基于差分進化算法的轉(zhuǎn)子有限元模型修正

中圖分類號：TB9；TH133 文獻標志碼：A文章編號：1674-5124（2025）06-0141-09

Rotor finite element model modification based on differential evolution algorithm

HUANG Tianyi， LIANG Jie， YAO Shuang， ZHANG Hao， SHI Zhanqun （School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 30o130， China）

Abstract： In the modeling process，constraints imposed by measurement environments and precision often result insignificant discrepancies between specified parameters and actual values of rotor structures，leading to mismatches between theoretical calculations based on the model and measured values. To address this issue， a model correction method has been proposed，combining experimental modalities with the diferential evolution algorithm. Sensitivity analysis of modal frequencies to rotor material parameters have been initially conducted， establishing an objective function based on the confidence levels of modal frequencies and modal shapes.The diferential evolution algorithm has been applied to correct the model's mass and stiffness matrices，followed by the determination of the Rayleigh damping matrix based on experimental modal frequencies and damping ratios.To validate the applicability of the method，the finite element model of a rotor on a sliding bearing experimental setup has been corrected. Comparative analysis with the initial model reveals that the corrected model exhibits modal frequency errors below 0.02% ，and the modal confidence intervals between computed and experimental modal shapes consistently exceed 0.9. To verify the accuracy of the method， frequency response function and unbalanced response simulations have been conducted on the revised model，and the error between the simulation results and experimental results were both less than 2.5% . This method effectively enhances the precision of the rotor system model， providing a practical reference for dynamic analysis and engineering applications.

Keywords： diffrential evolution algorithm; experimental mode; rotor dynamics; model modification

0引言

在能源、電力、航空航天和水運交通等工業(yè)領(lǐng)域中，隨著對高功率、高轉(zhuǎn)速、高可靠性的大型旋轉(zhuǎn)設(shè)備需求日益增長，準確預測和實時監(jiān)測轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)行為變得至關(guān)重要，因此需要建立具有高保真度的轉(zhuǎn)子有限元模型[1-3]。但是在建模的過程中，因受制于測量的環(huán)境和精度等因素，轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、質(zhì)量、剛度等參數(shù)往往與真實值相差較大，轉(zhuǎn)子模型的精確度較低從而導致基于模型的理論計算與測量值不匹配。

目前對有限元模型進行修正的方法分為直接方法和迭代方法[4-6。直接法是在滿足模態(tài)正交的條件下，通過最小化測量特征向量與計算特征向量之間的加權(quán)歐式范數(shù)來直接調(diào)整質(zhì)量和剛度矩陣。雖然直接法計算效率高，但修正后模型通常無法保持連通性并且質(zhì)量和剛度矩陣的修正缺乏明確的物理意義[7。迭代法本質(zhì)上是一種多目標優(yōu)化過程，通過對多個修正參數(shù)的靈敏度分析保證修正后模型的可靠性，并將其構(gòu)建成目標函數(shù)來表示有限元模型與真實結(jié)構(gòu)之間的差異，運用優(yōu)化迭代算法獲得最小化目標函數(shù)值，使得有限元模型與實際結(jié)構(gòu)相符[8]。此外，迭代方法還能夠充分利用多種優(yōu)化算法，例如遺傳算法[]、粒子群算法[10]以及模擬退火算法[11]，以提高迭代方法的計算效率。因此與直接法相比，迭代方法在保證計算效率的同時還保持修正后模型的物理意義。張保強[12]基于二次規(guī)劃優(yōu)化算法對軸承的支承剛度、支承阻尼和轉(zhuǎn)盤的直徑轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)進行修正；劉娟[13]通過粒子群算法對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)柔性部件的有限元建模與修正；王金江[14]等采用基于響應(yīng)面的模態(tài)修正對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度矩陣進行參數(shù)更新。

為了進一步提高轉(zhuǎn)子有限元模型的精度以及模型修正的計算效率，本文提出一種利用差分進化算法對轉(zhuǎn)子有限元模型進行修正的方法，根據(jù)實驗?zāi)B(tài)頻率和阻尼比確定瑞利阻尼矩陣。通過模態(tài)頻率誤差值與模態(tài)振型MAC值的高匹配度驗證修正方法的適用性。通過不平衡響應(yīng)實驗獲得測試數(shù)據(jù)，并與修正前后的模型數(shù)值仿真結(jié)果進行對比，驗證該方法的準確性。

1轉(zhuǎn)子有限元模型建立

1.1 軸段單元

將彈性軸段離散成多個Timoshenko梁單元[15]。如圖1所示，每個單元都有兩個結(jié)點，并且在每個結(jié)點有兩個平移自由度和兩個旋轉(zhuǎn)自由度，每個單元的位移向量表示為：

q_e=（x_i，y_i，ψ_i，θ_i，x_i+1，y_i+1，ψ_i+1，θ_i+1）

軸段的運動方程可表示成為：

式中： M_Te 和 M_Re 一 軸單元的平動質(zhì)量矩陣和轉(zhuǎn)動質(zhì)量矩陣;K_e 、 c_e 和 G_e 一 軸單元的剛度、阻尼和矩陣; 轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速； -作用在相鄰軸段的作用力和力矩。

1.2 剛性圓盤

對于轉(zhuǎn)子的有限元模型，可假設(shè)轉(zhuǎn)軸上的圓盤組件為剛性[16]。對圓盤節(jié)點處的質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩進行建模，并將其添加到對應(yīng)節(jié)點上，剛性圓盤的動力學方程可以表示為：

式中： M_d 和 G_d —質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣;

Q_d -圓盤兩端的力和力矩；

q_d 圓盤位移向量。

1.3 系統(tǒng)動力學方程

對于具有 n 個單元的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，將各單元的矩陣進行組合得出系統(tǒng)的運動學方程：

式中： M，C，G 和 K —系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；q 系統(tǒng)的位移向量； —系統(tǒng)所受的力和力矩。

2 模型修正方法

該方法首先通過優(yōu)化算法確定質(zhì)量和剛度矩陣，隨后利用實驗測量的模態(tài)頻率和阻尼比確定阻尼矩陣。圖2給出了模型修正的流程圖。

其中迭代收斂標準是通過允許誤差值計算出目標函數(shù)的收斂閾值，當達到收斂閾值后迭代停止。若達不到收斂閾值且在某一點選入穩(wěn)定狀態(tài)可設(shè)置最大迭代次數(shù)或手動停止來結(jié)束迭代。

2.1 差分進化算法

差分進化算法（differentialevolution，DE）是一種用于全局優(yōu)化問題的進化算法。該理論首先由StornRainer和KennethPrice共同提出?；玖鞒贪ǎ菏紫瘸跏蓟唤M種群中的個體，然后通過差分操作生成新的個體，對比新舊個體的適應(yīng)度，保留適應(yīng)度更高的個體，逐代迭代這個過程，直到達到停止條件，從而找到最優(yōu)解[17]。

差分進化的核心是通過變異、交叉和選擇操作來搜索最優(yōu)解，適用于連續(xù)、離散和混合型優(yōu)化問題。相較于粒子群算法和二次規(guī)劃算法，差分進化算法通過引入差異和變異操作來探索解空間，有助于跳出局部最優(yōu)解的區(qū)間，并且由于差分進化算法對初始種群和參數(shù)設(shè)置的依賴性相對較低。這使得它在處理復雜問題時更具有魯棒性[18]。

2.2基于差分進化算法的模型修正

2.2.1 修正質(zhì)量矩陣和剛度矩陣

對于轉(zhuǎn)子的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣修正，先忽略轉(zhuǎn)子的阻尼矩陣，因此轉(zhuǎn)子的無阻尼自由振動方程為：

轉(zhuǎn)子自由振動狀態(tài)下做簡諧運動，所以位移向量 q 可表示為：

q=?_Asin（ω_At+θ）

式中： ?_A 1 振型向量;ω_A 1 模態(tài)頻率，單位為 Hz θ 相位角，單位為rad。

將位移向量代入運動方程中，得到：

令 λ=ω_A² ，則特征方程為：

det（K-λM）=0

特征方程的 n 個特征根 λ_i（i=1，2，3，…，n） 表示系統(tǒng)的 n 階模態(tài)頻率 ，所對應(yīng)的 ?_Ai 為模態(tài)振型。

隨后將有限元模型與實際模型之間的差異轉(zhuǎn)化為如下的修正變量。

ε_ωi=（ω_Ai（e）-ω_Xi）²

式中： e ——修正變量，例如轉(zhuǎn)子的彈性模量和密度;ε_ωi 和 —模態(tài)頻率誤差和模態(tài)振型誤差;ω_Ai（e） 和 ω_Xi 一 為第i階的計算模態(tài)頻率和實驗?zāi)B(tài)頻率。

模態(tài)置信區(qū)間（modeledassurancelevel，MAC）是一個統(tǒng)計概念，是用來表示計算模態(tài)振型與實驗?zāi)B(tài)振型之間的匹配程度。其定義如下：

式中： {?_X（e）}_i ——第i階實驗?zāi)B(tài)振型;

{?_A（e）}_i ——第i階計算模態(tài)振型。

MAC值的范圍從0到1，其中0表示兩個模態(tài)振型之間沒有相似性，而1表示兩個模態(tài)振型完全相同。

將 ε_ωi 和 ε_Mi 與權(quán)重系數(shù)相組合，建立差分進化算法的目標函數(shù)如下所示：

其中 K_ωi 和 K_Mi 分別為模態(tài)頻率誤差和模態(tài)振型誤差的權(quán)重系數(shù)。

通過差分進化算法對轉(zhuǎn)子的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣修正：首先利用修正變量計算出 ε_ωi 和 ε_Mi 并將其代入到目標函數(shù)中。隨后通過差分進化算法進行迭代，逐步調(diào)整修正變量，使得目標函數(shù)最小化。得到令目標函數(shù)最小化的修正變量即為最優(yōu)參數(shù)值，最后用最優(yōu)參數(shù)值構(gòu)建質(zhì)量和剛度矩陣。

2.2.2 修正阻尼矩陣

利用差分進化算法得到修正后的質(zhì)量和剛度矩陣，進一步可得到修正的阻尼矩陣：

C_update=αM_update+βK_update

式中： M_update 和 K_update （21號 修正后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；

α 和 β ——瑞利阻尼系數(shù)，可通過下式獲得：

2ζ_iω_Xi=α+βω_Xi²

式中： ζ_i -第i階實驗?zāi)B(tài)阻尼比，wXi 第i階的固有頻率。

若有多組實驗?zāi)B(tài)頻率和阻尼比，可采用最小二乘擬合方法求解瑞利阻尼系數(shù)。

3修正模型適用性驗證

圖3給出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型修正的流程圖，首先對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)先進行計算模態(tài)分析和實驗?zāi)B(tài)分析，通過比較模態(tài)參數(shù)來進行相關(guān)性分析，從而評估有限元模型與實驗?zāi)B(tài)分析的差異。然后，通過靈敏度分析來選擇修正的修正變量。利用差分進化算法對修正變量進行選優(yōu)，從而獲得修正后的有限元模型

為了驗證該方法的適用性，對圖4的實驗臺進行模型建立和修正?；瑒虞S承轉(zhuǎn)子實驗臺為無錫厚德自動化儀表有限公司生產(chǎn)。該實驗臺是針對油氣混合潤滑狀態(tài)下滑動軸承的潤滑特性與動態(tài)特性的研究而設(shè)計的綜合型實驗臺。

3.1 計算模態(tài)分析

轉(zhuǎn)子通過兩個滾動軸承支撐兩端，中間通過一個滑動軸承進行支撐。剛性圓盤采用6063-T6，通過套圈由一對螺栓固定在軸上。主軸采用1045鋼，中間軸頸尺寸為 40mm ，滾動軸承和剛性圓盤的配合軸段為 20mm ，其余軸段均為 25mm 。

如圖5所示，通過第1節(jié)的方法建立轉(zhuǎn)子有限元模型，將軸離散成14個Timoshenko梁單元和15個質(zhì)量結(jié)點，圓盤位于3號結(jié)點，滾動軸承分別位于2和13號結(jié)點，滑動軸承位于10號結(jié)點。初始模型的前四階模態(tài)根據(jù)第2節(jié)計算得出，計算結(jié)果如表1所示。并計算出前四階的振型，其計算結(jié)果如圖6所示。

3.2 實驗?zāi)B(tài)分析

為獲取實驗?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)，將轉(zhuǎn)子通過兩根彈性繩水平懸掛，采用多點激勵、單點拾振的方法，用力錘對圖5所示的質(zhì)量點進行激勵，并通過安裝在結(jié)點上的加速度傳感器采集響應(yīng)信號。如圖7所示。

實驗中所使用的數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)為西門子公司生產(chǎn)的LMSSCADAS-CH24數(shù)據(jù)采集前端和LMSTest.Lab2021A振動噪聲數(shù)據(jù)后處理軟件平臺。激勵源選擇的是揚州英邁克公司生產(chǎn)的IH-02脈沖力錘，振動加速度傳感器選擇的是北京啟創(chuàng)莫非生產(chǎn)的MPS-ACC01X單軸ICP加速度傳感器。

利用LMS數(shù)據(jù)采集和處理平臺對模態(tài)參數(shù)進行測量與各個輸出點響應(yīng)整合，基于輸入力和輸出響應(yīng)之間的頻率響應(yīng)函數(shù)關(guān)系，提取出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的實驗?zāi)B(tài)頻率、實驗?zāi)B(tài)振型和實驗阻尼比。由圖8可得知前四階的實驗?zāi)B(tài)頻率分別為376.41、909.72、2383.02、3701.69Hz，前四階的阻尼比分別為 0.33% 0.34% ， 1.66% ， 0.97% 。

3.3計算模態(tài)與實驗?zāi)B(tài)的相關(guān)性分析

為了評估有限元模型與實驗?zāi)B(tài)分析的差距就，需要對實驗?zāi)B(tài)與初始模型模態(tài)的相關(guān)性進行分析。

首先是對模態(tài)頻率進行分析。將計算模態(tài)頻率與實驗?zāi)B(tài)頻率之間的相對誤差定義為：

模態(tài)頻率的相對誤差結(jié)果如表2所示。由表中信息所得知一階模態(tài)頻率誤差在 8.6836% 左右，二四階模態(tài)頻率誤差較大，三階模態(tài)誤差較小?？傮w來說，實驗?zāi)B(tài)頻率與初始模型的計算模態(tài)頻率之間存在較大差異。

其次是對振型的相關(guān)性分析，圖9給出了計算模態(tài)振型與實驗?zāi)B(tài)振型之間的MAC值。可以看出第一、二、四階的MAC值均為0.9左右，但是第三階的模態(tài)振型形狀與實驗數(shù)據(jù)的一致性較差，僅有0.77842，因此需要對結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進一步修正。

3.4 選擇修正變量

作為模型修正的重要組成部分，在進行模型修正前應(yīng)優(yōu)先選定合理的修正變量參數(shù)；同時還應(yīng)考慮修正變量的數(shù)量，一方面?zhèn)€數(shù)不足會導致模型修正結(jié)果不理想；另一方面?zhèn)€數(shù)過多可能會導致迭代發(fā)生發(fā)散，因此需要對初選修正變量進行靈敏度分析，為模型修正中的有效參數(shù)設(shè)置提供理論基礎(chǔ)。一方面由于轉(zhuǎn)軸和圓盤因為加工技術(shù)的影響，另一方面受螺栓緊固套圈的影響，軸和圓盤之間的剛度無法直接獲得，而這又是影響模態(tài)的重要參數(shù)，因此預先選擇轉(zhuǎn)軸的密度、彈性模量和圓盤的密度作為修正變量。轉(zhuǎn)軸的密度用 ρ 來表示，圓盤質(zhì)量用M 來表示，轉(zhuǎn)軸的彈性模量如圖10所示。

在初步選擇了修正變量之后，需要通過模態(tài)頻率和目標函數(shù)的靈敏度分析，對修正變量進行篩選，并以較為敏感的參數(shù)作為最終的模型修正變量。如圖11所示，模態(tài)頻率對轉(zhuǎn)軸的彈性模量變化較為敏感，轉(zhuǎn)軸的密度雖然對靈敏度影響不大，但是對最終計算結(jié)果有一定的影響，因此選擇轉(zhuǎn)軸的密度和彈性模量作為修正變量。

3.5 利用差分進化算法修正模型

在對模型進行修正之前，需要確定目標函數(shù)的權(quán)重因子。由于低階模態(tài)的貢獻量較大、高階振動能量較低，因此主要針對其前兩階的模態(tài)頻率和模態(tài)振型選取較大的權(quán)重系數(shù)，如表3所示。

在差分進化算法的迭代過程中，將最大迭代次數(shù)設(shè)置為60。如圖12所示，目標函數(shù)在20步內(nèi)從96.262逐步減少到7.372，并在60步時達到1.858。圖12還顯示采用蟻群算法（antcolonyoptimization，ACO）和粒子群算法（particleswarmalgorithm，PSO）對目標函數(shù)進行優(yōu)化迭代過程，可以看出差分進化算法相較于其他兩種算法，雖然收斂速度較慢，但由于其全局搜索能力較強，避免陷入最優(yōu)解，結(jié)果最好。最后利用L-BFGS-B對優(yōu)化后的結(jié)果進行微調(diào)，目標函數(shù)最終結(jié)果為0.9004。優(yōu)化后的彈性模量如表4所示，密度 ρ 從初始的7800kg/m³ 變換為 7858.93kg/m³ 。通過有限元模型可以求解出修正的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

迭代后，利用前四階的實驗?zāi)B(tài)參數(shù)和阻尼比，通過式（14）可以計算出瑞利阻尼系數(shù) α 為1.657， β 為 7.516×10^-6 。隨后結(jié)合修正后的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和瑞利阻尼系數(shù)，可以通過式（13）得到修正的系統(tǒng)阻尼矩陣。

修正后模型的固有頻率和誤差值如表5所示?？梢钥闯?，修正有限元模型的計算模態(tài)頻率比以前更接近實驗值，尤其是第一階的計算模態(tài)頻率與實驗?zāi)B(tài)頻率之間的誤差值從 8.6836% 降低到 0.0216% 第二階的計算模態(tài)頻率與實驗?zāi)B(tài)頻率之間的差異從 12.1065% 降低到 0.0182% 。圖13給出了前四階修正模態(tài)振型和實驗?zāi)B(tài)振型的MAC值，與原始模型相比，修正MAC值的匹配度明顯得到了改善；第三階振型的MAC值均有明顯提升。

表4彈性模量修正前后Pa

4修正模型準確性驗證

為了驗證修正有限元模型的準確性，將修正有限元模型的計算頻響函數(shù)與實驗頻響函數(shù)進行對比。實驗選擇在結(jié)點2處施加激勵，同時在結(jié)點4處、10處和14處進行測量。圖14、15、16給出實驗頻響與修正有限元模型計算頻響函數(shù)的對比結(jié)果，可以看出修正有限元模型的頻響函數(shù)與實驗頻響函數(shù)匹配良好，且修正模型的頻響幅值與實驗測量數(shù)據(jù)吻合程度高，表6、7、8顯示出實驗頻響函數(shù)與修正有限元模型計算頻響函數(shù)的共振頻率誤差均在2.5% 以下。這證明了修正有限元模型的阻尼特性得到了更新修正。

為了對修正有限元模型進行進一步的確認，采用不平衡響應(yīng)的預測對修正模型進行準確性分析。在滑動軸承轉(zhuǎn)子實驗臺進行轉(zhuǎn)子不平衡實驗，在圓盤上加載 10g 質(zhì)量塊并調(diào)節(jié)電機轉(zhuǎn)速從 500r/min 變化到 6000r/min ，通過在圓盤附近的電渦流傳感器采集水平和豎直方向的振動位移信號。隨后用修正前后的有限元模型進行仿真計算，并將仿真值與實驗值進行對比如圖17所示，從圖中可以出，實驗結(jié)果和修正后模型結(jié)果具有較高的一致性。

通過上述實驗可以看出該修正模型對于轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)中的階梯主軸有限元模型具有良好的修正效果。由于本文的有限元模型建立將圓盤抽象成質(zhì)量點施加在節(jié)點處，所以理論上是適用于所有多盤轉(zhuǎn)子。但是需要指出修正效果與圓盤的厚度有關(guān)，圓盤厚度與主軸長度的比值越小，修正效果越好。

5結(jié)束語

為了進一步提高轉(zhuǎn)子有限元模型的精度以及模型修正的計算效率，本文提出一種利用差分進化算法對轉(zhuǎn)子有限元模型進行修正的方法，結(jié)論如下：

1）該方法的主要步驟包括兩個階段：首先利用實驗?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)，應(yīng)用差分進化算法實現(xiàn)質(zhì)量和剛度矩陣的修正。然后利用修正后的矩陣和實驗阻尼比確定阻尼矩陣。2）為了驗證該方法的適用性，對滑動軸承轉(zhuǎn)子實驗臺進行模型建立和修正，通過模態(tài)頻率誤差值與模態(tài)振型MAC值的高匹配度驗證了修正方法的適用性。3）為了驗證修正方法的準確性，利用仿真與實驗的頻響函數(shù)對比和不平衡響應(yīng)對比，其仿真結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)吻合度較高，驗證了方法的準確性。

本方法在轉(zhuǎn)子穩(wěn)定運行和振動分析提供一定的實際參考，有利于旋轉(zhuǎn)機械動態(tài)參數(shù)的進一步分析。

參考文獻

[1]DYK S， RENDL J， BYRTUS M， etal. Dynamic coefficients and stability analysis of finite-length journal bearings considering approximate analytical solutions of the Reynolds equation[J]. Tribology International， 2019，130： 229-244.

[2]SAFIZADEH M S， GOLMOHAMMADI A. Prediction of oil whirl initiation in journal bearings using multi-sensors data fusion[J].Measurement，2020， 151：107241.

[3]HONG J， YU P， ZHANG D， et al. Nonlinear dynamic analysis usingthe complexnonlinearmodesfor a rotor systemwithan additional constraint due to rub-impact[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2019，116： 443-461.

[4]TRAN-NGOCH，HEL，REYNDERSE，et al.An efficient approachto model updatingfor a multispan railway bridge using orthogonal diagonalization combined with improved particle swarm optimization[J]. Journal of Soundand Vibration，2020，476：115315.

[5] GIRARDI M，PADOVANIC，PELLEGRINID， etal.A finite elementmodelupdatingmethodbasedonglobal optimization[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2021，152：107372.

[0] AUMAK DAUHA A， GUr 1A r， rANWAK V. rIIe eIemen model updating of a composite material beam using direct updating method[J]. Materials Today： Proceedings， 2020， 27： 1947-1950.

[7]YANG Y B，CHEN Y J. A new direct method for updating structural modelsbased on measured modal data[J]. Engineering Structures，2009，31（1）： 32-42.

[8]FRISWELL M， MOTTERSHEAD JE. Finite element model updating in structural dynamics [M]. Springer Science amp; BusinessMedia， 1995.

[9]DING Y F， GAN L， ZHOU JB，et al. Bearing-rotor coupled system stability optimization design based on genetic algorithm[J].Advanced Materials Research，2011，199：1130.

[10]FARROKHNIA M，A SHIRAZI F，MAHNAMA M，et al. Finite element model updating of a geared rotor system using particle swarm optimization for condition monitoring[J]. Journal of Theoretical and Applied Vibration and Acoustics， 2019，5（2）： 95-114.

[11]胡溧，儲文彬，陳雷磊，等.飛輪殼模態(tài)參數(shù)識別及有限元模型 修正研究[J].中國測試，2025，51（2）：39-45. HUL，CHU WB， CHENLL， et al. Study on modal parameter identification and finite element model modificationof flywheel housing[J].China Measurementamp; Test，2025， 51（2）： 39-45.

[12]張保強.磁軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型修正及相關(guān)問題 研究［D].南京：南京航空航天大學，2011. ZHANG B Q. Study on finite element model updating for active magnetic bearing-rotor systemdynamics [D].Nanjing：NanjingUniversityofAeronauticsand Astronautics， 2011.

[13]劉娟.基于模型修正的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡故障動力學研究 [D].北京：中國石油大學，2019. LIU J. Research on unbalance fault dynamics of rotor system based on model updating [D].Beijing： China University of Petroleum， 2019.

[14] WANG J， YE L， GAO R X， et al. Digital twin for rotating machineryfaultdiagnosisinsmart manufacturing[J]. International Journal of Production Research， 2019， 57（12）： 3920-3934.

[15] FRISWELL M I. Dynamics of rotating machines [M]. Cambridge University Press，2010.

[16] 鐘一諤，何衍宗，王正，等.轉(zhuǎn)子動力學[M].北京：清華大學 出版社，1987. ZHONG Y，HE Y Z，WANG Z， et al.Rotordynamics [M]. Beijing：Tsinghua University Press，1987.

[17] STORN R，PRICE K.Differential evolution-a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J]. Journal of Global Optimization，1997，11： 341-59.

[18] 崔桂梅，劉偉，張帥，等.基于差分進化支持向量機的軋制力預 測[J].中國測試，2021，47（8）：83-88. CUI G M，LIU W， ZHANG S，et al.Rolling force prediction based on differential evolution support vector machine [J]. China Measurement amp; Test，2021，47（8）： 83-88.

（編輯：劉楊）