數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

眾多學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的概念掌握尚淺，這就要求教師在教學(xué)時(shí)要以嫻熟的手法引入數(shù)形結(jié)合思想，確保學(xué)生深刻理解其精髓.初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，遠(yuǎn)非僅僅提升計(jì)算技巧那么簡(jiǎn)單，其核心在于在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步構(gòu)建起基本的數(shù)學(xué)思維模式.

1運(yùn)用數(shù)軸簡(jiǎn)化絕對(duì)值問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟蒙階段，教師便可巧妙引人數(shù)軸這一關(guān)鍵工具.將其與實(shí)數(shù)之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)鋪設(shè)堅(jiān)實(shí)的基石.數(shù)軸不僅賦予了相反數(shù)、絕對(duì)值等數(shù)學(xué)概念以直觀的幾何意義，還極大地豐富了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)形式.在講解絕對(duì)值的定義時(shí)，教師要深譜數(shù)軸的重要性，先引導(dǎo)學(xué)生深入復(fù)習(xí)數(shù)軸知識(shí)，確保每位學(xué)生都能熟練掌握其基本原理.

例1在數(shù)軸上，有點(diǎn) A 和點(diǎn) B ，其中點(diǎn) A 到原點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) B 到原點(diǎn)的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度.我們需要求出點(diǎn) A 和點(diǎn) B 之間的具體距離.

解如圖1，從數(shù)軸的角度觀察，距離原點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有兩個(gè)，且這兩個(gè)點(diǎn)分別在原點(diǎn)的左右兩側(cè)，因此兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是 +3 與一3，也就是點(diǎn) A 表示 +3 或-3，點(diǎn) B 表示 +2 或-2.此時(shí)AB兩點(diǎn)間的距離是1個(gè)單位長(zhǎng)度或是5個(gè)單位長(zhǎng)度.

本題深刻凸顯了絕對(duì)值概念在解題過(guò)程中的核心作用.若單純依賴文字表述，題目往往顯得晦澀難懂，且容易忽略關(guān)鍵情境.然而，巧妙地借助數(shù)軸這一視覺(jué)工具，將抽象的數(shù)值具象化，不僅讓問(wèn)題瞬間變得直觀明了，還完美實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的和諧統(tǒng)一.這種方法如同一把鑰匙，打開(kāi)了學(xué)生理解復(fù)雜數(shù)學(xué)概念的大門，使他們?cè)谀X海中構(gòu)建起清晰的知識(shí)框架.

2 運(yùn)用函數(shù)解決方程問(wèn)題

平面直角坐標(biāo)系，作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要工具，巧妙地搭建了代數(shù)與幾何之間的橋梁.它將有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)緊密相連，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)與線、面的完美轉(zhuǎn)換.這一轉(zhuǎn)換不僅豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，更為初中時(shí)期的核心知識(shí)一函數(shù)，提供了肥沃的生長(zhǎng)土壤.函數(shù)這一數(shù)學(xué)概念，在平面直角坐標(biāo)系的輔助下，得以與眾多知識(shí)領(lǐng)域相融合，形成了一系列綜合性強(qiáng)、難度適中的數(shù)學(xué)題.特別是當(dāng)函數(shù)與不等式、方程相結(jié)合時(shí)，其解題過(guò)程更是充滿了挑戰(zhàn)與趣味.此時(shí)，教師可以巧妙地引導(dǎo)學(xué)生，借助函數(shù)圖象這一直觀工具，對(duì)不等式解的取值范圍、方程的根等復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行清晰、直觀的解析.

例如，一次函數(shù) y=kx+b（k≠0，k，b 是常數(shù)）.

（1）函數(shù) y=0 的時(shí)候，可以得到方程 kx+b= 0，此時(shí)，自變量 x 就是方程 kx+b=0 的解，即一次函數(shù)圖象和 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（2）_X . y 是兩個(gè)變量，一次函數(shù)可看為二元一次方程 kx-y+b=0

（3）求解二元一次方程組，實(shí)質(zhì)上就是尋找兩個(gè)一次函數(shù)值相等的自變量值（見(jiàn)圖2）.在這個(gè)過(guò)程中，每個(gè)方程都可以看作是一個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，而方程組的解則對(duì)應(yīng)著這兩個(gè)函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)坐標(biāo).因此，理解二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)于掌握方程組的求解方法至關(guān)重要.

3運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決距離與相遇問(wèn)題

在數(shù)學(xué)的浩瀚宇宙中，距離與相遇問(wèn)題如同一顆璀璨的星辰，既考驗(yàn)著學(xué)生的邏輯思維能力，又激發(fā)著學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的深刻探索.這類問(wèn)題，往往超越了簡(jiǎn)單的數(shù)字堆砌，它們蘊(yùn)含著豐富的幾何意義與動(dòng)態(tài)變化.數(shù)形結(jié)合，它教會(huì)學(xué)生如何在數(shù)軸上描繪出時(shí)間的流逝與空間的變換，將相遇的瞬間定格為幾何圖形中的交點(diǎn)，讓距離不再是冰冷的數(shù)字，而是充滿了動(dòng)態(tài)美感的線段與弧度.

例2一輛動(dòng)車和一列普通火車同時(shí)分別從北京和濟(jì)南出發(fā)，朝對(duì)方的城市方向開(kāi)過(guò)去.這里把普通火車用的時(shí)間寫(xiě)成 ，兩輛火車之間的公里數(shù)寫(xiě)成 ykm .下面的圖象顯示的是 y 隨著 x 變化的關(guān)系.

如圖3，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：

（1）計(jì)算北京到濟(jì)南的實(shí)際距離是多少，再算兩車出發(fā)多久才能碰到.然后，算普通火車從起點(diǎn)到終點(diǎn)總共要多久時(shí)間，根據(jù)這個(gè)時(shí)間再來(lái)估計(jì)它每小時(shí)跑多少千米.

解（1）從圖象上可以看出，當(dāng) x=0 時(shí)， y= 1000.所以北京到濟(jì)南的距離是1000千米.同時(shí)，當(dāng)x=3 時(shí)， y=0 .這說(shuō)明兩車在3h后相遇了.普通火車到終點(diǎn)總共花的時(shí)間是 x=12h ，所以速度 v= 路程 ：時(shí)間

例3小剛騎自行車保持勻速?gòu)募椎厍巴业?，到達(dá)乙地后，休息了一段時(shí)間，然后以相同速度原路返回甲地，設(shè)小剛出發(fā) x （min）后，距離甲地y（m） ，圖4中折線表示 與 x 的函數(shù)關(guān)系.

如圖4，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：

小剛從甲地出發(fā)前往 z 地的同時(shí)，小雅以100m/min 的速度從乙地步行至甲地，當(dāng)小剛從甲地出發(fā)多少分鐘時(shí)，與小雅相距 200m

解小剛騎自行車的速度為 2000÷10= 200m/min） ，根據(jù)題意，得 200+100 ） x=2000- 200或 （200+100 ） x=2000+200 ，解得 x=6 或 x 中

本題中，利用數(shù)形結(jié)合解決“距離和相遇”問(wèn)題時(shí)效果特別好，利用數(shù)形結(jié)合能把抽象的數(shù)字變成圖形展示，幫學(xué)生更好理解復(fù)雜問(wèn)題.這種方法不僅讓距離、速度和時(shí)間這幾個(gè)關(guān)鍵因素的關(guān)系變得更清楚，也能讓學(xué)生很快抓住問(wèn)題核心，然后正確建立數(shù)學(xué)的模型.實(shí)際應(yīng)用表明，數(shù)形結(jié)合不但提高了學(xué)生做題的正確率，還讓他們答題速度變快了很多，更能得心應(yīng)手的解決問(wèn)題.

本題中，利用數(shù)形結(jié)合解決“距離和相遇”問(wèn)題效果特別好.利用數(shù)形結(jié)合能把抽象的數(shù)字變成圖形展示，幫學(xué)生更好理解復(fù)雜問(wèn)題.這種方法不僅讓距離、速度和時(shí)間這幾個(gè)關(guān)鍵因素的關(guān)系變得更清楚，也能讓學(xué)生很快抓住問(wèn)題核心，然后正確建立數(shù)學(xué)的模型.實(shí)際應(yīng)用表明，數(shù)形結(jié)合不但提高了學(xué)生做題的正確率，還讓他們答題速度變快了很多，更能得小應(yīng)于地解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]李翠珍.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2024（28）：33-35.

[2]張保萍.關(guān)于數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效融合的研究[J].學(xué)周刊，2021（29）：47-48.