基于機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化的平面機(jī)構(gòu)速度分析

中圖分類號(hào)：TH16 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.005

0 引言

對(duì)平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，無(wú)論是設(shè)計(jì)新的機(jī)械，還是了解現(xiàn)有機(jī)械2的運(yùn)動(dòng)性能，都是十分必要的。典型的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析方法有矢量法、型轉(zhuǎn)化法和桿副約束法等。DIGREGORIO[5-利用速度系數(shù)矢量和加速度系數(shù)雅可比矩陣來解決單自由度和多自由度平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析問題。

矢量法是列出機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的矢量方程，可用圖解法和解析法作機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析。在機(jī)構(gòu)分析中常遇到兩類問題：第一類問題為同一構(gòu)件上兩點(diǎn)間的速度求解；第二類問題為以移動(dòng)副相連的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)構(gòu)件上的重合點(diǎn)間的速度求解[7]35-49[8[]82-86[1]。對(duì)于第二類問題，可能直觀地認(rèn)為所選取兩構(gòu)件的重合點(diǎn)并沒有接觸，對(duì)所列矢量運(yùn)動(dòng)方程較難理解。

本文以Ⅱ級(jí)基本桿組[21-24為研究對(duì)象，采用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法分析它們的運(yùn)動(dòng)，列出它們的運(yùn)動(dòng)矢量方程，對(duì)它們進(jìn)行速度分析。

1平面低副機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法速度分析

對(duì)平面低副機(jī)構(gòu)的組成進(jìn)行分析，可把平面機(jī)構(gòu)拆分成原動(dòng)件和基本桿組[]?；緱U組可分為兩類：全部由轉(zhuǎn)動(dòng)副組成的基本桿組和由轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副組成的基本桿組。對(duì)全部由轉(zhuǎn)動(dòng)副組成的基本桿組進(jìn)行速度分析時(shí)，在做平面運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件上施加反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（反轉(zhuǎn)法）使其靜止；對(duì)于含有移動(dòng)副的基本桿組，也在做平面運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件上施加反向運(yùn)動(dòng)使其靜止，這使得平面運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件與其相鄰的構(gòu)件就構(gòu)成了3副構(gòu)件。

本文以Ⅱ級(jí)組為研究對(duì)象，其類型如圖1所示，分別為RRR、RPR、RRP、PRP、PPR（R為轉(zhuǎn)動(dòng)副；P為移動(dòng)副）。

對(duì)圖1中的基本桿組采用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化后，列出速度矢量方程，并用矢量圖來表示。

1.1RRR基本桿組機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法速度分析

已知平面四桿機(jī)構(gòu)[RRRⅡ級(jí)桿組，見圖1（a）]所有的幾何尺寸，構(gòu)件1以角速度 沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。為了求出構(gòu)件3的角速度 ，需要先求出 C 點(diǎn)的速度 ；基于 c 點(diǎn)列出的運(yùn)動(dòng)矢量方程（正解）[圖2（a）]為

式中， 、 分別為 B 點(diǎn)的速度和 C 點(diǎn)相對(duì)于 B 點(diǎn)的相對(duì)速度。圖2中構(gòu)件2的角速度為 。

為求出 C 點(diǎn)的速度 ，也可以基于 B 點(diǎn)列出運(yùn)動(dòng)矢量方程（反解）[圖2（b）]，即

式中， 為 B 點(diǎn)相對(duì)于 C 點(diǎn)的相對(duì)速度。

機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化的基本原理：如圖3（a）所示，拆除原動(dòng)件1和機(jī)架4，構(gòu)件2和3構(gòu)成RRRⅡ級(jí)桿組，構(gòu)件2做平面運(yùn)動(dòng)；在構(gòu)件2上施加一個(gè)角速度 ，這使得構(gòu)件2和3成為了3副構(gòu)件，如圖3（b）所示。

機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化后，構(gòu)件2的角速度 為

（b）3副構(gòu)件上 B 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化速度

（c） B 點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn) c 的轉(zhuǎn)化相對(duì)速度 （204

3副構(gòu)件上 B 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化速度 為

式中， 為 B 點(diǎn)到 D 點(diǎn)的距離；下同。

B 點(diǎn)相對(duì)于 C 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化相對(duì)速度 為

式中， 為構(gòu)件2的長(zhǎng)度，如圖3（c）所示。

如圖3（d）所示， B 點(diǎn)處的速度是3副構(gòu)件上B點(diǎn)的轉(zhuǎn)化速度 和其相對(duì)于 C 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化相對(duì)速度 的合成， 為

如圖4所示，由 B 點(diǎn)處的速度計(jì)算構(gòu)件3的角速度 ，即

且 D E 的長(zhǎng)度 是個(gè)定值。

下面證明式（7）的正確性，兩個(gè) 和Δ B D C [ 圖3（d）]中，由于 和 ∠ C B D ，所以， ，則式（7）成立。

將式（7）簡(jiǎn)化為

根據(jù)式（8），構(gòu)件3的角速度 用計(jì)算機(jī)編程可快速計(jì)算得出。

構(gòu)件2的角速度 為

1.2RPR基本桿組機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法速度分析

如圖5所示，已知平面四桿機(jī)構(gòu)[RPR I 級(jí)桿組，圖 1 （ b） ]所有的幾何尺寸，構(gòu)件1以角速度 沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，求構(gòu)件3的角速度 。

機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化的基本原理：如圖7（a）所示，拆除原動(dòng)件1和機(jī)架4，構(gòu)件2和3構(gòu)成RPRⅡ級(jí)桿組，構(gòu)件2做平面運(yùn)動(dòng)。所以，在構(gòu)件2上施加構(gòu)件2相對(duì)于構(gòu)件3的相對(duì)速度 ，使得構(gòu)件2和3成為3副構(gòu)件。

γ 是構(gòu)件2和3的夾角，如果 ，當(dāng)構(gòu)件1逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，構(gòu)件2和構(gòu)件3所處的平面位置不容易確定。所以，在使用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化速度法求解構(gòu)件3的角速度前要優(yōu)先解決這個(gè)問題。具體的方法如圖6所示，過 D 點(diǎn)作 D E ⊥ B C ， E 點(diǎn)也是構(gòu)件3上的點(diǎn)，

3副構(gòu)件上 B 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化速度 為

在 、 組成的三角形中，利用正弦定理，則相對(duì)速度 、構(gòu)件3的角速度 分別為

對(duì)式（10）、式（11）分別化簡(jiǎn)，有

1.3RRP基本桿組機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法速度分析

如圖8（a）所示，已知平面四桿機(jī)構(gòu)[RRPⅡ級(jí)桿組，見圖1（c）]所有的幾何尺寸，構(gòu)件1以角速度 沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，求構(gòu)件3的速度 。

動(dòng)件1和機(jī)架4，構(gòu)件2和3構(gòu)成PRPⅡ級(jí)桿組，構(gòu)件2做平面運(yùn)動(dòng)。所以，在構(gòu)件2上施加構(gòu)件2相對(duì)于構(gòu)件1的速度 ，這使得構(gòu)件1和2成為3副構(gòu)件，則 C 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化速度為

機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化的基本原理：如圖8（b）所示，拆除原動(dòng)件1和機(jī)架4，構(gòu)件2和3構(gòu)成RRPⅡ級(jí)桿組，構(gòu)件2做平面運(yùn)動(dòng)。所以，在構(gòu)件2上施加構(gòu)件2相對(duì)于構(gòu)件1的角速度 ，使得構(gòu)件1和2成為3副構(gòu)件，則 C 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化速度為

式中， 為A點(diǎn)到 C 點(diǎn)的距離。

在 中利用正弦定理，則構(gòu)件3的速度 為

式中， 為構(gòu)件3上轉(zhuǎn)動(dòng)副至移動(dòng)副導(dǎo)路的距離。

構(gòu)件2的角速度 為

1.4PRP基本桿組機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法速度分析

如圖9（a）所示，已知平面四桿機(jī)構(gòu)[PRPⅡ級(jí)桿組，見圖1（d）]所有的幾何尺寸，構(gòu)件1以角速度 沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，求構(gòu)件3的速度 。

機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化的基本原理：如圖9（b）所示，拆除原

在 中利用正弦定理，則構(gòu)件3的速度 為

構(gòu)件2相對(duì)于構(gòu)件1的速度 為

1.5PPR基本桿組機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化法速度分析

如圖10（a）所示，已知平面四桿機(jī)構(gòu)[PPRⅡ級(jí)桿組，見圖1（e）]所有的幾何尺寸，構(gòu)件1以角速度 沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，求構(gòu)件3的角速度 、構(gòu)件2相對(duì)于構(gòu)件1的速度 、構(gòu)件3相對(duì)于構(gòu)件2的速度 。

機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化的基本原理：如圖10（a）所示，拆除原動(dòng)件1和機(jī)架4，構(gòu)件2和構(gòu)件3構(gòu)成PPRⅡ級(jí)桿組，構(gòu)件2做平面運(yùn)動(dòng)。所以，在構(gòu)件2上施加構(gòu)件2相對(duì)于構(gòu)件1的速度 ，在構(gòu)件3上施加構(gòu)件3相對(duì)于構(gòu)件2的速度 ，這使得構(gòu)件2和構(gòu)件3成為3副構(gòu)件，則 D 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化速度為

式中， 為A點(diǎn)到 D 點(diǎn)的距離。

如圖10（b）所示，在 中利用正弦定理，則構(gòu)件2相對(duì)于構(gòu)件1的速度 為

構(gòu)件3相對(duì)于構(gòu)件2的速度 為

如圖10（c）所示，為求得構(gòu)件3的角速度 ，在構(gòu)件2上施加構(gòu)件1相對(duì)于構(gòu)件2的速度 ，在構(gòu)件3上施加構(gòu)件2相對(duì)于構(gòu)件3的速度 ，這使得構(gòu)件2和3也成為3副構(gòu)件，則 A 點(diǎn)的轉(zhuǎn)化速度為

由于 及 、 大小分別相等，所以

即

2 實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述方法的準(zhǔn)確性，特別是基本桿組中有移動(dòng)副的，以RPRⅡ級(jí)桿組為例進(jìn)行速度分析。

如圖11（a）所示，已知機(jī)構(gòu)985尺寸（單位：in，1i n=2 . 5 4c m ）和原動(dòng)件2（曲柄）的角速度（ 3 6 r a d / s ，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)），求構(gòu)件4的角速度 。

如圖 1 1 （ b） 所示，在構(gòu)件3上施加構(gòu)件3相對(duì)于構(gòu)件4的速度 ，使構(gòu)件3和4構(gòu)成RPRⅡ級(jí)桿組。根據(jù)速度矢量 ，構(gòu)件4的角速度 7 . 4 5 r a d / s ，為逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，該結(jié)果與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果一致。

3結(jié)論

以Ⅱ級(jí)基本桿組的5種類型為研究對(duì)象，分別對(duì)其進(jìn)行機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化，列出平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的矢量方程，并給出了速度和角速度的計(jì)算式。機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化速度分析法對(duì)解決平面機(jī)構(gòu)中同一構(gòu)件上兩點(diǎn)和兩構(gòu)件重合點(diǎn)間的速度分析這兩類問題都適用，尤其是在求解基本桿組中含有移動(dòng)副的速度問題時(shí)更為方便直接，并通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

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Velocity analysis of planar mechanisms based on conversion mechanism

LI Xiuming'WANG Changlu2 DONG Zhifeng1 [1.SchoolofMechanicalandElectricalEnginering，ChinaUniversityofMiingndTechnology（Beijing），Beijingo8，Cina] （2.Jiangsu Zhonggong Research Institute of Advanced Equipment Co.，Ltd.，Taixing 225403，China）

Abstract：[Objective] Inthescenario where thedimensionsofthe mechanismandthemotionlawof thedriving link are alreadyknown，thepurposeofkinematicanalysisofmechanismsistodeterminethemotioncharacteristicsofotherlinkswithin the mechanismand toadresstwo types ofproblems：velocity analysis concerming two points onthe samelink and velocity analysisconcerningcoincidentpointsbetween twolinksinaplanarmechanism.However，thevelocityanalysisofcoincident pointsbetween twolinksisrelativelydificult tocomprehend.[Methods]Byutilizing thecomposition principleof planar mechanisms，theplanarmechanism was disasembled into thedriving linkandfundamental ink groups.Areverse motion was imposedonthelinksundergoingplanarmotionwithinthefundamentallinkgroups，therebyresultinginmechanism transformation.Themechanismtransformationvelocityanalysismethodwasemployed toperformcorrspondingvelocity analysis forthefivetypesofclassIIfundamentallink groups，whichwasappicable toothaforementionedtypesofproblems. [Results]Theaccuracyofthe mechanismtransformationvelocityanalysis methodisvalidated through practical examples.

KeyWords：Velocity analysis;Basic link group; Conversion mechanism;Planar mechanism