旋轉(zhuǎn)圖形的深度剖析與思維破繭

1引言

旋轉(zhuǎn)圖形蘊含著豐富的數(shù)學思想.確定旋轉(zhuǎn)中心、方向與角度，以及在復雜圖形中準確識別對應元素，并運用轉(zhuǎn)化思想將復雜圖形或問題通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的圖形與情境，常常使學生困惑.下面以一道與初中數(shù)學旋轉(zhuǎn)的相關(guān)問題為例進行探究，一起感受抽象數(shù)學變清晰的奇妙過程.

2 例題解析

例題如圖1所示，在矩形ABCD中， AB=3 ∠DCB 的平分線交 AD 于點 P ，將 ΔDPC 繞點 D 逆時針旋轉(zhuǎn) α(0<α<90^°) ，點 P 的對應點為點 E ，點 c 的對應點為點 F ，連接 BE，PE，CF

（1）如圖 _1，EF 與 PC 交于點 N ，求證： ΔPEN? ΔFCN

(2）若 BC=4 ，在 ΔDPC 旋轉(zhuǎn)的過程中，當線書 段 BE 的長最小時，求 的值.

解題指導

（1）證明三角形全等，通過觀察這兩個三角形可以發(fā)現(xiàn)已經(jīng)包含一組對頂角了，而通過矩形圖形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可以得到很多邊長和角度的等量，再次利用全等證出一組邊，就能得到兩三角形全等.

證明 因為四邊形ABCD為矩形，所以 ∠ADC=∠BCD=90^°.

因為 CD 平分 ∠BCD ，所以 ∠BCP=∠DCP=45^° 所以 ∠DPC=∠DCP=45^° 所以 DP=DC

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得， ∠PDE=∠CDF，DP=DE= DC=DF ，

所以 ΔDPE?ΔDCF(SAS)

所以 PE=CF ∠DPE=∠DCF （由全等得對應邊和對應角相等）.

因為 ∠DPC=∠DCP=∠DEF=∠DFE=45^° 所以 ，

所以 ∠DPE=∠DFC

因為 ∠EPN=∠DPE-∠DPN=∠DPE- 45^°

∠CFN=∠DFC-∠DFN=∠DFC-45^°， 所以 ∠EPN=∠CFN

在 ΔDEN 和△FCM中

所以 ΔPEN?ΔFCN(AAS)

分析本題證明全等比較簡單，合理運用圖中相等線段和角度即可，一般情況第一問的證全等會為下一題做鋪墊，這一問沒有多加條件，因此不管ΔDPC 如何旋轉(zhuǎn)，此全等都是成立的，下一問可以直接運用.

(2)① 結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得出點 E 的運動軌跡在圓上，結(jié)合“點圓最值”模型可確定點 E 的位置，利用直角三角形可求出 BE 的長； ② 易知 ΔDPC 為等腰直角三角形，在旋轉(zhuǎn)過程中 PE=CF ，則要求 的值，即求線段 CF 的長，所以以 CF 為斜邊構(gòu)造直角三角形進行求解.

由（1）得 DP=CD=AB=3 ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得， DE=DF=DP=CD=3 ，則點 E 在以 D 為圓心半徑為3的圓弧上運動，如圖2，連接 BD

因為 BE?BD-ED ，

所以當 B，E，D 三點共線時， BE 長最小，如圖

2，延長 DF 與 BC 的延長線交于點 H ，過點 F 作

FQ⊥BH 于點 Q ：在 RtΔBCD 中， ·所以 BE=BD-DE=2 在 RtΔBDH 中， 所以 4解得 所以 在 RtΔDCH 中，

所以 ，解得 業(yè)

易證 ΔHFQΔHDC

所以

解得 1

所以 5

在 RtΔFHQ 中，

（204號

解得 ，

在 RtΔCFQ 中，

所以 ΔDPE?ΔDCF

所以

所以

分析此題做出點 E 的運動軌跡后就不難確定最小值時 E 點的位置，而難點就在于后續(xù)的求線段 CF 的值，以 CF 為斜邊構(gòu)造直角三角形是不易想到的，利用直角三角函數(shù)和勾股定理就能得出.

3結(jié)語

初中數(shù)學的旋轉(zhuǎn)圖形知識，不僅是理論上的奇妙變換，更是解決問題的得力助手，與生活緊密相連.它讓我們以全新視角認識世界，感受數(shù)學之美與實用價值.因此，旋轉(zhuǎn)圖形在求解時，需要學生具備較強的空間想象力與觀察力，另外把握好旋轉(zhuǎn)前后的圖形關(guān)系，就能得出需要的條件并運用于問題求解中.