng)等[2將嚙合力加載到嚙合輪齒節(jié)點上，求解分析了柔輪應(yīng)力與負載的關(guān)系。劉文芝等3建立了實體單元柔輪仿真模型，利用三維彈性接觸法研究了負載狀態(tài)下柔輪齒圈、筒體應(yīng)力大小及分布規(guī)律。高海波等4利用有限元法研究了不同機型柔輪的應(yīng)力分布規(guī)律。CHEN等15建立了殼、梁單元相結(jié)合的柔輪有限元模型，研究了空載和傳動狀態(tài)下柔輪齒圈中性層、齒頂處變形和應(yīng)力分布規(guī)律。PACANA等分析了空載和額定負載下多個軸向截面處柔輪應(yīng)力分布。張育瑋等研究了空載下柔輪變形及應(yīng)力分布規(guī)律，以及結(jié)構(gòu)參數(shù)不變時柔輪齒圈空載和負載應(yīng)力變化情況。陳曉霞等[8研究了負載工況下諧波齒輪傳動的嚙合力分布及多齒嚙合狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)最大接觸壓力沿周向呈3個峰值分布，且最大值發(fā)生在有波發(fā)生器徑向支撐的中截面。上述對負載工況下柔輪齒圈應(yīng)力的研究多在有限元環(huán)境中開展，而理論計算齒圈負載應(yīng)力的相關(guān)研究較少。

為此，本文提出了一種計算齒圈負載應(yīng)力的方法，將齒圈上的齒體依據(jù)邊界條件和支承條件等效成考慮齒根倒圓的變截面梁，通過在齒頂齒寬方向中截面上施加不同負載轉(zhuǎn)矩下的最大齒間嚙合力，模擬柔輪受載情況；基于梁模型得到負載轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的附加彎曲應(yīng)力，將附加彎曲應(yīng)力與最大裝配應(yīng)力相加，得到柔輪齒圈的最高負載應(yīng)力表達；對影響負載應(yīng)力的相關(guān)參數(shù)進行量綱一化分析并得到最優(yōu)齒廓參數(shù)；最后，建立有限元模型，對最高負載應(yīng)力表達和最優(yōu)參數(shù)進行了驗證。

1柔輪齒圈接觸區(qū)空載應(yīng)力

諧波齒輪傳動中，波發(fā)生器使柔輪產(chǎn)生裝配變形的同時，產(chǎn)生裝配應(yīng)力。因此，研究負載應(yīng)力時，需要對裝配產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力進行研究。

1.1齒圈接觸力學模型

空載狀態(tài)下，齒圈內(nèi)壁與剛性凸輪外圈整周不完全貼合，會在長軸區(qū)域產(chǎn)生包角現(xiàn)象。為此，將橢圓凸輪波發(fā)生器作用下的柔輪齒圈中性層劃分為包角內(nèi)接觸區(qū)和包角外非接觸區(qū)，如圖1所示。橢圓波發(fā)生器使柔輪齒圈產(chǎn)生彎曲變形的過程等價為長軸 A 點不動，在短軸 C 點施加彎矩 M_c 和周向力 F_c 使 c 點產(chǎn)生最大徑向位移 w₀ 至 C₁ 點，且滿足點 C_ι 處法線與 x 軸重合。以 O₁ 為圓心、 r_m 為半徑的圓弧 代表變形前柔輪齒圈中線；變形后齒圈中線劃分為形狀已知的接觸區(qū) 與形狀未知的非接觸區(qū) 變形后長半軸 ρ_a=r_m+w₀ ，短半軸 ρ_b 可基于CMHPHOB公式[4]263-265得到。

1.2柔輪齒圈接觸區(qū)應(yīng)力表達

依據(jù)圖1可知，接觸區(qū)齒圈最大裝配應(yīng)力發(fā)生在產(chǎn)生最大徑向位移的長軸處。所以，本文只研究接觸區(qū)彎曲應(yīng)力。

接觸區(qū)齒圈中線為橢圓等距線，橢圓的曲率為

式中， c₁=ρ_a/ρ_b ： φ 為未變形前任意位置處的極角。

根據(jù)曲率與彎矩關(guān)系方程，接觸區(qū)的曲率變化量 χ 為

χ=M₁（φ）/EI_z=K（φ）-1/r_m

式中， M₁（φ） 為接觸區(qū)任意位置處的彎矩； E 為彈性模量； I_z 為柔輪齒圈橫截面對中性軸的慣性矩， I_z= b₁δ³/12 ； b₁ 、 δ 分別為齒圈橫截面的寬度和厚度。則

M₁（φ）=EI_z[K（φ）-1/r_m]

將式（1）代入式（3）得，接觸區(qū)的彎曲應(yīng)力 σ_φ 為

1.3考慮輪齒影響的齒圈最大裝配應(yīng)力

由于輪齒結(jié)構(gòu)會增大齒圈的彎曲剛度，同時，輪齒剛度遠大于齒槽剛度，因此，齒槽承擔了大部分的周向彎曲變形，形成齒槽部位的局部應(yīng)力集中。輪齒應(yīng)力影響系數(shù)經(jīng)驗公式[7]03871為

K_σ=0.344exp（1.243s_f/δ）+5.833（r₁/δ+ 0.482s_f/δ-0.693）²+0.886

式中， s_f 為直線段齒廓延伸線在齒根高度處得到的齒根厚度， s_f=p/（1+ν）+2h_ftanα₁ ， p 為齒距； u 為分度圓上齒槽寬與齒體寬之比； h_f 為齒根高； α_ι 為輪齒壓力角； r₁ 為齒根倒圓半徑。

通過式（4）可得到接觸區(qū)不同位置的周向彎曲應(yīng)力，將輪齒應(yīng)力影響系數(shù)與之相乘，可得到考慮輪齒結(jié)構(gòu)時齒圈空載狀態(tài)下齒槽處的最高裝配應(yīng)力。

2負載轉(zhuǎn)矩下的柔輪齒圈負載應(yīng)力

2.1嚙合力作用下的空間齒體受力

根據(jù)諧波齒輪減速器的嚙合力分布規(guī)律，分布載荷在嚙合區(qū)域中呈沿長軸近似對稱且向短軸逐漸降低的規(guī)律。以最大載荷區(qū)域中產(chǎn)生的最大應(yīng)力來進行強度計算，為簡化計算過程，假設(shè)在這個嚙合區(qū)域中某幾個齒均受到嚙合力 q 的作用。其中，嚙合力周向分力 q_t 與齒圈截面中的剪力流 S 相平衡。單個齒體的受力如圖2所示。

圖2中，坐標系 O₂-xns 的坐標原點在齒圈中面上。齒體受到的外力有：嚙合力 q 、波發(fā)生器引起的支承反力 F_wg ，內(nèi)力有：對稱截面上的彎矩M、橫剪力 F_s 、法向力 F_N 、剪力流 S

2.2化簡后的平面齒體受力

所有的內(nèi)力和外力沿線性單位尺寸均勻分布，則可用平面矩形齒體計算模型（圖3）代替空間模型。在齒體左右對稱截面上所有的內(nèi)力均相等，即：F_N1=F_N2=F_N，F(xiàn)_S1=F_S2=F_S，M₁=M₂=M_yyo （204號

將周向分力 q_t 等效到 s 軸，需附加力矩

M_q=q_t（h+δ/2）

式中， h 為齒全高。

則引起彎曲變形的力和力矩平衡條件（圖3）分別為

式中， s₁ 和 s₂ 分別為力 q_r 和 F_wg 的水平位置。

聯(lián)立式（6）和式（7）得，剪力 F_s 為

齒距任意處的彎矩為

撓度 w（s） 與彎矩 M（s） 的關(guān)系為

圖3中，因式（9）表示的彎矩以及各區(qū)段厚度不同，假設(shè)矩形齒體厚度為 δ+h₀（h₀ 為等效齒高，可根據(jù)等效剛度條件[1143-145得到），齒槽處厚度為 δ ，即 I_x1 和I_x2 不同，按兩區(qū)間段分別求解式（10），可得4個積分常數(shù) C_ν C₂ 、 C₃ 和 C₄ （除未知的 M_yr 和 s₂） 。這6個未知量可根據(jù)齒體位移邊界條件、齒體與齒槽區(qū)段連接條件和波發(fā)生器支承反力 F_wg 作用點處支承條件來確定。

因 q_r 和 F_wg 產(chǎn)生的力矩差值很小，故在整個齒距 p 上的彎矩為

M（s）=M_yo-F_s（p-s），0?s?p

式中， F_s=q_t（h+δ/2）/p 。

將式（11）代入式（10），并通過兩次積分得到不同區(qū)段的位移，即

式中， I_x1=h_p³/12;I_x2=δ³/12;h_p=δ+h_0°

2.3邊界條件和區(qū)段連接條件聯(lián)立

積分常數(shù)（ C₂ 、 和彎矩 M_yσ 、支承反力水平位置 s₂ 由以下條件確定：

a.邊界條件

b.區(qū)段連接條件

c.反力 F_wg 作用點在波發(fā)生器上的支承條件

將上述條件代入式（12），得彎矩

式中， K_s=1/（1+ν）+2h_ftanα₁/p

齒間嚙合力在柔輪齒圈齒槽產(chǎn)生的最大附加彎 曲應(yīng)力為

σ_y=6M_y（/δ²

2.4負載狀態(tài)下周向彎曲應(yīng)力表達及分布規(guī)律

負載狀態(tài)時，齒槽處的應(yīng)力由裝配應(yīng)力和負載轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生的附加彎曲應(yīng)力相加得到。因裝配時長軸位置有最大徑向位移量，所以，最大裝配彎曲應(yīng)力發(fā)生在長軸，即 φ=0 時?？紤]式（4）、式（5）和式（14），負載狀態(tài)下齒圈最大周向彎曲應(yīng)力為

分析式（15）可知，齒圈厚度、齒根倒圓半徑和分度圓上齒槽寬與齒體寬之比等參數(shù)影響負載應(yīng)力。

定義齒圈厚度8與齒圈中面半徑 r_m 的比值為齒圈厚度系數(shù)；齒根倒圓半徑與模數(shù)的比值為倒圓半徑系數(shù)；分度圓上齒槽寬度與齒體寬度的比值為槽寬比。量綱一化后分別分析上述3個參數(shù)對負載應(yīng)力的影響規(guī)律。齒圈和波發(fā)生器的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

2.4.1齒圈厚度對負載應(yīng)力的影響

輪齒槽寬比 u 取1.4、1.6、1.8、2.0和2.2時，由式（15）計算的不同工況時齒圈最高負載應(yīng)力與齒圈厚度的關(guān)系如圖4所示。

圖4中，RAT為額定轉(zhuǎn)矩；AVT為平均負載容許最大轉(zhuǎn)矩；STT為啟動停止時峰值轉(zhuǎn)矩；MIT為瞬間容許最大轉(zhuǎn)矩。由圖4可知，不同槽寬比的柔輪齒圈模型空載工況時，最大彎曲應(yīng)力隨齒圈厚度的增大斜率幾乎恒定地升高。槽寬比越小，彎曲應(yīng)力越高，表明裝配條件下齒圈壁越薄，齒槽的寬度越大，裝配應(yīng)力越低。不同負載工況時，最大彎曲應(yīng)力隨齒圈厚度先快速降低后有不同程度的緩慢增加；同一負載條件下，槽寬比不同，最佳齒圈壁厚不同；齒圈槽寬比越大，最佳齒圈壁厚越小。

2.4.2齒根倒圓半徑對負載應(yīng)力的影響

圖5所示為取不同負載工況下的最佳齒圈厚度時，柔輪齒圈最高負載應(yīng)力與齒根倒圓半徑在不同槽寬比時的變化規(guī)律。由圖5可知，空載以及不同負載工況下，齒圈最高負載應(yīng)力隨齒根倒圓半徑的增大先降低后升高，有最佳齒根倒圓半徑存在；同一工況條件下，槽寬比越大，最佳齒根倒圓半徑也越大；相同槽寬比但負載工況不同時，柔輪的最佳齒根倒圓半徑幾乎相同。

對于寬齒槽的輪齒結(jié)構(gòu)，不同負載工況時的最佳齒根倒圓半徑范圍為 0.6m～0.7m ；更大的齒根倒圓半徑會引起齒圈彎曲剛度的增大，從而使負載應(yīng)力增加。

2.4.3輪齒槽寬比對負載應(yīng)力的影響

由圖4可知，槽寬比的增加會顯著降低齒圈負載應(yīng)力，但當齒圈厚度增大到一定值時，槽寬比的增大反而會使負載應(yīng)力升高；柔輪齒圈厚度和槽寬比對負載應(yīng)力的影響有耦合關(guān)系。因此，有必要研究取最佳齒圈厚度時槽寬比對負載應(yīng)力的影響。

圖6所示為基于不同負載工況的最佳齒圈厚度和齒根倒圓半徑取 0.6m 與 0.7m 時最高負載應(yīng)力與槽寬比的關(guān)系。由圖6可知，不同負載工況下，柔輪齒圈最高負載應(yīng)力隨槽寬比的增大先略微降低后增加，變化不明顯，主要影響因素是負載轉(zhuǎn)矩；隨著負載轉(zhuǎn)矩的增大，最高負載應(yīng)力增大，最佳槽寬比值降低。不同工況下，最佳槽寬比約為2。

3參數(shù)化柔輪有限元模型及驗證

建立包含實際齒廓信息的參數(shù)化有限元實體模型，計算不同齒圈壁厚、齒根倒圓半徑和槽寬比的柔輪齒圈受到不同負載轉(zhuǎn)矩時齒槽處的最高負載應(yīng)力，對基于平面假定的模型計算結(jié)果進行數(shù)值驗證。

3.1柔輪建模和接觸關(guān)系定義

為準確揭示負載工況下柔輪齒圈結(jié)構(gòu)參數(shù)對最高負載應(yīng)力的影響，需要建立包含實際齒廓信息的實體單元柔輪有限元模型。本文以包含實際參數(shù)的SHF25-80型雙圓弧齒廓諧波減速器為例進行建模。

取柔輪齒數(shù) z₁=160 ，模數(shù) m=0.375mm ，齒頂高h_a=0.65m ，頂隙 c=0.35m ，基準齒形角 α=10^° ，材料彈性模量 E=210GPa_? 。齒圈壁厚δ、齒根倒圓半徑 r₁ 和槽寬比 u 為可變參數(shù)量。利用Ansys軟件的APDL語言，輪齒采用分區(qū)域較細的映射網(wǎng)格剖分，在柔輪齒槽處用網(wǎng)格加密來消除網(wǎng)格剖分對應(yīng)力的影響。固定波發(fā)生器和柔輪筒底內(nèi)孔面上的所有節(jié)點自由度，在波發(fā)生器的外表面和柔輪內(nèi)壁間定義面面接觸。

3.2柔輪的最高裝配應(yīng)力及額定負載應(yīng)力

橢圓波發(fā)生器作用在齒圈中截面處，使柔輪在軸向產(chǎn)生錐度變形。柔輪齒圈杯口處的最大徑向位移（0.447mm） 大于計算截面位移 （0.375mm ），用式（5）計算得到的輪齒應(yīng)力影響系數(shù) K_σ 為1.889，通過 K_σσ_y1 折算的長軸齒槽處理論最大彎曲應(yīng)力為 242.712MPa 有限元最大裝配應(yīng)力為 250.931MPa ，發(fā)生在長軸齒槽前端處，比理論結(jié)果僅大 3.386% ，相差極小。最?。ń^對值）裝配應(yīng)力為 181.445MPa ，發(fā)生在短軸齒槽前端處，與實際裝配應(yīng)力極值出現(xiàn)位置一致。因最大嚙合力出現(xiàn)在長軸附近，為縮短有限元模型運行時長，只需在柔輪長軸上下各3個齒中截面上施加負載轉(zhuǎn)矩下的最大齒間嚙合力，模擬柔輪齒圈受到不同負載轉(zhuǎn)矩的情況。圖7為相同參數(shù)下建立的柔輪有限元模型額定負載工況應(yīng)力云圖。

由圖7可知，額定負載工況下有限元最大應(yīng)力為 ，與理論額定負載應(yīng)力 371.09MPa [圖5（b）]僅相差 0.87% ，相差很小，表明了理論計算的準確性。以下分析其余不同工況時的有限元與理論結(jié)果。

3.3不同負載工況下的最高負載應(yīng)力

嚙合力是剛輪與柔輪在負載工況下齒面承受的總載荷。隨著負載轉(zhuǎn)矩的增加，柔輪和剛輪接觸面間的最大嚙合力不斷增大，且前后截面區(qū)域承受的嚙合力較小，中截面區(qū)域承受的嚙合力較大。表2所示為SHF25-80型諧波齒輪減速器的額定轉(zhuǎn)矩（RAT）、平均負載容許最大轉(zhuǎn)矩（AVT）、啟動停止時峰值轉(zhuǎn)矩（STT）及瞬間容許最大轉(zhuǎn)矩（MIT）的數(shù)值及對應(yīng)工況的齒間最大嚙合力。

當齒頂處受到不同工況下的負載轉(zhuǎn)矩時，可根據(jù)式（14）計算不同轉(zhuǎn)矩引起的附加彎曲應(yīng)力，此應(yīng)力與齒圈齒槽處的最大裝配應(yīng)力相加，得到最高負載應(yīng)力。圖8所示為不同負載轉(zhuǎn)矩時，柔輪齒圈最高負載應(yīng)力的理論計算結(jié)果與有限元結(jié)果。

從圖8可以看出，隨著負載轉(zhuǎn)矩的增加，柔輪齒槽處的最高負載應(yīng)力不斷增加；在空載和不同負載工況下，有限元結(jié)果與理論結(jié)果分別相差 3.386% /1.65% 、 2.84% 、 3.283% 、 3.626% 。選取不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的最優(yōu)數(shù)值，驗證有限元結(jié)果與理論結(jié)果的差異。最優(yōu)參數(shù)及結(jié)果如表3所示。

可以發(fā)現(xiàn)，不同算例參數(shù)下，最低有限元負載應(yīng)力與理論結(jié)果相差很小，瞬間容許最大轉(zhuǎn)矩工況下有限元結(jié)果與理論結(jié)果相差最高（僅為 6.52% ），表明了理論計算方法的準確性。

4結(jié)論

基于彎曲梁模型提出負載應(yīng)力計算方法，計算了不同參數(shù)下的負載應(yīng)力，得到最高負載應(yīng)力與齒圈厚度、齒根倒圓半徑以及槽寬比的變化規(guī)律，為柔輪最高負載應(yīng)力計算及選擇最優(yōu)齒廓參數(shù)提供了較為準確的依據(jù)。 ① 空載時，齒圈厚度越小，應(yīng)力越低；負載工況時，最佳齒圈厚度隨負載轉(zhuǎn)矩的增加而增大。綜合考慮裝配和負載工況，最佳齒圈厚度系數(shù)折中后約為3。 ② 最高負載應(yīng)力隨齒根倒圓半徑先降低后升高，不同槽寬比的柔輪最佳齒根倒圓半徑范圍為 0.6m～0.7m 。更大的倒圓半徑會增加彎曲剛度，使得負載應(yīng)力升高。 ③ 負載轉(zhuǎn)矩越大，最佳槽寬比越小。不同負載工況的最佳槽寬比約為2。

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Study on the influence of structural parameters of flexspline tooth rings on themaximum loadstressin harmonic drives

LIU Shipan1 CHEN Xiaoxial2XING Jingzhong1，2 （1.SchoolofMechanical Engineering，TiangongUniversity，Tianjin3oo387，China） （2.TianjnKeyLaboratoryofodernMechatronicsEquipmentTechnology，TiangongUniversityTianji3Oo387hina）

Abstract：[Objective]Inordertorevealtheinfluenceoftoothringstructural parametersonthemaximumload stress under theloadand providetheoreticalguidanceforthestrength designoftoothrings，acalculationmethodofloadstressofflexspline tooth rings was proposed.[Methods]According totheloadof the toth inthemeshingzoneofthelongaxisoftheflexspline underloadconditions，thetooth wasequivalenttoavariable section beam modelconsidering theroundingof the tooth dedendum.Theadditional bending stressgenerated bythe maximummeshing forcebetween the teeth atthecogging uder diferentloadtorques wasstudied，andtheexpresionof themaximumloadstressof tothrings wasobtainedbysupermposing it withthe highestassemblystress.Theinfluenceofparameterssuch asthetoothring thickness，thefiletradius attooth dedendum and the groove width ratioonthe maximum load stresswas analyzed.Finiteelement models were established to numerically verify the theoretical solutions of assemblyandload stresss.[Results]Theresults show that the maximum load stressofthetothringdecreasessharplyandthenincreasesslowlywiththetoothringthicknes，andtheoptimalthickness coeficientsof the toothring increasewiththeincreaseofloads.Theoptimal filetradiusof the flexsplinetoothring is 0.6m- 0.7m .The optimal groove width ratio decreases with the increase of the load torque.

KeyWords：Harmonicdrive; Contact area;Assembly stress;Load stress;Finite element analysis