基于FRFT濾波提取變速行星輪系太陽輪故障階次

中圖分類號(hào)：TH113.1；TH17 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.018

0 引言

行星輪系是低速重載設(shè)備常用的大減速比傳動(dòng)形式。其中，齒輪作為關(guān)鍵元件，一旦發(fā)生故障，將影響整個(gè)設(shè)備正常運(yùn)行，甚至造成嚴(yán)重的事故和巨大的損失。對(duì)于復(fù)雜的多級(jí)行星輪系，若太陽輪或行星輪的輪齒出現(xiàn)整體或局部故障，故障輪齒與正常輪齒的嚙合表面會(huì)產(chǎn)生一系列脈沖，這些脈沖蘊(yùn)含著齒輪副工作狀態(tài)的重要信息。從這些信號(hào)中提取故障特征是故障診斷的關(guān)鍵所在。針對(duì)行星輪系故障特征提取方法，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已做了大量工作2。其中，針對(duì)穩(wěn)態(tài)工況的行星輪系故障特征提取方法主要有包絡(luò)譜分析3、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EmpiricalModeDecomposition，EMD）[4-5]、小波變換[6-7等。而當(dāng)行星輪系中齒輪在變速工況下運(yùn)行時(shí)，常規(guī)的頻譜分析方法會(huì)導(dǎo)致頻譜模糊，使故障特征無法準(zhǔn)確提??；同時(shí)，背景噪聲和干擾會(huì)在一定程度上淹沒故障脈沖，尤其是傳感器未在故障齒輪附近安裝時(shí)8]。因此，如何有效地從變速信號(hào)中準(zhǔn)確提取故障特征成為目前故障診斷研究的難點(diǎn)和熱點(diǎn)之一。

眾多學(xué)者采用階次分析來處理傅里葉變換進(jìn)行變速信號(hào)分析時(shí)的“頻率模糊”現(xiàn)象。但是，行星輪系發(fā)生故障時(shí)往往還伴隨一定程度的信號(hào)調(diào)制。

因此，利用階次分析進(jìn)行故障診斷需結(jié)合包絡(luò)解調(diào)方法。萬書亭等針對(duì)時(shí)變工況風(fēng)電齒輪箱振動(dòng)信號(hào)受噪聲干擾和頻率模糊問題，提出了基于變分模態(tài)分解-同步提取變換的無轉(zhuǎn)速計(jì)階次跟蹤方法。BORGHESANI等[0]結(jié)合帶通濾波和時(shí)域逆采樣階次分析去除了齒輪箱的干擾信號(hào)，但存在角域信號(hào)濾波帶寬選取問題。王況等運(yùn)用階次分析方法對(duì)變工況行星齒輪箱進(jìn)行了故障診斷。宋寶玉等2采用階次分析方法提取了低速斜齒輪故障特征。但傳統(tǒng)時(shí)頻濾波需要設(shè)計(jì)濾波器原型和參數(shù)，過程復(fù)雜且自適應(yīng)性較差[13]。

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FractionalFourier Transform，F(xiàn)RFT）根據(jù)線性調(diào)頻信號(hào)在不同階次的分?jǐn)?shù)階傅里葉域呈現(xiàn)不同能量聚集的特點(diǎn)，只需選擇合適的階次即能在最佳分?jǐn)?shù)階域?yàn)V波分離出目標(biāo)分量[14-15]，但目前基于搜索思想確定階次的方法工作量大、速度慢、效率低。梅檢民等為了提取變速器故障特征，提出了一種基于轉(zhuǎn)速信號(hào)確定分?jǐn)?shù)階傅里葉變換最佳階次，并通過濾波提取變速過程嚙合階次的方法。黃銘等用含噪線性調(diào)頻信號(hào)來模擬電動(dòng)助力器變速運(yùn)轉(zhuǎn)信號(hào)，通過分?jǐn)?shù)階傅里葉變換和帶通濾波，能夠準(zhǔn)確地濾除信號(hào)中噪聲分量。梅檢民等[18為提高變速器齒輪故障診斷準(zhǔn)確性，提出了基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換濾波的全息階次解調(diào)譜方法。綜上可見，對(duì)于行星輪系變速過程的振動(dòng)信號(hào)，只要得到最佳FRFT階次，就能提取故障的嚙合階次?；谶@一思想，本文針對(duì)變速行星輪系故障特征提取問題，提出一種基于轉(zhuǎn)速信號(hào)確定的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換最佳階次，并通過濾波提取行星輪系故障特征的方法，用于解決傳遞路徑長(zhǎng)、干擾較大的二級(jí)太陽輪微弱故障精確診斷難題。

1基于FRFT濾波包絡(luò)階次分析

1. 1 包絡(luò)分析

針對(duì)齒輪振動(dòng)信號(hào)存在的調(diào)制現(xiàn)象，應(yīng)用Hil-bert包絡(luò)解調(diào)方法，對(duì)濾波后信號(hào) x（t） 經(jīng)Hilbert變換檢波除去高頻分量，得到含齒輪故障分量的包絡(luò)信號(hào) A（ι） ，即

式中， 為 x（t） 經(jīng)Hilbert變換的虛部； χ_t 為時(shí)間。

1.2 FRFT定義和性質(zhì)

信號(hào) x（t） 的FRFT定義為

X_p（u）=F_p[x（t）]（u）=∈t_-∞^∞x（t）K_p（t，u）dt

其中，

式中， 為FRFT的變換核； m 為整數(shù)； p 為FRFT的階次，可為任意實(shí)數(shù)； δ（?） 為狄拉克函數(shù)； α 為FRFT的旋轉(zhuǎn)角度， α=pπ/2 ○

X_p（u） 的逆變換為

由式（5）可知，信號(hào) x（t） 由一組權(quán)系數(shù)為 X_p（u） 的正交基函數(shù) 所表征，這些基函數(shù)是Chirp的復(fù)指數(shù)函數(shù)。

1.3FRFT提取Chirp信號(hào)分量的原理

Chirp信號(hào)在時(shí)頻域都具有較大的展寬，在時(shí)域或頻域都不能很好地分離。含兩個(gè)分量的Chirp信號(hào)的時(shí)頻分布如圖1所示。其中，一個(gè)分量的時(shí)頻分布與時(shí)間軸的夾角為 β 。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可解釋為信號(hào)在時(shí)頻平面內(nèi)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度后所構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階域上的表示，只要分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度 α 與 β 正交，則該信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉域上的投影就應(yīng)該聚集在 u₀ 一點(diǎn)上。以 u₀ 為中心做帶寬為 Δu 的窄帶濾波，將信號(hào)從強(qiáng)背景噪聲中濾出或從多分量Chirp信號(hào)中分離，再做 α 角旋轉(zhuǎn)，即完成Chirp信號(hào)的提取。

FRFT提取 Chirp 分量的關(guān)鍵在于找到合適的旋轉(zhuǎn)角度，得到最佳的FRFT階次。由圖1可知，最佳角度 α 、階次 p 與調(diào)制頻率 f_m 的關(guān)系為

1.4基于轉(zhuǎn)速信號(hào)確定FRFT最佳階次

在多級(jí)行星輪系中，二級(jí)太陽輪傳動(dòng)路徑長(zhǎng)且嚙合頻率小，其故障信號(hào)微弱，診斷具有較大難度。本文將齒輪故障設(shè)置在二級(jí)太陽輪上，以齒根裂紋為例進(jìn)行研究。當(dāng)行星輪系運(yùn)行時(shí)，以輸入軸轉(zhuǎn)速為基準(zhǔn)，行星輪系按照固定傳動(dòng)比運(yùn)轉(zhuǎn)；二級(jí)太陽輪嚙合頻率按照固定的階次隨輸入軸轉(zhuǎn)速變化，構(gòu)成固定的階次分量，測(cè)得的行星輪系振動(dòng)信號(hào)是多分量Chirp信號(hào)。本文提出一種根據(jù)輸入軸轉(zhuǎn)速信號(hào)確定FRFT最佳階次的方法，其步驟如下：

1）根據(jù)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速信號(hào)計(jì)算電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率 f_n 和二級(jí)太陽輪嚙合頻率分量 f_m^′

2）對(duì)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率 f_n 和二級(jí)太陽輪嚙合頻率分量 f_m^′ 進(jìn)行最小二乘擬合，計(jì)算二級(jí)太陽輪調(diào)制頻率 f_m ○

3）根據(jù) f_m ，通過 計(jì)算二級(jí)太陽輪嚙合頻率的FRFT最佳階次 p 。

由于轉(zhuǎn)速信號(hào)不受振源和噪聲干擾，行星輪系的傳動(dòng)比又是固定的，故根據(jù)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率得到的二級(jí)太陽輪嚙合頻率比較準(zhǔn)確。據(jù)此計(jì)算得到的調(diào)制頻率和FRFT最佳階次的精度較高，計(jì)算速度快。根據(jù)不同轉(zhuǎn)速信號(hào)，上述方法均能自動(dòng)獲取所對(duì)應(yīng)的最佳階次。

2行星輪系太陽輪故障特征階次計(jì)算

在階次分析中，階次、轉(zhuǎn)速和頻率之間的關(guān)系為

O=60f/n

式中， o 為階次； f 為頻率； n 為轉(zhuǎn)速。

采用階次分析對(duì)濾波后包絡(luò)信號(hào) 進(jìn)行等角度重采樣。首先，通過轉(zhuǎn)速信號(hào)得到時(shí)間序列 其次，對(duì)原始信號(hào) X（t） 進(jìn)行三次樣條插值，得到角域偽平穩(wěn)信號(hào)；最后，進(jìn)行快速傅里葉變換（FastFourierTransform，F(xiàn)FT），得到包絡(luò)階次譜。

設(shè)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為 f_n ，一級(jí)太陽輪直接與電動(dòng)機(jī)軸相連，則一級(jí)太陽輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率 f_s1 與電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率 ?f_n 相同。一級(jí)行星輪系嚙合頻率 f_m1 為

式中， z_r1 為一級(jí)齒圈齒數(shù)； z_s1 為一級(jí)太陽輪齒數(shù)。

由于二級(jí)太陽輪直接與一級(jí)行星架相連，則二級(jí)太陽輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率與一級(jí)行星架轉(zhuǎn)動(dòng)頻率相同。一級(jí)行星架轉(zhuǎn)頻 f_cl 為

計(jì)算可得二級(jí)太陽輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率 f_s2 。同理可得，二級(jí)行星輪系嚙合頻率 f_m2 為

式中， z_r2 為二級(jí)齒圈齒數(shù)； z_s2 為二級(jí)太陽輪齒數(shù)。

當(dāng)太陽輪某輪齒發(fā)生故障時(shí)，將行星架視為固定不動(dòng)進(jìn)行分析，即太陽輪每轉(zhuǎn)1周，與每個(gè)行星輪產(chǎn)生嚙合振動(dòng)。故太陽輪故障特征頻率為

式中， N 為行星輪個(gè)數(shù)。

綜上，能表征變轉(zhuǎn)速工況下二級(jí)太陽輪嚙合和故障的階次分別為

3變速行星輪系太陽輪故障特征提取

本文基于轉(zhuǎn)速信號(hào)確定的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換進(jìn)行變速行星輪系故障診斷，其流程如圖2所示。

上述方法的主要步驟如下：

1）應(yīng)用電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速信號(hào)和行星輪系齒輪參數(shù)確定二級(jí)太陽輪嚙合頻率FRFT最佳階次，在最佳分?jǐn)?shù)域進(jìn)行帶通濾波，對(duì)濾波后信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)。

2）對(duì)包絡(luò)信號(hào)進(jìn)行階次分析，求得包絡(luò)階次譜。

3）通過故障特征階次計(jì)算與包絡(luò)階次譜突出階次進(jìn)行對(duì)比，確定故障類型。

4試驗(yàn)及分析

4.1 試驗(yàn)平臺(tái)

為驗(yàn)證所提方法的有效性，設(shè)計(jì)了包含有二級(jí)行星齒輪箱和二級(jí)平行軸齒輪箱的傳動(dòng)系統(tǒng)故障診斷試驗(yàn)平臺(tái)。圖3為其結(jié)構(gòu)、傳動(dòng)鏈及測(cè)點(diǎn)示意圖。選取距電動(dòng)機(jī)端較遠(yuǎn)的行星齒輪箱二級(jí)太陽輪為故障齒輪。

根據(jù)圖3結(jié)構(gòu)建立的試驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示，由變頻交流電動(dòng)機(jī)、二級(jí)行星齒輪箱、二級(jí)平行軸齒輪箱等組成。振動(dòng)加速度傳感器置于行星齒輪箱機(jī)殼表面，光電轉(zhuǎn)速傳感器置于電動(dòng)機(jī)輸出軸處。

4.2試驗(yàn)條件

試驗(yàn)中需要對(duì)電動(dòng)機(jī)進(jìn)行調(diào)速。通過試驗(yàn)平臺(tái)中的變頻器對(duì)交流電動(dòng)機(jī)進(jìn)行調(diào)速，使其完成連續(xù)的變轉(zhuǎn)速運(yùn)行。得到電動(dòng)機(jī)從啟動(dòng)到升速、再到恒速、減速、停機(jī)的轉(zhuǎn)速變化曲線如圖5所示。如圖5中虛線所示，信號(hào)采集主要在升速階段完成。試驗(yàn)中，振動(dòng)信號(hào)采樣頻率設(shè)置為 20480Hz 。

根據(jù)齒輪箱設(shè)計(jì)參數(shù)，計(jì)算得到的二級(jí)太陽輪的嚙合階次為3.6458，故障特征階次為0.5208。為了模擬太陽輪故障，對(duì)正常太陽輪進(jìn)行齒根裂紋缺陷制作。正常齒輪和最終故障齒輪的實(shí)物如圖6所示。

4.3試驗(yàn)結(jié)果及分析

4.3.1高轉(zhuǎn)速高負(fù)載工況

電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率變化范圍設(shè)為 0～30Hz ，行星齒輪箱的二級(jí)輸出負(fù)載為 44.09N?m 。選取所測(cè)信號(hào)0＼～6s中的4.8s加速數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，完成所提方法與未濾波階次包絡(luò)譜的對(duì)比。時(shí)域振動(dòng)信號(hào)如圖7（a）所示，振幅隨轉(zhuǎn)速持續(xù)增大，表現(xiàn)出強(qiáng)非平穩(wěn)特征。電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速脈沖如圖7（b）所示，加速工況下轉(zhuǎn)速信號(hào)的時(shí)間間隔越來越小，即頻率越來越高。

圖8為對(duì)圖7進(jìn)行FFT的頻譜圖。從圖8可以看出，頻譜范圍寬且存在強(qiáng)頻率混疊及噪聲干擾，無法用于判定二級(jí)太陽輪是否發(fā)生故障。

圖9所示為原始信號(hào)未經(jīng)濾波直接進(jìn)行包絡(luò)階次分析的結(jié)果，故障階次0.5208被其他階次淹沒，不能判斷二級(jí)太陽輪是否發(fā)生故障。

根據(jù)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速信號(hào)，按照本文提出的最佳階次確定方法求得二級(jí)太陽輪嚙合階次的FRFT最佳階次，如圖10（a）所示。二級(jí)太陽輪嚙合階次的FRFT最佳階次 p=1.0027 ，做 p 階FRFT，如圖10（b）所示。由圖10（b）可知，信號(hào)在 p 階分?jǐn)?shù)階域 u₀ 在52599點(diǎn)出現(xiàn)明顯峰值，說明二級(jí)太陽輪嚙合階次分量在其最佳階次分?jǐn)?shù)階域具有最佳能量聚集性，而其他分量和噪聲聚集性差且能量弱。因此，做帶寬 Δu 在52593＼～52602的帶通遮隔，如圖10（c）所示，能有效剝離其他分量和噪聲干擾。再做 p 階逆FRFT，提取二級(jí)太陽輪嚙合階次分量，圖10（e）所示為其時(shí)域波形，圖10（d）所示為原始信號(hào)時(shí)域波形。

進(jìn)行信號(hào)濾波后，通過式（1）得到包絡(luò)信號(hào)，再進(jìn)行階次分析，得到圖11所示的階次包絡(luò)譜。由圖11（a）可以看到，二級(jí)太陽輪健康狀態(tài)下的包絡(luò)階次譜只能看到電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速階次 O_fn 及其整數(shù)倍階次。由圖11（b）可以明顯看到，二級(jí)太陽輪齒根裂紋故障下的包絡(luò)階次譜中出現(xiàn)二級(jí)太陽輪故障階次 O_f 及 kO_fn±O_f 階次， k 為整數(shù)。該方法所得故障階次與理論階次的相對(duì)誤差為 2.55% 。由此判定，二級(jí)太陽輪出現(xiàn)故障，驗(yàn)證了本文所提方法是有效的。

4.3.2高轉(zhuǎn)速低負(fù)載工況

此處，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率范圍設(shè)為 0～30Hz ，行星齒輪箱的二級(jí)輸出負(fù)載為 17.26N?m 。與上述過程類似，選取所測(cè)信號(hào)0＼～6s中的4.8s加速數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。時(shí)域振動(dòng)信號(hào)如圖12（a）所示，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速脈沖如圖12（b）所示，圖12（c）為FFT頻譜圖，圖12（d）和圖12（e）均為原始信號(hào)未經(jīng)濾波直接進(jìn)行包絡(luò)階次分析的結(jié)果。同樣，求得二級(jí)太陽輪嚙合階次的

FRFT最佳階次，如圖12（f）所示。圖 12（g） ＼～圖12（j）所示為FRFT濾波過程。圖 12（k） 和圖12（1）所示為FRFT濾波后包絡(luò)階次分析結(jié)果。對(duì)比濾波前后包絡(luò)階次譜，所提方法、所得故障階次與理論階次的相對(duì)誤差為

（h）分?jǐn)?shù)階域?yàn)V波 u₀=38 661，帶寬 Δu 在38654＼～38667

4.3.3 低轉(zhuǎn)速高負(fù)載工況

類似的，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率范圍設(shè)為 0～15Hz ，行星齒輪箱的二級(jí)輸出負(fù)載為 44.09N?m 。與上述過程類似，時(shí)域振動(dòng)信號(hào)如圖13（a）所示，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速脈沖如圖13（b）所示，圖13（c）為FFT頻譜圖，圖13（d）和圖13（e）均為原始信號(hào)未經(jīng)濾波直接進(jìn)行包絡(luò)階次分析的結(jié)果，二級(jí)太陽輪嚙合階次的FRFT最佳階次如圖13（f）所示，圖 13（g） ＼～圖13（j）所示為FRFT濾波過程，圖13（k）和圖13（1）所示為FRFT濾波后包絡(luò)階次分析結(jié)果。對(duì)比濾波前后包絡(luò)階次譜可見，濾波后0.5179階次非常清楚，故障階次與理論值的相對(duì)誤差為 0.6% ，可判定二級(jí)太陽輪出現(xiàn)故障。

4.3.4 低轉(zhuǎn)速低負(fù)載工況

同上，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率范圍設(shè)為 0～15Hz ，行星齒輪箱的二級(jí)輸出負(fù)載為 17.26N?m 。與上述過程類似，時(shí)域振動(dòng)信號(hào)如圖14（a）所示，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速脈沖如圖14（b）所示，圖14（c）為FFT頻譜圖，圖14（d）和圖14（e）均為原始信號(hào)未經(jīng)濾波直接進(jìn)行包絡(luò)階次分析的結(jié)果，二級(jí)太陽輪嚙合階次的FRFT最佳階次如圖14（f）所示，圖 ＼～圖14（j所示為FRFT濾波過程，圖14（k和圖14（1所示為FRFT濾波后包絡(luò)階次分析結(jié)果。對(duì)比濾波前后階次包絡(luò)譜，故障階次與理論值的相對(duì)誤差為 3.4% 。可判定二級(jí)太陽輪出現(xiàn)故障。

從上述4種工況下的故障診斷試驗(yàn)結(jié)果可知，試驗(yàn)提取的故障特征階次與其理論值之間的相對(duì)誤差在低轉(zhuǎn)速高負(fù)載工況下的最小 （0.6%） ，在低轉(zhuǎn)速低負(fù)載工況下的最大 （3.4%） ，均是工程可接受的。證明本文提出的變速工況下行星輪系齒輪故障特征提取方法是有效且準(zhǔn)確的。

5 結(jié)論

1）提出了一種基于轉(zhuǎn)速信號(hào)確定的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換最佳階次的方法。通過該方法可以快速地確定FRFT最佳階次，具有良好的魯棒性。2）使用最佳階次進(jìn)行FRFT濾波，可以有效地剝離其他頻率成分和噪聲；再對(duì)信號(hào)做包絡(luò)階次分析，可準(zhǔn)確提取噪聲環(huán)境下變速行星輪系微弱故障特征。3）利用該方法對(duì)行星輪系4種工況進(jìn)行試驗(yàn)。結(jié)果表明，故障診斷是可行且準(zhǔn)確的，具有應(yīng)用價(jià)值。

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Filtering based on FRFT for extracting fault orders of sun gears in a variable speed planetary gear system

FANHongwei12HUANG Jiexiang1REN Zhongfu'XUHaowenl （1.CollegeofMechanical Engineering，Xi'an UniversityofScienceandTechnology，Xi'an71oo54，China） ShaanxiKeyLaboratoryofIntelligentDetectionandControlforMiningElectromechanicalEqupment，Xi'an7oo54，China）

Abstract：[Objective]Inordertobeterextracttheweakfault characteristicsofvariable-speed planetarygeartrains inthe noiseenvironment，amethodwasproposedtodeterminetheoptimalorderoffractionalFouriertransform（FRFT）basedonthe speedsignalandobtainthegearfaultorderundervariable-speedconditions throughthebandpassfltering.[Methods]Firstlythe gearmeshingfrequencywascalculatedaccordingtotherotationalspeedsignaloftheinputshaftoftheplanetarygeartrainand thegearparametersofthesystem，andthentheoptimalFRFTorderof themeshingfrequencywasdeterminedbytheleast squarefiting method.Onthisbasis，thebandpassfilteringcenteredonthepeakvalueofthefractionaldomain wascarriedout， andtheenvelopeorderwasanalyzedathesametime，sothattheenvelopeorderrelatedtothegearfault wasobtained.Thetest wascarridoutforthesecond-stagesungearrootcrackfaultofaplanetarygearreducer.[Results]Theresultsshowthatitis feasibletodeterminetheoptimalorderofFRFTbasedonthespeedsignal，andthenoiseandothercomponentscanbeeectively separated.The maximum relative error between the test results and the theoretical values is 3.4% ，which occurs at the low speed and low load.

Keywords：Planetarygearsystem;Variablespeedstate;aultdiagnosis;FractionalFouriertransform;Envelopeoderanalysis