初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究

在新一輪課程改革背景下，初中生不僅要掌握基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，還要具備廣闊的知識(shí)面和綜合素養(yǎng).二次函數(shù)不僅是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的核心組成部分，更是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起著關(guān)鍵連接作用.從目前初中數(shù)學(xué)教材編排來(lái)看，二次函數(shù)占據(jù)極其重要的地位，優(yōu)化初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)，有助于學(xué)生更好地將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于實(shí)際生活當(dāng)中.

一 二次函數(shù)的內(nèi)容分析

本文所研究的初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)內(nèi)容源自魯教版（五四制）的初中數(shù)學(xué)教材，二次函數(shù)位于九年級(jí)上冊(cè)的第三章，是初中階段學(xué)生所要學(xué)習(xí)的最后一種函數(shù).本章節(jié)內(nèi)容主要帶領(lǐng)學(xué)生深入學(xué)習(xí)二次函數(shù)的特征、結(jié)構(gòu)與應(yīng)用，也為高中學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)做好鋪墊.

第一節(jié)是對(duì)函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)，學(xué)生將會(huì)復(fù)習(xí)一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)，以及函數(shù)的表示方法、求值方法、實(shí)際應(yīng)用和函數(shù)性質(zhì)等內(nèi)容.是二次函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的導(dǎo)入部分1.第二節(jié)為二次函數(shù)概念的解釋，學(xué)生將學(xué)習(xí)判斷二次函數(shù)的方法以及確定二次函數(shù)解析式的方法.第三節(jié)、第四節(jié)將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涵蓋二次函數(shù)對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、開口方向與最值等.本課教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞二次函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)展開，以復(fù)習(xí)鋪墊、問題驅(qū)動(dòng)和追問引導(dǎo)為主要教學(xué)方式，是一節(jié)從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逐層推理、思考的課程.

2 二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 復(fù)習(xí)導(dǎo)入，知識(shí)鋪墊

在二次函數(shù)教學(xué)階段，教師要借助此前所學(xué)函數(shù)概念知識(shí)為導(dǎo)人，帶領(lǐng)學(xué)生溫故知新.

復(fù)習(xí)導(dǎo)入在二次函數(shù)教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，以本章第一節(jié)“函數(shù)的再認(rèn)識(shí)”為基礎(chǔ)與學(xué)生共同回顧何為函數(shù)？此時(shí)教師邀請(qǐng)學(xué)生回憶一次函數(shù)、正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，并分享自己對(duì)函數(shù)概念的理解.

生活回憶 在課余時(shí)間有很多同學(xué)都會(huì)前往籃球場(chǎng)打籃球，有沒有人注意過(guò)在投籃時(shí)籃球的運(yùn)動(dòng)路線是什么樣的？邀請(qǐng)幾名同學(xué)上臺(tái)演示籃球的運(yùn)動(dòng)路線.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)函數(shù)概念知識(shí)回顧，為后續(xù)二次函數(shù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.同時(shí)融人生活化情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生在二次函數(shù)學(xué)習(xí)中的參與度.

2.2 提出問題，情境引導(dǎo)

問題是激發(fā)學(xué)生思考的關(guān)鍵，在日常生活中也有許多簡(jiǎn)單問題與二次函數(shù)知識(shí)有密切聯(lián)系，所以在向?qū)W生闡釋二次函數(shù)概念時(shí)，教師要以創(chuàng)設(shè)問題情境的方式，幫助學(xué)生更好地理解何為二次函數(shù)，并進(jìn)行深入的研究和分析[2].

情境提出學(xué)校有一處巨型花園，這個(gè)花園的周長(zhǎng)為 32m .花園的兩條長(zhǎng)和寬分別為 ab 和 bc ，假設(shè) ab 邊長(zhǎng)為 xm 、花園的面積為 ym² ，請(qǐng)將可能的結(jié)果填至表格當(dāng)中（如表1所示），以便更好地理解和分析“ x 與 之間的關(guān)系”結(jié)合表1思考問題：請(qǐng)問bc 邊長(zhǎng)的取值是否存在限制？是否可以自由選擇 x 的大小？獨(dú)立思考寫出 y 和 x 的函數(shù)表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖在本環(huán)節(jié)中從現(xiàn)實(shí)生活中常見的場(chǎng)景出發(fā)，設(shè)置與之相關(guān)的函數(shù)問題，讓學(xué)生在羅列數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上得出二次函數(shù)表達(dá)式.仍需注意的是在此階段對(duì)于學(xué)生而言，二次函數(shù)仍是未知概念，所以學(xué)生在寫出二次函數(shù)表達(dá)式時(shí)也有可能會(huì)產(chǎn)生疑惑，這種疑惑則會(huì)成為學(xué)生生成進(jìn)一步學(xué)習(xí)興趣的起點(diǎn)，也能為學(xué)生更深層次地探究二次函數(shù)的性質(zhì)做好準(zhǔn)備.

問題情境1一次函數(shù)的概念是什么？結(jié)合一次函數(shù)的概念以及之前總結(jié)的新函數(shù)式子能否總結(jié)出二次函數(shù)的概念？

這些問題既能檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)一次函數(shù)知識(shí)的理解和記憶，又能從一次函數(shù)和生活圖片引申出二次函數(shù)的概念與特征，更為后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象奠定基礎(chǔ).

問題情境2學(xué)校準(zhǔn)備舉辦一次足球比賽，有 n 支球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽場(chǎng)數(shù)為m ，那么請(qǐng)問 Ψ_m 和 n 之間的關(guān)系是什么？

學(xué)生分小組討論，每一支球隊(duì)都會(huì)和 n-1 支球隊(duì)各比賽一場(chǎng)，比賽的場(chǎng)次為： .此問題從學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活中的足球比賽出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察理清球隊(duì)數(shù)量和比賽場(chǎng)次之間的關(guān)系，最終得出二次函數(shù)關(guān)系式.學(xué)生也在分小組討論當(dāng)中形成了數(shù)學(xué)抽象思維，理解生活場(chǎng)景和二次函數(shù)表達(dá)式之間關(guān)系.

問題情境3某工廠生產(chǎn)的洗發(fā)水年產(chǎn)量 20t ，計(jì)劃在之后的兩年適當(dāng)增加產(chǎn)量，如果第二年比上一年增加 x 倍的產(chǎn)量，那么在兩年之后這一洗發(fā)水的產(chǎn)量 y 將會(huì)跟隨 x 的值來(lái)確定.請(qǐng)問 y 和 x 之間的關(guān)系式是什么？這些產(chǎn)品在一年之后的產(chǎn)量是多少？?jī)赡曛蟮漠a(chǎn)量又是多少？

學(xué)生分小組討論，在得出 和 x 關(guān)系式的基礎(chǔ)上，求出一年之后和兩年之后的式子.這一問題相較于前一問題更加復(fù)雜.所以在提問時(shí)將問題拆解為兩個(gè)更直接、簡(jiǎn)單的問題，讓學(xué)生逐一總結(jié)下一年的產(chǎn)量關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光和觀察分析能力.

問題情境4請(qǐng)問以下幾個(gè)函數(shù)當(dāng)中有哪幾個(gè)是二次函數(shù)：

學(xué)生通過(guò)分小組交流，對(duì)存在爭(zhēng)議的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行重點(diǎn)討論，加深對(duì)二次函數(shù)概念和表達(dá)式的認(rèn)識(shí).隨后學(xué)生可以求得，正確的二次函數(shù)表達(dá)式為： y=（x+1）（x-1） 和 y=-x²-2x ：

設(shè)計(jì)意圖 以上問題情境以生活中常見的場(chǎng)景為基礎(chǔ)，逐層導(dǎo)入二次函數(shù)概念與表達(dá)式.通過(guò)讓學(xué)生對(duì)比一次函數(shù)與二次函數(shù)，利用復(fù)雜的問題情境驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)總結(jié)二次函數(shù)概念，加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的理解和認(rèn)識(shí).

2.3 追問引導(dǎo)，提煉知識(shí)

為了讓學(xué)生更直接地理解二次函數(shù)的概念，順利進(jìn)人函數(shù)圖象學(xué)習(xí)，并解決在前期學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)困惑，教師用多媒體為學(xué)生創(chuàng)設(shè)直觀的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，同時(shí)結(jié)合繪畫直截了當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生闡釋二次函數(shù)概念.

圖片展示 教師用PPT播放日常生活中常見的雨后彩虹、籃球運(yùn)動(dòng)軌跡、石拱橋、噴泉的圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察并總結(jié)圖片的共同點(diǎn).學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圖片中的軌跡都有相同的曲線—拋物線.隨即教師便向?qū)W生提問引導(dǎo)：我們應(yīng)該如何得出這一曲線的函數(shù)解析式呢？通過(guò)直觀的圖片展示和問題引導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的情緒更加積極.隨后教師為學(xué)生提供更具深度的問題情境.

設(shè)計(jì)意圖結(jié)合弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，應(yīng)用學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)展開教學(xué).因此，這一環(huán)節(jié)引入生活中常見的拋物線圖象，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察拋物線的結(jié)構(gòu)，并調(diào)動(dòng)學(xué)生參與二次函數(shù)圖象學(xué)習(xí)的積極性.以生活中常見的拋物線為參考，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，也有助于學(xué)生后續(xù)理解二次函數(shù)的性質(zhì)，幫助學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)思想和方法.

教師繪畫 教師為學(xué)生提供 y=x² 的描點(diǎn)表格，要求學(xué)生在坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)二次函數(shù)的圖象（如圖1所示），并觀察它們的特征.

隨即，教師便向?qū)W生展開追問.

追問1請(qǐng)問這兩個(gè)函數(shù)圖象有哪些共同點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生回答：兩個(gè)函數(shù)圖象都是軸對(duì)稱圖形，并且是拋物線；兩個(gè)函數(shù)圖象都存在最低點(diǎn)，并且都是圓點(diǎn)，

在得出學(xué)生的回答后，教師繼續(xù)追問.

追問2請(qǐng)問這兩個(gè)函數(shù)圖象在對(duì)稱軸左右的變化趨勢(shì)是否相同？?jī)蓚?cè)的變化趨勢(shì)是否相同？引導(dǎo)學(xué)生回答：兩個(gè)拋物線在左右兩側(cè)的變化趨勢(shì)相同，但兩側(cè)各自的變化趨勢(shì)相反，拋物線左側(cè)是從左到右下降，右側(cè)則是從左到右上升.此時(shí)教師在引導(dǎo)學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這一特征，即 xlt;0 時(shí)， y 隨 x 增大而減小，在 xgt;0 時(shí)， y 則隨 x 增大而增大.

追問3在同一個(gè)坐標(biāo)系下， y=x² 和 y=2x² （202這兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么不同點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生回答：y=x² 比 y=2x² 開口要大.

追問4二次函數(shù)的系數(shù) a 和二次函數(shù)開口大小之間的關(guān)系是什么？是 a 越大開口越大嗎？如果a 是負(fù)數(shù)呢？

響.之后再通過(guò)由特殊到一般的思維推理得出二次函數(shù)圖象的相關(guān)規(guī)律以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)、開口方向、最值等知識(shí).有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀思維和數(shù)學(xué)眼光.

追問5上面的這些二次函數(shù)圖象都是系數(shù)大于0的，那么如果在 alt;0 時(shí)，二次函數(shù)的開口會(huì)怎么樣呢？請(qǐng)畫出 y=-x² 和 y=-2x² 的圖象，并觀察它們的特征.此時(shí)學(xué)生類比之前的探究過(guò)程討論y=x² 和 y=2x² 的圖象.

學(xué)生觀察圖象回答：以上圖象的 a 都是大于零的，并且 α_a 越大函數(shù)的開口就會(huì)越小.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)循序漸進(jìn)的設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的二次函數(shù)圖象入手，引申出更深刻廣泛的思考.學(xué)生在親自繪制二次函數(shù)圖象的過(guò)程中，也能體會(huì)二次函數(shù)系數(shù)對(duì)圖象開口方向和開口大小的影

3 二次函數(shù)教學(xué)實(shí)踐

3.1 優(yōu)化學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

為使初中生深度理解二次函數(shù)的概念與性質(zhì)，創(chuàng)設(shè)自主探究氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)尤為關(guān)鍵.對(duì)初中生而言，二次函數(shù)的知識(shí)抽象性強(qiáng)、理解難度高.為了讓學(xué)生更順利地理解二次函數(shù)知識(shí)，在課堂上首先要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)和諧自由的學(xué)習(xí)氛圍，在鼓勵(lì)學(xué)生自主探索提問的過(guò)程中，以生活情境和趣味問題使學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力和實(shí)用性[3].其次，教師要從引路者的角度出發(fā)，支持學(xué)生的自主思考和學(xué)習(xí)，并用激勵(lì)式的方法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的自信.

3.2關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)思維發(fā)展

數(shù)學(xué)本質(zhì)是指數(shù)學(xué)知識(shí)的固有屬性，也是區(qū)別于其他學(xué)科的根本特征.數(shù)學(xué)知識(shí)不只是簡(jiǎn)單的公式和計(jì)算方法，更是邏輯縝密的思維模式.所以在二次函數(shù)教學(xué)當(dāng)中要以引導(dǎo)學(xué)生自主推理為主，幫助學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的概念本質(zhì)[4.例如在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念時(shí)，從一次函數(shù)出發(fā)類比二次函數(shù)概念的抽象過(guò)程.

4結(jié)語(yǔ)

二次函數(shù)是初中階段最重要的教學(xué)內(nèi)容之一，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維、邏輯思維和推理能力的關(guān)鍵內(nèi)容.在二次函數(shù)教學(xué)中，以學(xué)生自主探討分析為主要教學(xué)形式，不僅尊重了學(xué)生的課堂主體地位，更能以問題引發(fā)學(xué)生深度思考.

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