時滯反饋控制下超磁致伸縮致動器非線性動力學(xué)特性研究

中圖分類號：TH122；TH113.1 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.012

0 引言

超磁致伸縮材料（GiantMagnetostrictiveMaterial，GMM）作為一種新型高效磁-機(jī)械轉(zhuǎn)換材料，與傳統(tǒng)磁致伸縮材料相比，在激勵磁場作用下能產(chǎn)生更大的位移和輸出力。用GMM研制的超磁致伸縮致動器（GiantMagnetostrictiveActuator，GMA）具有精度高、響應(yīng)速度快和功耗小等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于機(jī)械自動化、航空航天和能量收集等領(lǐng)域[-5]。

然而，GMA系統(tǒng)在運(yùn)行過程中會受到多個耦合非線性影響，容易進(jìn)入到不穩(wěn)定甚至混沌運(yùn)動中，嚴(yán)重阻礙GMA系統(tǒng)在精密定位控制和機(jī)械加工等領(lǐng)域的應(yīng)用6。ZENG等建立了GMA的大功率非線性數(shù)學(xué)模型；研究表明，增加阻尼系數(shù)可提高其輸出穩(wěn)定性，較低的系統(tǒng)剛度會產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。GAO等[9]基于GMA磁-機(jī)耦合模型，研究了系統(tǒng)的動態(tài)特性；研究表明，系統(tǒng)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)較小時，系統(tǒng)容易產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。閆洪波等建立了分?jǐn)?shù)階阻尼的GMA動力學(xué)系統(tǒng)模型；研究表明，阻尼的分?jǐn)?shù)階次越小，系統(tǒng)越容易產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。NKAMGANG等[建立了薄磁致伸縮作動系統(tǒng)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型;研究表明，在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下，系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的多穩(wěn)態(tài)和反單調(diào)性。值得注意的是，目前有關(guān)GMA系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象研究主要集中于系統(tǒng)參數(shù)變化所引起的非線性現(xiàn)象，對控制GMA系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象的研究還較少，但在其他非線性動力學(xué)中展開了大量研究。

近年來，為了控制系統(tǒng)中非線性不穩(wěn)定性和分岔行為，大量學(xué)者通過建立基于非線性時滯微分方程模型來分析系統(tǒng)的振動。CHEN等建立了一種具有時滯反饋控制的新型環(huán)形減振結(jié)構(gòu)懸架系統(tǒng)；研究表明，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，調(diào)節(jié)時滯參數(shù)能顯著改善車身的減振效果。WATANABE等[3研究了時滯反饋控制下彈跳式農(nóng)用拖拉機(jī)的非線性振動行為；研究表明，合理調(diào)節(jié)時滯反饋增益系數(shù)可成功消除系統(tǒng)的混沌振動，并能顯著降低系統(tǒng)振動水平。LIU等[4研究了含有時滯反饋懸臂梁的諧振；研究表明，位移反饋增益僅改變峰值振幅的頻率，而速度反饋增益與時滯參數(shù)有關(guān)；選擇適當(dāng)?shù)臅r滯反饋參數(shù)，可以有效提高懸臂梁的穩(wěn)定性，抑制懸臂梁的非線性振動。和東平等5建立了時滯反饋控制下兩自由度垂直的波紋輥軋機(jī)數(shù)學(xué)模型；研究表明，適當(dāng)?shù)臅r滯參數(shù)可減小振動幅值，避免主共振分岔現(xiàn)象的產(chǎn)生。

為提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本文設(shè)計了一種線性和非線性聯(lián)合作用的時滯反饋控制器，用以控制GMA系統(tǒng)的主共振分岔和混沌運(yùn)動。首先，基于多尺度法求解受控GMA系統(tǒng)的解析解和主共振響應(yīng)方程；其次，利用Matlab軟件數(shù)值模擬研究了系統(tǒng)關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)和時滯反饋參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)的影響；最后，分析了系統(tǒng)激勵幅值和控制參數(shù)對系統(tǒng)分岔和混沌的影響，以期為選擇合理的控制參數(shù)、設(shè)計結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的GMA提供有用的參考。

一 GMA動力學(xué)模型

圖1為GMA系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。其基本工作原理是施加激勵磁場和偏置磁場使超磁致伸縮材料發(fā)生形變，從而實現(xiàn)機(jī)械位移的轉(zhuǎn)換。

根據(jù)GMA系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其工作原理，建立其等效力學(xué)模型，如圖2所示。GMA系統(tǒng)等效為一個彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng)。

對GMM棒進(jìn)行受力分析，由線性壓磁方程得

B=d₃₃σ+μH

式中， 5.σ 分別為GMM棒長度方向的應(yīng)變、應(yīng)力；E_y^H 為GMM棒的彈性模量； d₃₃ 為壓磁系數(shù)； H 為磁場強(qiáng)度； B 為磁感應(yīng)強(qiáng)度； μ 為磁導(dǎo)率。

式（1）左右兩邊同時乘以 AE_y^H ，得

式中，A、 L 分別為GMM棒的橫截面積和長度； x（t）

為GMM棒輸出位移； χ_t 為運(yùn)動時間。

GMM棒輸出力 F_d=-Aσ ，結(jié)合式（3），GMM棒輸出力表達(dá)式為

考慮到預(yù)壓力及GMM棒自身等效阻尼力和慣性力的影響，GMM棒等效力學(xué)方程為

（5）式中， F₀ 為GMM棒所受預(yù)壓力， F₀=Aσ₀ . K_M 、 C_u M_u 分別為GMM棒等效剛度、等效阻尼、等效質(zhì)量，K_M=AE_y^H/L，C_M=AC_e/L，M_M=ρ_MAL/3， 。其中， C_e. ρ_M 分別為GMM棒內(nèi)部阻尼系數(shù)和密度。

輸出桿受到碟形彈簧彈力和GMM棒輸出力的作用，其動力學(xué)方程為

式中， K_L β_? 、 β₂ 分別為碟形彈簧的一次剛度系數(shù)、二次剛度系數(shù)和三次剛度系數(shù)； M_L 為負(fù)載的阻尼系數(shù)。

設(shè)激振力項 AE_y^Hd₃₃H=F ，聯(lián)立式（5）與式（6），推導(dǎo)得到GMA非線性等效力學(xué)方程為

式中，

為便于研究GMA系統(tǒng)的動力學(xué)行為，引入量綱一位移 u=x/γ_?0 和量綱一時間 τ=ω₀t 其中， γ₀= ， ，則式（7）可轉(zhuǎn)換為

式中， 2μ 為量綱一化的阻尼系數(shù)， 2μ=c/mk ； α 為量綱一化的二次剛度系數(shù)， f₀ 為量綱一化的預(yù)壓力， f 為量綱一化的激振力， ; ω 為量綱一化的激勵頻率， ω= 為激勵頻率， ω₀ 為固有頻率）。

2 GMA系統(tǒng)時滯反饋控制

為了提高GMA系統(tǒng)的實用性，在本節(jié)中引入線性和非線性時滯反饋控制器來控制GMA系統(tǒng)的輸出位移。具體方法為：GMA系統(tǒng)的位移信號通過位移傳感器放大和轉(zhuǎn)換后傳遞到控制器中，從而產(chǎn)生反饋信號。該反饋信號可以用來調(diào)節(jié)GMA系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)，從而實現(xiàn)更加精準(zhǔn)的運(yùn)動控制。圖3所示為受控GMA系統(tǒng)簡化模型。

在引入線性和非線性時滯反饋控制之后，式（8）變?yōu)?/p>

τ_?1）+g_?2u³（τ-τ_?2）

式中， 分別為線性反饋增益系數(shù)和時滯參數(shù)；

g₂ 、 τ₂ 分別為非線性反饋增益系數(shù)和時滯參數(shù)。

為便于對GMA系統(tǒng)進(jìn)行擾動分析，將式（9）中的非線性項前冠以小參數(shù) ε ，則可得到

當(dāng)量綱一化的激勵頻率 ω 接近1時，系統(tǒng)便會出現(xiàn)共振現(xiàn)象?？赏ㄟ^引入 ω=1+εσ₁ （其中， ε 為小參數(shù)； σ₁ 為調(diào)諧參數(shù)）度量兩者的接近程度?；诙喑叨确▽MA振動系統(tǒng)進(jìn)行分析，引入如下不同的時間變量： T₀=τ 、 T₁=ετ 。則式（10）的1階解析解可表示為

u=u₀（T₀，T₁）+εu₁（T₀，T₁）

將式（11）代入式（10）中，并令方程兩邊的 ε 的同次冪系數(shù)相等，整理得到

式（12）的解可設(shè)為

式中， B 與 互為共軛復(fù)數(shù)。

將式（14）代入式（12）中，并令式中長期項的系數(shù)為 0 ，則可整理得到

2iωD₁B+g₁B（cosωτ₁-isinωτ₁）+

（ ? 為相位角），代入式（15）中，并分離其實部和虛部，得到

式中， Ψ_a 為系統(tǒng)的振幅； φ=σ₁T₁-? 。

為了獲得GMA系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，令 代入式（16）中，得到的復(fù)合時滯反饋控制下GMA系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程為

式中， σ_e=

由式（17）可知，受控GMA系統(tǒng)的主共振響應(yīng)為激振力項和復(fù)合時滯反饋控制參數(shù)的函數(shù)。令10α2-9ω2+σ。=0，調(diào)節(jié)非線性時滯反饋增益系數(shù)和時滯參數(shù)能有效消除由碟形彈簧引進(jìn)的幾何非線性因素對GMA系統(tǒng)的影響。

3數(shù)值模擬及討論

3.1GMA系統(tǒng)主共振特性分析

選擇GMA系統(tǒng)基本參數(shù)： 2μ=0.1 ， α=0.05 ，f=0.2 。為更好地了解GMA系統(tǒng)，首先研究了非受控系統(tǒng)中關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對主共振響應(yīng)特性的影響規(guī)律。對于不受控制 （g₁=τ₁=g₂=τ₂=0 的GMA系統(tǒng)，式（17）可以簡化為

圖4所示為量綱一化的二次剛度系數(shù)、激振力、阻尼系數(shù)對GMA主共振特性的影響曲線（圖中，黑色曲線代表GMA系統(tǒng)穩(wěn)定，紅色曲線代表GMA系統(tǒng)不穩(wěn)定）。

由圖4（a）可知，當(dāng)量綱一化的二次剛度系數(shù) α 從0.05增大到1.4時，其共振振幅峰值保持不變，骨架曲線逐漸向左傾斜；當(dāng) α=0.05 或1.4時，其數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 10α²/9ω₀² ，碟形彈簧表現(xiàn)出硬化特性，系統(tǒng)產(chǎn)生分岔和跳躍現(xiàn)象，導(dǎo)致GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低。由圖 4（b） 可知，隨著量綱一化的激振力的增大，系統(tǒng)振幅峰值也增大，骨架曲線向右傾斜，系統(tǒng)非線性增強(qiáng)，出現(xiàn)多值解和跳躍現(xiàn)象，導(dǎo)致GMA系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。結(jié)合 項進(jìn)一步分析可知，減小碟形彈簧二次剛度項、增大系統(tǒng)等效剛度系數(shù)可有效控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時，由圖4（c）可知，隨著量綱一化的阻尼系數(shù)的增大，共振曲線呈向內(nèi)收縮趨勢，峰值和共振區(qū)域面積減小。

3.2受控GMA系統(tǒng)主共振特性分析

在非受控GMA系統(tǒng)中，關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化會導(dǎo)致主共振中出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū)域和跳躍現(xiàn)象。為解決這一問題，引入線性和非線性聯(lián)合時滯反饋控制，研究各控制參數(shù)對GMA系統(tǒng)的影響。

圖5所示為 g₂=τ₂=0 時，線性時滯反饋參數(shù)對

GMA系統(tǒng)主共振特性的影響。由圖5（a）可知，當(dāng) τ₁ 取0.2、線性反饋增益系數(shù) g₁ 從0.1增大到0.5時，系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)增大、等效剛度系數(shù)減小，致使系統(tǒng)的共振峰值減小，共振曲線向左移動；此時共振曲線的不穩(wěn)定區(qū)域和彎曲程度逐漸減小，主共振分岔現(xiàn)象得到一定的控制。由圖5（b）可知，當(dāng) g₁ 取0.1時，隨著線性時滯參數(shù) τ_?1 的增大，系統(tǒng)主共振響應(yīng)達(dá)到共振峰值所對應(yīng)的激勵頻率和不穩(wěn)定區(qū)域會減小，從而增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性，但對共振曲線的彎曲程度影響較小。

圖6所示為 g₁=τ₁=0 時，不同非線性時滯反饋參數(shù)對GMA系統(tǒng)主共振幅頻特性的影響。由圖6（a）可知，當(dāng) τ_?2 取0.2、非線性反饋增益系數(shù) g₂ 從0.1增大到0.5時，系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)增大，致使系統(tǒng)的共振峰值和不穩(wěn)定區(qū)域減??；同時，系統(tǒng)的平方非線性與立方非線性得到一定抵消，從而使共振曲線的彎曲程度減小。由圖6（b）可知，當(dāng) g₂ 取0.1時，隨著非線性時滯參數(shù) τ₂ 的增大，系統(tǒng)共振峰值和共振區(qū)域逐漸增大，出現(xiàn)比未受控時更不穩(wěn)定的分岔行為。

圖7所示為線性和非線性時滯反饋聯(lián)合作用于GMA系統(tǒng)主共振特性的影響。由圖7可知，當(dāng)單獨(dú)利用線性和非線性時滯反饋控制作用于GMA系統(tǒng)時，并未完全消除系統(tǒng)中的共振分岔現(xiàn)象，還存在不穩(wěn)定區(qū)域；當(dāng)兩者聯(lián)合作用于GMA系統(tǒng)時，其控制效果明顯優(yōu)于單獨(dú)作用時的控制效果，可使GMA系統(tǒng)主共振分岔現(xiàn)象得到合理的控制。

f∈[0，0.215]時，GMA系統(tǒng)處于周期1運(yùn)動。當(dāng)f=0.1 時，如圖9所示，GMA系統(tǒng)的時域波形為穩(wěn)定的單周期波形信號，相平面軌跡圖表現(xiàn)為一封閉的橢圓形曲線。緊接著，系統(tǒng)經(jīng)周期1運(yùn)動進(jìn)入到不穩(wěn)定的混沌運(yùn)動中，當(dāng) f=0.35 時，如圖10所示，此時GMA系統(tǒng)的時域波形顯示為多個不規(guī)則波形信號譜的疊加組合，相位軌跡形成一個長期不閉合的多個相互嵌套的曲線。

3.3分岔與混沌特性分析

3.3.1量綱一化的激振力對系統(tǒng)分岔和混沌的影響

通過上述主共振穩(wěn)定性的分析可知，隨著量綱一化的激振力的增大，共振曲線存在多值解現(xiàn)象，最終導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動。圖8為以量綱一化的激振力為控制參數(shù)， f 取0＼～0.4，步長設(shè)置為0.001，初始條件為[0，0]時繪制得到的未受控GMA系統(tǒng)的分

3.3.2控制參數(shù)對受控系統(tǒng)分岔和混沌特性的影響由上述分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)量綱一化的激振力變化時，GMA系統(tǒng)中會出現(xiàn)分岔和混沌運(yùn)動。由于反饋增益系數(shù)易于改變，因此，可通過調(diào)節(jié)線性和非線性的反饋增益系數(shù)控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，當(dāng) f=0.35 時，未受控GMA系統(tǒng)仍處于混沌運(yùn)動狀態(tài)。圖11為當(dāng)g₂=τ₂=0 ， τ₁=0.2 ，步長設(shè)置為0.001，初始條件為[0，0]時，以線性反饋增益系數(shù)為控制參數(shù)繪制得到的受控GMA系統(tǒng)的分岔圖。

參數(shù)繪制得到的受控GMA系統(tǒng)的分岔圖。

由圖11可知，當(dāng) g₁∈[0 ，0.113]時，受控GMA系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動狀態(tài)。如圖12所示， g₁=0.05 時，受控GMA系統(tǒng)的時域波形圖為多個不同無規(guī)律波形信號譜的疊加組合，其相軌跡圖為一條長期不封閉相互纏繞充滿相空間的曲線。當(dāng) 時，系統(tǒng)進(jìn)入到穩(wěn)定的周期1運(yùn)動中。

圖13為當(dāng) g₁=τ₁=0 ， τ₂=0.2 ，步長設(shè)置為0.001，初始條件為[0，0]時，以非線性反饋增益系數(shù)為控制

由圖13可知，當(dāng) Δ_g2∈[0Δ] ，0.064]時，受控GMA系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動狀態(tài)。如圖14所示， g₂=0.03 時，受控GMA系統(tǒng)的時域波形圖中波形信號的周期和峰值多變不穩(wěn)定，相軌跡圖為一長時間無法閉合且充滿整個區(qū)域的曲線。緊接著，受控GMA系統(tǒng)在 g₂= 0.064時經(jīng)倒倍分岔、混沌運(yùn)動進(jìn)入到周期2運(yùn)動中。

當(dāng) 時，如圖15所示，受控GMA系統(tǒng)的時域波形圖表現(xiàn)為兩個波形信號譜的疊加組合，相平面軌跡圖中出現(xiàn)兩條相互嵌套的曲線。此后系統(tǒng)在g₂=0 .107處經(jīng)周期2運(yùn)動再次倒分岔，進(jìn)入到穩(wěn)定的周期1運(yùn)動中。

4結(jié)論

基于多尺度法求解了受控GMA系統(tǒng)主共振響應(yīng)方程，數(shù)值模擬了不同系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)對系統(tǒng)主共振和混沌運(yùn)動的影響規(guī)律，研究結(jié)果如下：

1）未引入時滯反饋控制時，增大系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)、減小激振力可提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2）引入時滯反饋控制時，以反饋增益系數(shù) g₁ 和g₂ 為控制參數(shù)的效果會優(yōu)于以時滯參數(shù) τ_?1 和 τ₂ 為控制參數(shù)；適當(dāng)調(diào)節(jié)線性和非線性的增益反饋系數(shù)，可有效消除GMA系統(tǒng)的主共振分岔，減小GMA系統(tǒng)的混沌區(qū)域，將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的周期運(yùn)動，從而提高GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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通過分析線性和非線性時滯反饋增益系數(shù)對受控GMA系統(tǒng)分岔和混沌運(yùn)動的影響可知，選擇合適的反饋增益系數(shù)可以有效地控制GMA系統(tǒng)的分岔和混沌，減少系統(tǒng)分岔圖中的混沌區(qū)域，增強(qiáng)GMA系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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Research on nonlinear dynamic characteristics ofGMA under time delayed feedbackcontrol

XU Chenyu1LI Hongzhu2ZHOUYaful （1.SchoolofMechanicaland Electrical Engineering，Beijing PolytechnicColege，Beijing 10oo42， China） （2.CollegeofAppliedTechnologyandEconomicManagement，Liaoning Technical University，F(xiàn)uxin1230oo，China）

Abstract：[Objective]Toeffectivelycontrolthenonlinearcharacteristicsof giant magnetostrictiveactuators（GMAs），a combined linear and nonlinear time delayed fedbackcontroler was designed to suppress themain resonance bifurcation and chaoticmotionoftheGMAsystem.[Methods]Basedonthemulti-scalemethod，theanalyticalsolutionofthesystemandthe mainresonanceresponseequation weresolved.Through thenumerical simulation，the key structuralparametersof the uncontrolledsystemandthetimedelayedfeedbackparametersofthecontrolsystemwerestudiedtoinvestigatethe characteristicsof the mainresonanceand thechaoticmotion.[Results]Theresearch results indicate thatuncontrolld systems exhibit bifurcationandmultivaluedsolutions.Appropriatelyincreasing thetime delayedgaincoeficientcan ffectively eliminate the mainresonancebifurcationand jumpingphenomenon，andreduce thechaotic motionregion.Theresults havea certain guiding role in improving the output stability of theGMA systems.

KeyWords：Giantmagnetostrictiveactuator;Timedelayedfedbackcontrol;Primaryresonance;Chaoticmotion;Stability