例說代數(shù)推理在尺規(guī)作圖中的運(yùn)用

相比2011年版，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版)》更注重全面提升學(xué)生的動(dòng)手操作能力、幾何直觀推理能力以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).同時(shí)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》新增加了代數(shù)推理的內(nèi)容，目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生通過分析具體問題中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示，進(jìn)而進(jìn)行推理和證明.尺規(guī)作圖與代數(shù)推理均能培養(yǎng)和提升學(xué)生的邏輯思維與問題解決的能力.將代數(shù)推理引人尺規(guī)作圖，不僅拓寬了代數(shù)推理的應(yīng)用范圍，更是推動(dòng)尺規(guī)作圖更深層次應(yīng)用的必要手段.

1 例題分析

許莼舫先生的著作《許莼舫初等幾何四種》中的幾何作圖之代數(shù)解析法是將代數(shù)推理運(yùn)用于尺規(guī)作圖的重要表現(xiàn).

在許多作圖題里，要應(yīng)用代數(shù)方法．以 x，y ，z，? ，表示未知線段，以 ，表示已知線段，根據(jù)題設(shè)的條件或已知的定理列成方程并求解，凡求得的根能成如下的形式的，便可利用基本作圖法作出未知線段.(1)x=a+b，(2)x=a-b.(3)x=ma. （20

從上舉的8種基本的線段表達(dá)式，可推廣而得各種線段作圖題的解法，即代數(shù)解析法1：

例1已知在 ΔABC 中， ∠ACB=90^° ，在ΔABC 的邊AB上是否存在點(diǎn) D ，使得 D 點(diǎn)到邊AC的距離等于線段BD的長的2倍？

分析如圖1，在 AB 上取一點(diǎn) D ，作 DE⊥AC 于E ，設(shè) BD=x，BC=a，AB=c， 由作圖要求知， DE=2x 因?yàn)?∠AED=∠ACB=90^° ∠A=∠A ，所以 ΔADE～ΔABC 所以 ，所以 所以 2cx=ac-ax ，所以 (2c+a)_X=ac ，所以 所以 （把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果寫成適當(dāng)?shù)谋壤问剑阌谧鲌D).

解如圖2，延長 BC 至 F ，使得 CF=2AB ，連接 AF ，過點(diǎn) c 作 CD//AF，CD 交 AB 于點(diǎn) D

由平行線分線段成比例得 ，

因?yàn)?BF=BC+CF=a+2c

所以

所以

而 中

所以

因?yàn)?

所以

所以邊 AB 上存在點(diǎn) D 使 D 點(diǎn)到邊 AC 的距離等于線段 BD 長的2倍.

本題有其他解法，但上述方法較完整地體現(xiàn)了代數(shù)推理以及尺規(guī)作圖的思維脈絡(luò)一執(zhí)果索因.

當(dāng)然將代數(shù)推理應(yīng)用于尺規(guī)作圖并不僅限于上述8種代數(shù)解析法.

例2（江蘇省鎮(zhèn)三師2022年中考真題)（1）已知 AC 是半圓 O 的直徑， 是正整數(shù)，且 n 不是3的倍數(shù)）是半圓 O 的一個(gè)圓心角.

操作如圖3，分別將半圓 O 的圓心角 ∠AOB= 取1，4，5，10）所對(duì)的弧三等分（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

從上面的操作我發(fā)現(xiàn)，就是利用 所對(duì)的弧去找 的三分之一，即 所對(duì)的弧.

交流當(dāng) n=11 時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓 O 的圓心角 所對(duì)的弧三等分嗎？

它們之間的數(shù)量關(guān)系是

再試試：當(dāng) n=28 時(shí) 之間存在數(shù)量關(guān)系 ，因此可以僅用圓規(guī)將半圓 O 的圓心角 所對(duì)的弧三等分.

探究 你認(rèn)為當(dāng) n 滿足什么條件時(shí)，就可以僅用圓規(guī)將半圓 o 的圓心角 所對(duì)的孤三等分？說說你的理由.

（2）如圖4， ?O 的圓周角 ，為了將這個(gè)圓的圓周角14等分，請(qǐng)作出它的一條14等分弧 .（要求：僅用圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

解（1）分析，如圖3，當(dāng) n=1 時(shí)，利用等邊三角形的三個(gè)角都等于 60^° 作圖.當(dāng) n=4 時(shí)，同樣作出一個(gè) 60^° 的圓心角所對(duì)的弧， 60^°-45^°=15^° ，得到一個(gè) 15^° 的圓心角所對(duì)的弧，于是可以三等分.當(dāng) n=5 時(shí)，將 36^° 的弧加倍得 72^° 的弧， 72^°-60^°=12^° ，于是可以將 36^° 的弧三等分.也可以通過 60^°-36^°=24^° .36^°-24^°=12^° ，作出.當(dāng) n=10 時(shí)， 18^°×3=54^°，60^° -54^°=6^° ，可以三等分.

為了尋找 之間的數(shù)量關(guān)系，不妨設(shè) ，于是 3x+28y=1 ，顯然， σ_X=ε-9，y=1 是方程的一組整數(shù)解，那么， （方程 3x+28y=1 的整數(shù)解不唯一，所以答案不唯一）

由上面的分析可以看出， 所對(duì)的弧能不能被三等分，就是看 之間是否存在數(shù)量關(guān)系，也就是方程 是否有整數(shù)解.將方程化簡(jiǎn)得， 1，也就是方程 3x+ny=1 是否有整數(shù)解.

當(dāng) 為正整數(shù))時(shí)， 3x+3ky=1，x+ky= ，因?yàn)?x，y，k 都是整數(shù)，所以 x+ky 是整數(shù)，所以 x+ 沒有整數(shù)解，所以當(dāng) 為正整數(shù)）時(shí)， 所對(duì)的孤都不能被三等分.

當(dāng) n=3k+1(k 為自然數(shù)）時(shí)， 1，方程有整數(shù)解 y=1，x=-k ，所以當(dāng) n=3k+1(k 為自然數(shù)）時(shí)， 所對(duì)的弧能被三等分.

當(dāng) n=3k+2(k 為自然數(shù)）時(shí)， 1，方程有整數(shù)解 y=-1，x=k+1 ，所以當(dāng) n=3k+ 2(k為自然數(shù)）時(shí)， 所對(duì)的弧能被三等分.

綜上所述，當(dāng) n 為正整數(shù)且不是3的倍數(shù)時(shí)（原題中的條件）， 所對(duì)的弧都能被三等分.（當(dāng) n 不是整數(shù)時(shí)， 所對(duì)的弧也有可能被三等分，例如第（2）問，就是 時(shí).）

(2）如圖4，因?yàn)?∠POQ=2∠QMP ，則 ∠POQ ，所以圓周角 ∠PMQ 所對(duì)的弧就是 的圓心角所對(duì)的弧.將這個(gè)圓的圓周角14等分，就是要作出 即 的圓心角所對(duì)的弧，即將 所對(duì)的弧三等分，設(shè) 則 9x+7y=3 ，易得一組解，即 x=-2，y=3 ，于是， ，可以如圖作出（方法不唯一).

顯然，這道壓軸題對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)尺規(guī)作圖能力要求較低，考查的重點(diǎn)是學(xué)生的邏輯思維能力.解題的關(guān)鍵是由圖形之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為尋找 之間的數(shù)量關(guān)系，且通過列方程，化簡(jiǎn)方程，尋找方程的解，立即大大降低了問題的難度.原試卷答案中，雖然也用了代數(shù)方法，但沒有列方程、化簡(jiǎn)方程，所以解題過程還是較復(fù)雜，理解比較費(fèi)力.而且，在探究當(dāng) n 滿足什么條件時(shí)，可以僅用圓規(guī)將半圓 O 的圓心角 所對(duì)的孤三等分過程中，由于沒有列方程，沒有考慮到“在 Ω_n 取什么值時(shí)， 所對(duì)的弧不能被三等分”，所以解答還是不夠清晰完整.事實(shí)上，不論 a，b，c 表示弧、線段，還是角，只要方程 ax+by=c 有整數(shù)解，都可以由 a ，b 作出 .以此可以看出，大膽徹底地使用代數(shù)推理，有時(shí)可以使尺規(guī)作圖的思路更加清晰順暢.

2 圓內(nèi)接正五邊形的作法

因?yàn)閳A內(nèi)接正五邊形的每一條邊所對(duì)的圓心角都是 360^°÷5=72^° ，于是，要作圓內(nèi)接正五邊形，只要作出一個(gè) 72^° 的圓心角或者作出一個(gè) 36^° 的圓心角就可以了.而頂角為 36^° 的等腰三角形是黃金三角形，這種黃金三角形的底邊與腰之比為 5-1（黃金比)，下面先證明頂角為 36^° 的等腰三角形的底邊 （204號(hào)與腰之比為

如圖5，在 ΔMNK 中， ∠K=36^° MK=NK . （20求證：MK

證明 如圖5，作 ∠KMN 的角平分線 MP ，MP 交 KN 于點(diǎn) P ，因?yàn)?MK=NK ，所以 因?yàn)?MP 平分 ∠KMN ，所以 ∠KMP=∠NMP=36^° ，因?yàn)?∠K=36^°=∠KMP ，所以 KP=MP ：因?yàn)?∠MPN=∠K+∠KMP=36^°+36^°=72^°= ∠N ，所以 MN=MP=KP 因?yàn)?∠K=∠NMP=36^° ，∠N=∠N ，所以 ΔKMN～ΔMPN ，所以KM_MN1設(shè) MK=NK=1，MN=MP=KP=x 則 PN=1-x ，所以 所以 x²=1-x ，所以 x²+x-1=0 .所以 -1+√5（舍負(fù)），所以MN _√5-1得證.如果能夠作出一個(gè)底邊與腰之比為 的等腰三角形，運(yùn)用“三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”，可以證明這個(gè)等腰三角形與上述黃金三角形ΔMNK 相似，從而得到這個(gè)等腰三角形的頂角與∠K 相等，即為 36^°

于是，圓內(nèi)接正五邊形作法如下：

① 作 ?O 的兩條互相垂直的直徑 AB 與 CD ② 取 OB 的中點(diǎn) E ：

③ 連接 CE ，以 E 為圓心， CE 為半徑畫弧交 OA 于 F ;④ 以 B 為圓心，線段OF的長為半徑畫弧交?O 于 G ，連接 BG，OG ：

設(shè) ?? 的半徑為2，則 OB=OG=OC=2，OE= 1，由勾股定理得， .

所以 所以

所以等腰 ΔOBG 的底邊與腰之比為 由上面的分析可知， ∠BOG=36^° .接著，可以作出圓內(nèi)接正五邊形了(以下作法省略).

圓內(nèi)接正五邊形還有其他作法，但其他作法的證明幾乎都用到了 18^° 或 36^° 角的三角函數(shù)，超出了初中數(shù)學(xué)的范圍，這也正說明了代數(shù)推理在正多邊形作法中不可或缺的作用.

3結(jié)語

總之，尺規(guī)作圖絕非單純的幾何領(lǐng)域，代數(shù)推理也并非僅應(yīng)用于代數(shù)范疇.二者的有機(jī)結(jié)合，能碰撞出耀眼的思維火花，相互成就.將代數(shù)推理融入尺規(guī)作圖，為學(xué)生打開數(shù)學(xué)新世界的大門，能有效鍛煉學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生解決復(fù)雜問題的能力，

參考文獻(xiàn)：

[1]許莼舫.許莼舫初等幾何四種[M].北京：中國青年出版社，1978.