初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)綜合題常見題型分類與分析

1 面積問題

初中數(shù)學(xué)中，與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的求面積問題，主要是求解旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的圖形對(duì)應(yīng)的具體面積，應(yīng)結(jié)合旋轉(zhuǎn)前后圖形一致的特點(diǎn)，判斷所求圖形的形狀，運(yùn)用割補(bǔ)法分析所求面積，即可對(duì)問題做出解答.

例1已知兩塊相同的三角板如圖1所示，點(diǎn)B，C，E 在同一直線上， ∠ABC=∠DCE=90^° ∠D=∠ACB=30^° CE=AB=4 ，將 ΔABC 繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度 ），如果在旋轉(zhuǎn)的過程中 ΔABC 有一邊與 DE 平行，那么此時(shí)ΔBCE 的面積是

解如圖2所示，當(dāng) AC//DE 時(shí)，過點(diǎn) B 作BF⊥EC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F

根據(jù)題意可知， ∠DEC=60^° ∠ACB=30^° 因?yàn)?AC//DE ，

所以 ∠ACF=∠DEC=60^° 所以 ∠BCF=30^° .

所以 AB=4 ，

所以 ，

所以

所以 ΔBCE 的面積為

如圖3所示，當(dāng) BC//DE 時(shí)，過點(diǎn) B 作 BG⊥ EC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G 可得 ∠BCG=∠DEC=60^° 因?yàn)? ，所以 所以 ΔBCE 的面積為12，綜上所述， ΔBCE 的面積是 或12.

2角度問題

與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的角度問題既可以對(duì)滿足題意要求的具體旋轉(zhuǎn)角度提問，也可以對(duì)旋轉(zhuǎn)后得到圖形的相關(guān)角度提問.在解答時(shí)，需要根據(jù)已知條件找到所求角度與已知角之間存在的聯(lián)系，平行、垂直關(guān)系，相似、全等三角形都是可以利用的知識(shí)點(diǎn)，找到其中的等式關(guān)系，即可得到答案.

例2將 ΔABC，ΔADC 按如圖4所示擺放，AC 邊重合，其中 ∠DAC=∠D=60^° ∠B=90^° ∠BAC=45^° ，保持 ΔABC 不動(dòng)，將 ΔADC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) α ?(0<α<180) ），在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) α= 時(shí)， ΔADC 的 DC 邊與△ABC的某一邊平行.

解因?yàn)?∠DAC=∠D=60^°

所以 ΔADC 是等邊三角形， ∠DCA=60^° 因?yàn)?∠B=90^° ∠BAC=45^°

所以 ∠ACB=45^°

當(dāng)旋轉(zhuǎn)后 CD 邊與 BC 邊平行時(shí)，如圖5所示.

令 AD^′ 與 BC 的交點(diǎn)為 M ，由旋轉(zhuǎn)可知， ∠D^′=∠D=60^° 因?yàn)?BC//C^′D^′ 所以 ∠AMB=∠D^′=60^° 所以 ∠CAM=60^°-45^°=15^° 所以 ∠DAD^′=60^°+15^°=75^°

即 α=75^°

當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的 CD 邊與 AC 邊平行時(shí)，如圖6所示.

因?yàn)?AC//C^′D^′ 所以 ∠CAD^′=∠D^′=60^° 所以 ∠DAD^′=∠DAC+∠CAD^′=120^°

即 α=120^°

當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的 CD 邊與 AB 邊平行時(shí)，如圖7所示.

因?yàn)?C^′D^′//AB ，所以 ∠BAD^′=∠D^′=60^°

所以 ∠DAD^′=∠DAC+∠BAC+∠BAD^′= 165^° 即 α=165^°

綜上，當(dāng) α=75^° 或 α=120^° 或 α=165^° 時(shí)，ΔADC 的 DC 邊與 ΔABC 的某一邊平行.

3結(jié)語(yǔ)

上述問題分別對(duì)旋轉(zhuǎn)有關(guān)的不同題型做出分析與總結(jié)，不同題型的考查應(yīng)結(jié)合問題特點(diǎn)運(yùn)用各類知識(shí)點(diǎn)解題.解答所有旋轉(zhuǎn)問題，都要牢記旋轉(zhuǎn)前后圖形不改變的特點(diǎn)，從而解答相關(guān)問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊金輝.初中數(shù)學(xué)與“旋轉(zhuǎn)”有關(guān)的綜合問題分析[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2022（22）：39—40.

[2]張東芳，濮安山.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換巧解中考數(shù)學(xué)題例析[J]中學(xué)生數(shù)學(xué)（初中版），2022(22)：39-41.