基于邏輯推理能力培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)問(wèn)題串教學(xué)實(shí)施

史寧中教授曾在相關(guān)的訪談中表示邏輯推理是數(shù)學(xué)的思維，因?yàn)橛辛诉壿嬐评恚庞辛藬?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性特征.邏輯推理能力也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要組成部分，貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)品質(zhì).但是，一直以來(lái)由于教師的教學(xué)方法使用不當(dāng)，阻礙了學(xué)生邏輯推理能力的提升.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家DavidHibert認(rèn)為一門有活力的、有朝氣的學(xué)科，需要教師在教學(xué)中巧妙地設(shè)計(jì)以及提出問(wèn)題，這些問(wèn)題猶如血液一般支撐著學(xué)科的成長(zhǎng)與壯大.數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)以及學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)規(guī)律探索，本身就是不斷循環(huán)經(jīng)歷提出問(wèn)題、分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的過(guò)程.在這一過(guò)程中，需要教師認(rèn)識(shí)到簡(jiǎn)單的問(wèn)題堆積、過(guò)于隨便的問(wèn)題設(shè)計(jì)并不能發(fā)揮問(wèn)題應(yīng)有的價(jià)值，需要教師掌握問(wèn)題串設(shè)計(jì)的方法，能夠通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)計(jì)與使用，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的推理，助力學(xué)生邏輯推理能力的形成.

問(wèn)題串的設(shè)計(jì)原則

1. 1 目的性原則

在基于邏輯推理思維能力培養(yǎng)的視角下設(shè)計(jì)問(wèn)題串，需要教師明確邏輯思維能力培養(yǎng)的要義，能夠?qū)⑦壿嬎季S能力培養(yǎng)作為問(wèn)題串設(shè)計(jì)的支持框架，確保問(wèn)題串的設(shè)計(jì)可以促使學(xué)生經(jīng)歷邏輯推理的過(guò)程.如在問(wèn)題串的設(shè)計(jì)中，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適宜的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并對(duì)問(wèn)題做出合理的猜測(cè)、推理，形成認(rèn)知沖突，進(jìn)而提出問(wèn)題、分析問(wèn)題[1].在問(wèn)題的分析過(guò)程中，教師同樣可以通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串的方式，引領(lǐng)學(xué)生尋找最佳的論證方法，經(jīng)歷一系列的推理過(guò)程，最后得出結(jié)論，確保學(xué)生的學(xué)習(xí)思維具有邏輯性，總結(jié)的結(jié)論準(zhǔn)確，論證充分.

1. 2 漸進(jìn)性原則

優(yōu)質(zhì)的問(wèn)題串設(shè)計(jì)并不是簡(jiǎn)單的問(wèn)題堆砌，想要通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)計(jì)與使用，達(dá)到提升學(xué)生邏輯推理能力的教學(xué)效果，需要教師精準(zhǔn)地把握問(wèn)題的難度，避免問(wèn)題難度過(guò)高、過(guò)低或者問(wèn)題之間缺乏一定的邏輯關(guān)系，從而對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成困擾.對(duì)此，教師在問(wèn)題串的設(shè)計(jì)中應(yīng)遵循漸進(jìn)性的原則，可以確保一組中的多個(gè)問(wèn)題之間有合理的邏輯關(guān)系，能夠引領(lǐng)學(xué)生由淺入深地分析問(wèn)題，由此可以發(fā)揮出問(wèn)題串的啟發(fā)、引領(lǐng)作用，幫助學(xué)生攻克最近發(fā)展區(qū)，將學(xué)生的邏輯推理思維引向新的高度，有助于學(xué)生的思維品質(zhì)形成.

1.3 探索性原則

培養(yǎng)具備推理能力、創(chuàng)新能力的人是21世紀(jì)人才培養(yǎng)的要求.想要讓初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得邏輯推理能力、創(chuàng)新創(chuàng)造能力的鍛煉，需要教師設(shè)計(jì)一些具有懸念的、開(kāi)放性的、有探究?jī)r(jià)值的問(wèn)題.探究性的問(wèn)題串設(shè)計(jì)可以活躍學(xué)生的思維，刺激學(xué)生大腦的神經(jīng)，讓學(xué)生產(chǎn)生濃厚的探索欲，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的思維潛能，讓學(xué)生在渴望解答問(wèn)題中，投入更多的精力，這對(duì)于學(xué)生的邏輯推理能力發(fā)展大有裨益.

2基于邏輯推理能力培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)問(wèn)題串實(shí)施途徑

學(xué)生的邏輯思維能力形成需要經(jīng)歷歸納推理、類比推理、演繹推理的過(guò)程，那么在初中數(shù)學(xué)問(wèn)題串

實(shí)施的過(guò)程中，教師可以從以下幾個(gè)方面入手，具體的教學(xué)過(guò)程如下：

2.1 基于歸納推理的問(wèn)題串設(shè)計(jì)與實(shí)施

歸納推理是指從特殊到一般的推理過(guò)程，能夠引領(lǐng)學(xué)生從認(rèn)識(shí)以及研究個(gè)別的事物特點(diǎn)過(guò)渡到總結(jié)以及概括規(guī)律，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過(guò)問(wèn)題串設(shè)計(jì)與使用的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過(guò)程，為學(xué)生的邏輯推理能力形成奠定基礎(chǔ)2]

例如 以“多邊形的內(nèi)角和”為例，教師可以通過(guò)以下幾個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過(guò)程：

問(wèn)題1 你認(rèn)為什么樣的圖形是多邊形？

生由三條及以上的線段首尾相連所組成的封閉圖形，我們可以將其稱為多邊形.

問(wèn)題2 三角形的內(nèi)角和是多少？

生 180^° ：

問(wèn)題3 四邊形的內(nèi)角和是多少？

生我猜測(cè)可能是 360^°

問(wèn)題4 你能用數(shù)學(xué)方法證明四邊形的內(nèi)角和是 360^° 嗎？

生我可以使用測(cè)量法進(jìn)行驗(yàn)證，在驗(yàn)證中我使用了量角器，分別測(cè)量出了四邊形4個(gè)角的度數(shù)，記錄數(shù)據(jù)，并將測(cè)量獲得的數(shù)據(jù)相加，完成了四邊形內(nèi)角和的獲取、計(jì)算過(guò)程，得出了結(jié)論.

生我采取的論證方法是割補(bǔ)法，對(duì)任意的一個(gè)四邊形 ABCD ，沿著對(duì)角線 AC 或 BD ，將四邊形分割成兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和是 180^° ，可知四邊形內(nèi)角和等于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和相加，即為180^°+180^°=360^°

問(wèn)題5 你能試著運(yùn)用割補(bǔ)法推導(dǎo)五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？

生在五邊形的內(nèi)角和探索過(guò)程中，我從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，作了2條對(duì)角線，此時(shí)將五邊形分割成了3個(gè)三角形，因此五邊形的內(nèi)角和就是3個(gè)三角形的內(nèi)角和相加，即為 3×180^°=540^°

生在六邊形的內(nèi)角和探索過(guò)程中，我從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，作了3條對(duì)角線，此時(shí)將六邊形分割成了4個(gè)三角形，因此六邊形的內(nèi)角和就是4個(gè)三角形的內(nèi)角和相加，即為 4×180^°=720^°

問(wèn)題6 那么，你能否總結(jié)出任意一個(gè) n 邊形

的內(nèi)角和是多少嗎？

生 （n-2）×180^°（n?3） ：

其中，問(wèn)題1的設(shè)計(jì)引出了本節(jié)課研究的主要對(duì)象，即多邊形，也給學(xué)生提供了闡述多邊形定義的機(jī)會(huì)；問(wèn)題2和問(wèn)題3的設(shè)計(jì)是從學(xué)生已經(jīng)掌握的三角形、四邊形知識(shí)出發(fā)，目的在于促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)遷移，讓學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和與多邊形內(nèi)角和之間存在的關(guān)系，為學(xué)生后續(xù)的多邊形內(nèi)角和探索起到了啟發(fā)的作用；問(wèn)題4的設(shè)計(jì)是基于問(wèn)題3的追問(wèn)，可以借助問(wèn)題難度的延伸，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生開(kāi)始探索問(wèn)題論證的方法，并且學(xué)會(huì)使用測(cè)量法、割補(bǔ)法等科學(xué)的論證方法，探索數(shù)學(xué)規(guī)律.在問(wèn)題的解答以及規(guī)律的探索中，學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手操作、親身體驗(yàn)的過(guò)程，讓學(xué)生在四邊形內(nèi)角和的推導(dǎo)過(guò)程中，形成邏輯推理的意識(shí)；問(wèn)題5的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生從四邊形內(nèi)角和的探索延伸到五邊形、六邊形的研究上，也為學(xué)生發(fā)現(xiàn)與總結(jié)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算規(guī)律作鋪墊；問(wèn)題6的設(shè)計(jì)具有引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律的作用，推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維從具象走向抽象，能夠形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度從而推理問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的形成.

2.2基于類比推理的問(wèn)題串設(shè)計(jì)與實(shí)施

波利亞表示，類比是提出新問(wèn)題以及獲得新發(fā)現(xiàn)的源泉，所謂類比推理，是指能夠基于兩個(gè)或兩類對(duì)象的部分相同屬性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步地推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)它們?cè)谄渌麑傩陨系南嗤?

例如 以“分式”為例，教師可以通過(guò)以下幾個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷類比推理的過(guò)程：

問(wèn)題1若兩個(gè)整數(shù)相除時(shí)，得出的數(shù)字是非整數(shù)，如 8÷3 ，怎么辦？

生或許我們可以用其他的數(shù)學(xué)方式表示商.

教師可以在此時(shí)引出分?jǐn)?shù)，帶領(lǐng)學(xué)生從整數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)渡到分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在除法計(jì)算中，當(dāng)無(wú)法整除的時(shí)候，可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示商，如

問(wèn)題2若兩個(gè)整式相除時(shí)，得到的商不是整式，例如 （x²-3）÷（x+5） 怎么辦？

生由問(wèn)題1的解答，我想同樣可以用像分?jǐn)?shù)一樣的形式來(lái)表示，如用 表示 （x²-3）÷（x+5） 的商.

問(wèn)題3 如何給 命名？

生類比分?jǐn)?shù)的命名方式， 是兩個(gè)整式相除，因此我們可以叫它“分式”

問(wèn)題4你是怎么學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的？能否將分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的方法運(yùn)用于分式的學(xué)習(xí)中？

生在分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中我們研究了分?jǐn)?shù)的概念、基本形式、運(yùn)算方法以及應(yīng)用，分式的學(xué)習(xí)也可以從這幾個(gè)方面入手.

問(wèn)題5 這幾個(gè)式子有什么相同之處？

生形式相同，均有分?jǐn)?shù)線，與分?jǐn)?shù)的表示形式十分相似；分子與分母均為整式，分母中都含有字母.

問(wèn)題6 分?jǐn)?shù)與分式之間有何區(qū)別？

生分?jǐn)?shù)的分母是整數(shù)，而分式中的分母是含有字母的整式.

問(wèn)題7 分式中能夠取任何實(shí)數(shù)嗎？為何？

生從分?jǐn)?shù)要有意義的角度出發(fā)，類比推理分式也要有意義，那么就需要確保分式中的分母不可為0.

其中，從問(wèn)題1到問(wèn)題3的設(shè)計(jì)，形成了從整數(shù)$$ 分?jǐn)?shù)、整式 $$ 分式的過(guò)渡，引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用類比推理的方式，概括出分式的概念，了解了分式與分?jǐn)?shù)、整式之間的關(guān)系，讓學(xué)生在類比推理中主動(dòng)地建構(gòu)了分式的概念；問(wèn)題4的設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生類比分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)來(lái)學(xué)習(xí)分式，從方法論的角度為學(xué)生的分式學(xué)習(xí)帶來(lái)了啟發(fā)；問(wèn)題5的設(shè)計(jì)，可以促使學(xué)生在類比推理中總結(jié)出分式的概念，能夠準(zhǔn)確地辨識(shí)哪些算式屬于分式；問(wèn)題6和問(wèn)題7的設(shè)計(jì)，可以促使學(xué)生在分式學(xué)習(xí)中通過(guò)觀察、比較的方式，掌握分?jǐn)?shù)、分式的共同特征，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與分式的不同特征，能夠提高學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)、分式的辨別能力，讓學(xué)生在類比推理中掌握有效的學(xué)習(xí)方法，促使學(xué)生在邏輯推理中概括數(shù)學(xué)概念.

2.3基于演繹推理的問(wèn)題串設(shè)計(jì)與實(shí)施

演繹推理是指從已有的數(shù)學(xué)定義、公式、定理、法則出發(fā)，按照邏輯推理的法則完成計(jì)算以及證明的過(guò)程[3].

如在“乘法公式”的一課教學(xué)中，教師可以通過(guò)以下幾個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過(guò)程：

問(wèn)題1（教師讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的長(zhǎng)方形、正方形紙板）你能用這些大小不同的長(zhǎng)方形、正方形紙板，拼成一個(gè)大的正方形嗎？

生動(dòng)手操作，體驗(yàn)拼圖的過(guò)程.

問(wèn)題2你將如何表示每一個(gè)小圖形的面積？又如何表示拼成的大正方形的面積？

生小正方形面積的計(jì)算公式是 a² ，小長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是 a?b ，那么，根據(jù)已經(jīng)掌握的面積計(jì)算公式，將所有的圖形面積相加，即可以得到大正方形的面積了.

問(wèn)題3 你能用多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)大正方形的面積計(jì)算公式嗎？

生我通過(guò)一系列的計(jì)算過(guò)程，得出了完全平方公式 （a-b）²=a²-2ab+b²

問(wèn)題4 你能夠略過(guò)計(jì)算的過(guò)程，直接寫出完全平方公式嗎？

生 （a±b）²=a²±2ab+b². （2號(hào)

其中問(wèn)題1的設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生的動(dòng)手操作意識(shí)，讓學(xué)生在實(shí)踐中完成了圖形之間的拼接、組合；問(wèn)題2的設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生從中提煉出數(shù)學(xué)模型，建立小圖形面積與組合后大圖形面積之間的關(guān)系；問(wèn)題3和問(wèn)題4的設(shè)計(jì)，可以促使學(xué)生在演繹推理中，推導(dǎo)出完全平方公式，有助于提高學(xué)生的演繹推理能力，從而讓學(xué)生的邏輯推理能力得到進(jìn)一步提升.

3結(jié)語(yǔ)

總之，初中生的邏輯推理能力形成離不開(kāi)問(wèn)題串的加持，教師應(yīng)掌握問(wèn)題串的設(shè)計(jì)藝術(shù)，可以將問(wèn)題串巧妙地運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程，讓學(xué)生在問(wèn)題串的牽引下，完成合理地推理、演繹等，有效地提高學(xué)生的邏輯推理能力，最終達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

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[3]姚昌萍.開(kāi)展“問(wèn)題串”教學(xué)培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的策略探究[J].考試周刊，2022（2）：80-83.