構(gòu)建函數(shù)模型，妙解動態(tài)圖形面積問題

1引言

雖然動態(tài)圖形的面積問題難度較大，但只需明確其運(yùn)動規(guī)律并掌握其變化情況，便能找到解題的突破口，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題.再利用幾何、代數(shù)等知識構(gòu)建面積的函數(shù)模型，最終利用函數(shù)性質(zhì)及問題條件確定最終結(jié)果.在這個解題過程中，學(xué)生不僅需要理清解題思路，更要深入體會數(shù)形結(jié)合的思想.

2中考數(shù)學(xué)平移類動態(tài)圖形面積問題解題思路

例題在平面直角坐標(biāo)系中， O 為原點，點 ，點 B 在 y 軸的正半軸上， ∠ABO=30^° .矩形CODE的頂點 _D，E，C 分別在 OA，AB，OB 上，OD=2

① 如圖3，當(dāng)矩形 C^′O^′D^′E^′ 與 ΔABO 重疊部分為五邊形時， C^′E^′，E^′D^′ 分別與 AB 相交于點 M ，F(xiàn) ，試用含有 Ψ_tΨ_Ψ 的式子表示 s ，并寫出 Ψ_tΨ_Ψ 的取值范圍；② 當(dāng)""時，求 Ψ_tΨ_Ψ"的取值范圍.

（1）如圖3，求點 E 的坐標(biāo)；

（2）將矩形CODE沿 x 軸向右平移，得到矩形C^′O^′D^′E^′ （如圖2），點 C，O，D，E 的對應(yīng)點分別為C^′，O^′，D^′，E^′ .設(shè) OO^′=t ，矩形 C^′O^′D^′E^′ 與 ΔABO 重疊部分的面積為 s

解題指導(dǎo)

（1）因為 OD=2 ，且四邊形 CODE 為矩形，所以CE=2 ，又因為 ∠ABO=30^° ，所以 ，又 OA= ，所以 ，所以點 E 的坐標(biāo)為 L

分析本問作為本題的第一小題，求解的關(guān)鍵在于找到邊與角的關(guān)系，利用三角形與矩形的基本性質(zhì)求值，較為簡單，也為下一問圖形的平移變化提供前提條件.

（2） ① 如圖3，當(dāng)矩形從 O 點向右平移至 O^′′ 的過程中， C^′′O^′′D^′′E^′′ 與 ΔABO 重疊部分為五邊形.

根據(jù)圖形平移特點，容易知道，當(dāng)矩形CODE移動到 C^′′O^′′D^′′E^′′ 的時候剛好達(dá)到臨界值，此時圖形再沿 x 軸向右平移，陰影部分便不再是五邊形.對于重疊部分的面積可以利用矩形CODE的面積減去平移后的 ΔME^′F 的面積進(jìn)行計算.

由題意知 OO^′=t ，根據(jù)圖3，顯而易見 Ψ_t 的取值范圍，矩形從 O 點向右平移至 O^′′ 之間的重疊部分為五邊形，圖形的運(yùn)動軌跡剛好為 CE 的長度， CE= OD=2 ，因此 t 的取值范圍為 0

由 可知，矩形CODE 的面積

因為矩形CODE的 C^′E^′//OA ，所以 ∠ME^′F= ∠AD^′F=90^°，∠E^′MF=∠D^′AF=90^°-∠ABO= 60^° ：

矩形 CODE 向右平移 t ，則 ME^′=t ，在 ΔME^′F 中， ∠ME^′F=90^° ∠E^′MF=60^° ，所以 ，因此 ΔME^′F 的面積為

因此，矩形 C^′O^′D^′E^′ 與 ΔABO 重疊部分的面積為

分析本題的解題關(guān)鍵點為明確矩形CODE的運(yùn)動軌跡，找出運(yùn)動重疊的臨界點，知曉其運(yùn)動到什么位置時重疊部分為五邊形.特別需要注意的是Ψ_tΨ_t 的取值不應(yīng)包括矩形未移動時的值以及剛好重疊部分為四邊形的值.另外，在計算重疊部分的面積時，直接計算較為麻煩，而巧妙利用兩個簡單圖形的面積相減更容易得出，學(xué)生在解題時需注意解題方法，及時轉(zhuǎn)變思維.

② 根據(jù) ，先觀察左半部分，S的最小值為 ，由于矩形CODE隨著向右平移，其重疊部分的面積也是逐漸減小的，因此，計算重疊部分剛好為四邊形時的面積 ，所以，圖形仍需右移.此時重疊部分的面積即為直角梯形的面積（如圖4），即當(dāng) 2?tlt;4 時，有 D^′A

所以 所以

，符合 的右半部分，因此當(dāng) 時， ，符合 2?tlt;4

當(dāng)圖形繼續(xù)右移，重疊部分變?yōu)槿切?，?dāng) t=4 時為臨界值（如圖5），當(dāng) 4?tlt;6 時 ΔJ^′D^′=6-t，PO^′ ，所以 （6-t）Ω² ，當(dāng) 時 （舍去）.

綜上所述，當(dāng) 時， t 的取值范圍為

分析本題需要學(xué)生細(xì)心觀察，擁有較強(qiáng)的作圖能力以及空間思維能力，能明白重疊圖形從五邊形到四邊形再到三角形的變換過程，根據(jù)圖形變化分類討論，精準(zhǔn)把握t的取值范圍，最終一步一步將問題化解.此題難度雖然較大，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理技巧.

3結(jié)語

平移類動態(tài)圖形面積問題在中考數(shù)學(xué)中屬于難度較高的題型，學(xué)生需要仔細(xì)閱讀題目，分析問題條件，將圖形的運(yùn)動過程分類歸納，有清晰的思路框架，逐步構(gòu)建出函數(shù)模型，再利用函數(shù)模型進(jìn)行分析，從而解決問題.所以在平時的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也需注重細(xì)節(jié)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和推理能力.