換元法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

換元法是利用新的變量替換題目中的某個(gè)變量，將非典型的題目變得典型題目，從而降低題目解答的難度.在初中數(shù)學(xué)解題中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生靈活利用換元法，化困難為容易，化煩瑣為簡單，幫助學(xué)生找出解題突破點(diǎn)，明確題目解題思路，讓學(xué)生能夠快速、準(zhǔn)確地解題.

1利用換元法，解答因式分解問題

在因式分解解題時(shí)，利用換元法，教師需要引導(dǎo)學(xué)生分辨出代數(shù)式需要替換的部分，使用新的變量替換，通過這樣的方式，可以降低因式的項(xiàng)數(shù)，將問題變得簡單明了，幫助學(xué)生快速找出解題思路，

例1將式子 （x+y）（x+2xy+y）+（xy+ 1）（xy-1） 進(jìn)行因式分解.

解析在此題解答時(shí)，如果按照常規(guī)方式解題，解題難度比較大，而且題目中含有兩個(gè)未知數(shù)，使得學(xué)生難以找到解題思路.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用換元法，即 x+y=m xy=n ，將含有多個(gè)項(xiàng)的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成二元式，易于學(xué)生思考和找出解題思路，順利解答題目.

設(shè)x+y=m，xy=n，

所以原式轉(zhuǎn)化為 （x+y）（x+2xy+y）+（xy+1）（xy-1）=m（m+2n）+（n+1）（n-1） 通過計(jì)算得出 m²+2mn+n²-1 .簡化可以得到 （m+n）²-1=（m+n+1）（m+n-1）

2 利用換元法，解答方程（組）問題

在初中數(shù)學(xué)解題中，利用換元法，能夠?qū)?fù)雜的新知識轉(zhuǎn)化成熟悉的舊知識，讓學(xué)生靈活利用知識解題.在方程或者方程組問題解答時(shí)，教師需引導(dǎo)學(xué)生對未知條件和已知條件的關(guān)系進(jìn)行分析，找出其中隱藏的聯(lián)系，幫助學(xué)生快速解題.

例2 已知方程組 中的解x，y 滿足 x+y=5 ，求解 k 的值.

解析 在題目解題時(shí)，可以采取加減消元的方

法解題. ，將 ① 乘以2，與 ②相減，可以得出 5y=-7k-6 即 （2 ，將 ② 乘以3，減去 ① ，可以得到 因?yàn)?x+y=5 ，所以16k+13 .解得 k=2 例3解方程 （x²+3x+4）（x²+3x+5）=6

解析此題是一道典型的方程題.對于初中學(xué)生而言，采取常規(guī)方式，對題目進(jìn)行去括號，會得到一個(gè)四次方程，使得解題變得復(fù)雜.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用換元法，進(jìn)行巧妙換元，將問題簡化處理，幫助學(xué)生解題.在換元時(shí)，教師需要讓學(xué)生根據(jù)方程結(jié)構(gòu)選擇合適換元方式，確保解題的準(zhǔn)確性.

設(shè) x²+3x=y ，則原方程可以轉(zhuǎn)化為 y²+9y+14=0 .簡化可以得到 （y+2）（y+7）=0 解得 y=-2 或 y=-7 將其代入 x²+3x=y ，即 x²+3x=-2 和 x²+3x=-7 因?yàn)?

，此方程無解，舍去.所以 x²+3x=-2 ，因式分解為 （x+1）（x+2）

=0 ：解得 x=-1 或者 x=-2

3利用換元法，解決大小比較和計(jì)算問題

在初中數(shù)學(xué)解題中，利用換元法可以降低解題難度，提高學(xué)生解題效率.借助換元法，能夠引導(dǎo)學(xué)生對復(fù)雜問題進(jìn)行簡化，展示出解題過程.在大小比較和計(jì)算的題目中，利用換元法幫助學(xué)生找出解題思路，解得問題答案.換元法作為有效的解題工具，能夠鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

例4若 ，試（20比較 A，B 的大小關(guān)系.

解析 對于此類數(shù)字比較大的題目，看似非常的復(fù)雜，使得學(xué)生不知道如何下手，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對題目中的式子進(jìn)行觀察，找出其中的規(guī)律或者特點(diǎn)，之后利用換元法，使得題目難度降低，樹立學(xué)生自信心去解題.

令 x=5678901234，y=6789012345， 因?yàn)?x，y 均大于零，且 2xgt;y ，即 2x-ygt;0 ，所以 A-Bgt;0 ，即 Agt;B ：例5 計(jì)算 解析 令 2021=a ，所以原式

4結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)解題中，對于一些特殊的問題，采取常規(guī)方式解題難度大或者無法解題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用換元法，對題目進(jìn)行分析，準(zhǔn)確找到需要換元的元素，將復(fù)雜問題變得簡單，讓學(xué)生快速找到解題方法，突破解題障礙，提高學(xué)生解題效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]許文倩.初中數(shù)學(xué)解題中換元法例題解析[J].數(shù)理天地（初中版），2023（23）：4-5.

[2」陳剛.換元法助力提升初中數(shù)學(xué)解題效率[J].數(shù)理天地（初中版），2023（23）：31-32.