基于彈性補(bǔ)償?shù)某橛蜋C(jī)齒輪齒廓修形

中圖分類號(hào)：TH123.4 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.011

0 引言

齒輪齒條式抽油機(jī)是一種具有長(zhǎng)沖程、高效率、低能耗、強(qiáng)通用性的新型抽油機(jī)[]，目前已被多個(gè)油田用于更深處的頁巖油開采。然而，在重載、野外開采環(huán)境惡劣等綜合工況影響下，抽油機(jī)的齒輪齒條在嚙合時(shí)會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的嚙入沖擊2，進(jìn)而導(dǎo)致齒面局部材料剝落，出現(xiàn)輪齒點(diǎn)蝕現(xiàn)象（圖1），嚴(yán)重縮短抽油機(jī)的使用壽命、降低石油的開采效率。為了解決這一問題，有學(xué)者研究表明，齒廓修形可以提高傳動(dòng)精度和齒輪強(qiáng)度，提高接觸疲勞壽命[3]。

對(duì)于齒輪機(jī)構(gòu)的輪齒修形，許多學(xué)者做了大量研究。蘇進(jìn)展等4根據(jù)ISO對(duì)角修形定義，準(zhǔn)確計(jì)算了對(duì)角修形起始線的螺旋角，確定修形齒面，通過遺傳算法優(yōu)化確定了對(duì)角修形目標(biāo)齒面。李鵬然研究了齒輪齒面拓?fù)湫扌卧聿⑻岢鲆环N拓?fù)湫扌锡X面方法。BRUYERE等給出了窄面正齒輪和斜齒輪嚙合彈性與接觸模式的一些理論結(jié)果，得到了使傳動(dòng)誤差的時(shí)變幅值最小的齒廓修形和齒頂修形最佳組合的原始半解析定義。LIU等基于齒輪嚙合理論，推導(dǎo)了含齒廓修形參數(shù)的齒面方程，構(gòu)造了未修形和修形齒輪齒面，研究了齒形修形參數(shù)對(duì)雙螺旋齒輪副齒面載荷分布的影響。GAO等8基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的側(cè)向扭擺耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，提出了一種漸開線直齒輪的動(dòng)態(tài)優(yōu)化修形技術(shù)。TANG等利用有限元仿真數(shù)據(jù)和徑向基函數(shù)（RadialBasisFunction，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，逼近了齒輪變速參數(shù)與齒輪傳動(dòng)輻射噪聲之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；采用多島遺傳算法對(duì)齒輪改裝參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使齒輪傳動(dòng)噪聲最小化。SA-MANI等[從面向功能的設(shè)計(jì)思想出發(fā)，提出了一種設(shè)計(jì)高階傳動(dòng)的高傳動(dòng)比弧齒錐齒輪的新穎方法。ZHOU等[1]針對(duì)齒廓修形（ToothProfileModification，TPM）對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，提出等效靜態(tài)傳遞誤差的概念，并給出計(jì)算方法，推導(dǎo)了TPM后系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。NAKHATAKYAN2提出一種計(jì)算輪齒縱向修形量的方法。HAN等[13提出一種基于多軸聯(lián)動(dòng)參數(shù)優(yōu)化的展成磨齒拓?fù)湫扌畏椒?，采用多目?biāo)優(yōu)化遺傳算法對(duì)機(jī)床運(yùn)動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，并給出了具體的加工方法。

綜上所述，以往的研究主要集中于兩齒輪嚙合的情況，對(duì)于具有兩種齒形嚙合的齒輪齒條機(jī)構(gòu)的研究較為缺乏。本文針對(duì)齒輪齒條式抽油機(jī)這一工程背景，利用石川法計(jì)算齒輪齒條嚙合過程中輪齒的變形量；通過修形量補(bǔ)償變形量的方式，確定不同的修形方案；經(jīng)過有限元數(shù)值模擬和試驗(yàn)對(duì)比，分析驗(yàn)證了不同方案的性能，為抽油機(jī)齒輪的實(shí)際生產(chǎn)提供一定的參考。

1齒輪彈性變形量計(jì)算

物體變形量通常與剛度有密切關(guān)系[14]。齒輪剛度計(jì)算方法中，最具權(quán)威性、應(yīng)用最為廣泛的是以材料力學(xué)為基礎(chǔ)的石川法和Weber法。本文中，采用石川法計(jì)算齒輪齒條嚙合剛度。石川法剛度計(jì)算模型將輪齒看作矩形和梯形的組合，如圖2所示。

由圖2中幾何關(guān)系，節(jié)圓高 為

矩形高 為

全齒高 h 為

齒根厚度 為

式中， 為基圓半徑； z 為齒輪齒數(shù)； 為齒頂厚度；

為齒輪端面分度圓處的嚙合角。

節(jié)圓載荷角 為

輔助尺寸 為

式中， 為 到齒輪中心的距離； 為計(jì)算中齒頂圓半徑； 為計(jì)算中齒根圓半徑； 為嚙合角； X 為變位系數(shù)； 為基圓半徑。

齒輪輪齒變形包括彎曲、剪切、接觸變形等。用下標(biāo) i 表示第 i 個(gè)嚙合的齒輪或齒條，則得到的一對(duì)輪齒嚙合時(shí)的總變形8是這些變形的總和，即

式中， 為載荷點(diǎn)沿嚙合線方向上的矩形部分彎曲變形量。

為梯形部分彎曲變形量，則

為由剪切力產(chǎn)生的變形量，則

為基礎(chǔ)部分產(chǎn)生的變形量，則

為齒輪齒條的赫茲接觸變形，則

式中， E 為材料彈性模量； 為接觸寬度，即齒輪齒條的齒寬； v 為材料泊松比。

2 修形方案

2. 1 齒輪修形點(diǎn)確定

本文選擇新疆某油田使用的某型抽油機(jī)為研究對(duì)象，其整體結(jié)構(gòu)如圖3所示。該抽油機(jī)的原理：電動(dòng)機(jī)通過聯(lián)軸器、減速器驅(qū)動(dòng)小齒輪，使小齒輪與安裝在上下移動(dòng)架上的齒條嚙合，帶動(dòng)整個(gè)環(huán)形齒條機(jī)架做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，從而帶動(dòng)與鋼絲繩連接的抽油桿實(shí)現(xiàn)抽油動(dòng)作。因此，齒輪齒條機(jī)構(gòu)的性能基本上決定了抽油機(jī)系統(tǒng)的性能。

齒輪為標(biāo)準(zhǔn)圓柱漸開線直齒輪，齒條由直行段的直齒條與換向段的弧形齒輪拼接而成。經(jīng)實(shí)地考察得知，齒輪的平均轉(zhuǎn)速約為 3 5 r / m i n ，齒條負(fù)載約為 4 0 2 7 0 N. 。齒輪齒條的參數(shù)如表1所示。由于齒輪的嚙合次數(shù)遠(yuǎn)大于齒條，所以，實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中齒輪的失效概率更大。因此，本文中主要針對(duì)齒輪進(jìn)行齒廓修形。

在假定載荷沿齒寬方向均勻分布且不考慮輪齒彈性變形的條件下，齒輪系統(tǒng)無嚙入沖擊。但在考慮齒輪彈性變化后，齒輪嚙合就存在嚙入沖擊[15-16]。根據(jù)尼曼等的試驗(yàn)，當(dāng)載荷引起的變形量等于齒輪的齒廓修形量時(shí)，其修形結(jié)果是理想的，即齒頂?shù)淖畲笮扌瘟空醚a(bǔ)償變形產(chǎn)生的輪齒的干涉量時(shí)，理論上就不再有嚙入沖擊。根據(jù)Walker的試驗(yàn)結(jié)果[18]，單齒嚙合區(qū)域不需要修形，將雙齒嚙合區(qū)齒頂?shù)膰Ш祥L(zhǎng)度作為齒廓修形的齒頂修形高度，如圖4所示。

式中， 為齒輪的嚙合角； 為嚙合區(qū)域長(zhǎng)度。

根據(jù)計(jì)算，齒輪的單齒嚙合下限半徑為1 3 2 . 1 7 m m ，單齒嚙合上限半徑為 1 4 5 . 9 0 m m ，節(jié)線P 與分度圓重合，半徑為 1 3 6 m m 。

齒廓修形的曲線大多采用漸開線、拋物線、Walker曲線、圓弧及圓弧包絡(luò)線等[19]。齒頂修形的起始位置和修形量按嚙合位置確定。齒輪齒頂?shù)男扌瘟亢托扌吻€如圖5所示。圖5中， Δ D 為修形起始點(diǎn)長(zhǎng)度； 為尖端點(diǎn)； P 為節(jié)點(diǎn)； 為嚙合下界點(diǎn)； 為單齒嚙合上界點(diǎn)； 為單齒嚙合下界點(diǎn)； 和 高度相同，為修形起點(diǎn)。

圖4中，徑向高度 和 分別為

其中，

根據(jù)齒廓的修形長(zhǎng)度，修形類型可分為長(zhǎng)修形（單齒對(duì)嚙合的上界點(diǎn)為修形起點(diǎn)）和短修形（單齒對(duì)嚙合的上界點(diǎn)到尖端點(diǎn)的一半為修形起點(diǎn)）。本文修形的起點(diǎn)選在單齒對(duì)嚙合的上界點(diǎn)。

2.2 修形量確定

本文采用的齒廓修形方式為偏轉(zhuǎn)漸開線和增加圓角。其中，偏轉(zhuǎn)漸開線的角度為修形角度； Δ A 為修形長(zhǎng)度；圖5中紅線為偏轉(zhuǎn)后的部分齒廓曲線。經(jīng)理論計(jì)算，當(dāng)齒輪承受的負(fù)載為 ，且齒向載荷均勻分布時(shí)，該齒輪齒廓最佳修形長(zhǎng)度 Δ A 為0 . 0 1 8 8 m （ m 為模數(shù)），修形角度為 。本文使用有限元仿真和試驗(yàn)分析對(duì)比驗(yàn)證修形效果。將最佳修形量按照一定比例放縮圓整，形成4種修形方案，用以對(duì)比驗(yàn)證本文修形思路的準(zhǔn)確性。4種修形方案的修形量如表2所示。

3 仿真分析

3.1 接觸應(yīng)力分析

有限元仿真分析中的邊界條件與抽油機(jī)的實(shí)際運(yùn)行情況一致：齒輪做定軸旋轉(zhuǎn)；齒條沿其長(zhǎng)度方向平動(dòng)。其中，有限元網(wǎng)格數(shù)為255134，節(jié)點(diǎn)數(shù)為296013，所采用的有限元分析軟件為AnsysWorkBench18.0。不同修形方案下的接觸應(yīng)力結(jié)果如圖6所示。

（d）方案2的應(yīng)力分布三（e）方案3的應(yīng)力分布光三（f）方案4的應(yīng)力分布

由圖6可知，雖然齒輪齒條的嚙合條件與位置相同，但修形量的不同會(huì)使齒輪齒條嚙合中的接觸應(yīng)力出現(xiàn)明顯改變。其中，修形方案2接觸應(yīng)力明顯降低，位于單齒嚙合區(qū)域的最大接觸應(yīng)力變?yōu)椴▌?dòng)，應(yīng)力持續(xù)時(shí)間變長(zhǎng)，但應(yīng)力峰值降低，其波峰是屬于正常嚙合時(shí)單雙齒交替產(chǎn)生的。當(dāng)修形量低于理論最佳修形量時(shí)，如方案1所示，接觸應(yīng)力降低，最大接觸應(yīng)力波動(dòng)持續(xù)時(shí)間變長(zhǎng)，但應(yīng)力峰值降低。

修形方案3和方案4接觸應(yīng)力在某些位置會(huì)呈現(xiàn)一定程度的升高，如方案3的嚙出應(yīng)力較高，方案4的嚙入應(yīng)力較高；其應(yīng)力波動(dòng)程度改變，其最大應(yīng)力持續(xù)時(shí)間也增加，即改變了重合度。

3.2疲勞壽命分析

計(jì)算得到不同修形方案下的接觸應(yīng)力后，將原始接觸應(yīng)力轉(zhuǎn)換為對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力，用三點(diǎn)雨流計(jì)數(shù)法統(tǒng)計(jì)材料的疲勞-壽命曲線對(duì)應(yīng)的疲勞損傷，從而將離散化的頻譜和疲勞損傷累計(jì)，得到總的疲勞損傷值和疲勞壽命。圖7為得到的抽油機(jī)齒輪齒條的疲勞壽命云圖。

由圖7可知，當(dāng)修形量為理論最佳修形量的1.5倍時(shí)，方案3中齒輪的疲勞壽命會(huì)出現(xiàn)降低；方案4中，修形角度和修形長(zhǎng)度過大，接觸區(qū)域會(huì)減小，導(dǎo)致齒輪齒廓失去了漸開線的優(yōu)良特性，接觸應(yīng)力增大，嚙入嚙出波動(dòng)提升，所以，疲勞壽命顯著降低。

當(dāng)修形量少于理論最佳修形量時(shí)，如方案1的修形角度和修形長(zhǎng)度，能夠改善齒輪的嚙合條件，減少齒面應(yīng)力集中和應(yīng)力波動(dòng)，提高疲勞壽命。不考慮材料、載荷、轉(zhuǎn)速、潤(rùn)滑等的變化時(shí)，方案2的修形角度和修形長(zhǎng)度最接近理論計(jì)算的最佳值，其補(bǔ)償效果最好，疲勞壽命最長(zhǎng)。

不同的修形方案下齒輪的最低疲勞壽命如圖8所示。

綜上所述，齒廓轉(zhuǎn)角修形可以減小嚙合沖擊、降低噪聲、提高承載能力。在一定范圍內(nèi)，修形角度越大，接觸應(yīng)力越小，疲勞壽命越長(zhǎng)，但是，超過一定界限以后，會(huì)造成干涉，影響其他性能。

4試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文確定的修形量對(duì)齒輪齒條疲勞壽命的影響，采用加速疲勞壽命試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證20。試驗(yàn)所使用的試驗(yàn)臺(tái)如圖9所示。其中，驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)的輸出軸通過聯(lián)軸器與齒輪軸連接，齒輪與齒輪軸通過鍵連接，齒輪軸通過軸承固定在底座上；齒條被固定在滾珠絲杠滑軌上。驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)由脈沖控制器和PLC控制，驅(qū)動(dòng)齒輪進(jìn)行往復(fù)定軸旋轉(zhuǎn)。

由于實(shí)際中模型太大，試驗(yàn)時(shí)間過長(zhǎng)，試驗(yàn)?zāi)Ｐ筒捎梦⒖s模型驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性。試驗(yàn)件的尺寸依照 8 ： 1 的比例進(jìn)行微縮，其材料和熱處理方式與實(shí)際的齒輪齒條材料一致。試驗(yàn)中，為節(jié)省試驗(yàn)時(shí)間，采用不同等級(jí)載荷進(jìn)行加載，載荷加載方式為階梯增載法2。試驗(yàn)過程中，只在初次安裝時(shí)加注潤(rùn)滑油，轉(zhuǎn)速為 ，載荷為 1 5 0 N. 。對(duì)試驗(yàn)齒輪進(jìn)行編號(hào)（圖10），當(dāng)主動(dòng)齒輪每經(jīng)過 r時(shí)，觀察一次齒面形貌。不斷持續(xù)這個(gè)過程，齒輪齒面出現(xiàn)點(diǎn)蝕破壞即加載結(jié)束。試驗(yàn)結(jié)果如圖11所示。

由圖11可知，試驗(yàn)得到的齒輪疲勞壽命均小于數(shù)值仿真的結(jié)果。這是因?yàn)樵囼?yàn)所用的齒輪齒條具有一定的制造誤差和裝配誤差，特別是試驗(yàn)中齒輪要經(jīng)歷多次的啟停，這會(huì)導(dǎo)致齒輪的疲勞壽命出現(xiàn)比較大的降低。但是，各個(gè)方案的疲勞壽命趨勢(shì)與圖8所示基本一致，這說明齒廓修形對(duì)于提高齒輪齒條嚙合質(zhì)量有一定的積極作用，驗(yàn)證了第3.2節(jié)中的結(jié)論。

5結(jié)論

1）經(jīng)過修形后，齒輪的彈性補(bǔ)償效果明顯。修形量等于理論最佳修形量時(shí)，接觸應(yīng)力降低，疲勞壽命提升最大。修形量少于理論最佳修形量，也能夠改善齒輪的嚙合條件，降低齒面接觸應(yīng)力的峰值和波動(dòng)情況。但當(dāng)修形量超過理論最佳修形量的一半時(shí)，接觸應(yīng)力升高，疲勞壽命會(huì)出現(xiàn)降低的情況。

2）在一定范圍內(nèi)，修形角度越大，接觸應(yīng)力越小、疲勞壽命越長(zhǎng)；但是，超過一定界限以后，會(huì)造成干涉，影響其他性能，也會(huì)降低齒輪的承載能力。

3）綜合而言，基于彈性補(bǔ)償?shù)凝X輪修形能夠有效減小嚙入沖擊、減緩接觸應(yīng)力的波動(dòng)程度、延長(zhǎng)齒輪的疲勞壽命。但在實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中，需要考慮齒輪的加工精度、裝配精度等因素，并結(jié)合具體的工況和設(shè)計(jì)要求來確定最優(yōu)的修形參數(shù)。

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Elastic compensation-based gear profile reshaping for oil pumping machines

HUO Zhongtang12MUTELLIP Ahmat1DI Fankai1ZHOUHuafeng3WANG Yuhui1 （1.School of Electrical Engineering，Xinjiang University， Urumqi 83oo47， China） （2.CollegeofElectricalandMechanical Engineering，HandanUniversity，Handan O56ooo，China） （3.XinjiangWusu NorthXinkeLimitedLiabilityCompany，Wusu833ooo，China）

Abstract：[Objective]Thefeasibilityof tooth profilereshaping toreduce themeshingshockand improvethefatigue lifeof gears was discused for the meshing shock phenomenon of therack and pinion mechanism of theoil pumping machine. [Methods]Firstly，theelasticdeformationofgeartethduringthemeshingwascalculatedbasedontheIshikawamethod. Secondly，four profilereshapingschemes wereobtained bycompensating theelasticdeformationofgear teth withthegear profilereshapingamount.Finaly，theefectofeachprofilereshapingschemewasverifiedbythefiniteelementsimulationand thetestcomparisonanalysis.[Results]Theresultsshowthatthegearreshapingamount withinacertainrangecaneffectively improvethefatiguelifeofgearsandreducethefluctuationofthecontactstressandthebestreshapingamountisthetheoretical reshapingamount.However，whentheamountofreshaping istoosmallortoobig，thefatigue lifeof gearswillbelitle improved or even reduced.

KeyWords：Stress fluctuation;Elastic compensation; Involute spur gear;Tooth contouring; Fatigue life