“怎樣解題表\"在幾何綜合問題解決過程中的應(yīng)用

1 原題呈現(xiàn)

在正方形 ABCD 中， E 為射線 AB 上一點(diǎn)（不與點(diǎn)^A，B 重合），將線段 DE 繞點(diǎn) E 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 得到線段 EF ，連接 CF ，作 FG⊥CF 交射線 AB 于點(diǎn) G

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 上時(shí)，① 依題意補(bǔ)全圖形，并證明 ∠ADE=∠FEG ：

② 用等式表示線段 AE 和 EG 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）已知 AB=1 ΔEFG 能否是等腰三角形？若能，直接寫出使 ΔEFG 是等腰三角形的 AE 的長(zhǎng)度；若不能，說明理由，

分析本題中，學(xué)生解決 （1）① 沒有障礙，對(duì)于①② 中 AE 和 EG 的數(shù)量關(guān)系能夠猜想得到，但證明過程比較困難.對(duì)于（2），在 AE=EG 的結(jié)論下，利用分類討論的方法可以很快得到滿足條件的 AE 的長(zhǎng).因此，本文主要對(duì) AE=EG 的證法進(jìn)行探究.

2運(yùn)用\"怎樣解題表”的分析過程及解法呈現(xiàn)2.1弄清問題

弄清問題即理解題意，就是從題目本身獲取怎樣解這道題的邏輯起點(diǎn)、推理目標(biāo)以及溝通起點(diǎn)與目標(biāo)之間聯(lián)系的更多信息.

（1）弄清題目的條件是什么.條件包括顯性條件和隱蔽條件，弄清條件就是要把它們都盡量找出來；更重要的是，弄清條件的數(shù)學(xué)含義.

在本題中，補(bǔ)全圖形，如圖2，除了明顯給定的條件，還可以得到的隱蔽條件有：

如圖3，過點(diǎn) F 作 FH⊥AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H ， 則 ΔADE?ΔHEF ，進(jìn)而有 FH=AE，EH= AD .繼而還有 BH=FH ；點(diǎn) F 定在 ∠CBG 的角平 分線上.

（2）弄清題目的結(jié)論是什么.在本題中結(jié)論雖不是直接給出，但我們?nèi)菀撞孪氲?AE=EG ，剩下的任務(wù)就是完成證明.

2.2 擬訂方案

在這個(gè)環(huán)節(jié)，弄清題目的條件和結(jié)論之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系與圖形結(jié)構(gòu)是擬訂方案的關(guān)鍵.

方案1：從圖形結(jié)構(gòu)來看，點(diǎn) E 為 AG 的中點(diǎn)，故倍長(zhǎng)的方法值得一試.

方案2：從條件和結(jié)論來看，若能證得 EG 與FH 或BH之間存在等量關(guān)系即可，從和差角度考慮，若 EB=GH ，也可得到 AE=EG ；進(jìn)一步思考，關(guān)注 ∠CFG=90^° ，這是點(diǎn) G 的形成過程，因此如何利用這個(gè)條件也是值得思考的方向.

方案3：從圖形變換的角度來看，能否轉(zhuǎn)移 AE 或 EG 的位置呢？平移 ΔADE 得到 ΔCBH ，如圖4，進(jìn)而有口DEHC， CH=EF ，此時(shí)證得 ΔCFH? ΔFGE 即可；同樣嘗試將 ΔADE 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖5，可以看到一些令人欣喜的圖形結(jié)構(gòu)出現(xiàn).

方案4：從轉(zhuǎn)移線段位置方向去思考，除了圖形變換之外，構(gòu)造全等三角形也是一種比較常見的方法，利用（1）已得的 ∠ADE=∠FEG 和 DE=EF ，在 DA 上截取與 EG 相等的邊 DN ，如圖6，除了全等圖形之外，也可以得到更多特殊的相關(guān)圖形.

方案5：由于本題的背景是正方形，在關(guān)注圖形的形成過程中，可以發(fā)現(xiàn)多個(gè)等腰直角三角形，那么線段之間的比例關(guān)系也可以很容易表示出來，

方案6：本題背景是正方形，點(diǎn) E 的位置也是在射線AB上，我們可建立平面直角坐標(biāo)系，利用解析幾何的方法來計(jì)算點(diǎn) G 的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn) A，E，G 的坐標(biāo)規(guī)律，從而得出結(jié)論.

2.3 執(zhí)行計(jì)劃

從上述的分析與思考中，我們可以逐一地嘗試與解決.

2.3.1 基于中點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)想構(gòu)造

解法1如圖7，延長(zhǎng) FE 至點(diǎn) Q ，使得 EQ=FE 連接 DF，DQ，AQ ，易得等腰 RtΔDFQ ，則 DF=DQ ∠QDA=∠FDC ，又 DC=AD ，所以 ΔQDA? ΔFDC（SAS） ，則 ∠AQD=∠CFD=α ，又 ∠CFG= 90^° ，所以 ∠EFG=∠EQA=45^°-α ，則有 ΔEFG? ΔEQA （ASA），所以 EG=EA ：

評(píng)析利用中點(diǎn)構(gòu)圖時(shí)倍長(zhǎng)是一種常見的構(gòu)圖方式，本題中“中點(diǎn)”處還存在垂直關(guān)系，利用垂直平分線構(gòu)造等腰三角形也是常用的構(gòu)圖方法.解法1是倍長(zhǎng) FE ，其實(shí)倍長(zhǎng)DE也可以，只不過在本題條件下，找齊全等條件相對(duì)復(fù)雜.因此不同的倍長(zhǎng)方向可以靈活選擇，這也是遇到困難時(shí)調(diào)整思路的一個(gè)方式.

2.3.2基于線段代換與和差角度進(jìn)行的思考以及對(duì)圖形形成關(guān)鍵要素“垂直”的利用

解法2如圖8，作 FH⊥AB ，交 AB 的延長(zhǎng)線 于點(diǎn) H ，并反向延長(zhǎng) FH 交 DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) s ，則 有 ΔADE?ΔHEF 及矩形 CBHS ，則 EH=AD ！ HF=AE ，進(jìn)而 EH=SH . BH=FH=CS ，則 SF= EB ，又 ∠CFG=90^° ，所以 ∠SCF=∠HFG ，則 ΔCSF?ΔFHG（ASA） ，所以 SF=GH ，進(jìn)而 GH=EB ，所以 EG=BH=AE

評(píng)析此解法將線段進(jìn)行和差運(yùn)算或等量代換，并利用點(diǎn) F，G 形成的關(guān)鍵要素，通過構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移線段．“一線三等角”這一基本圖形也是學(xué)生所熟悉的.

2.3.3 基于圖形變換的構(gòu)圖方法

由于利用圖形變換的輔助線易造成共線問題，我們通過轉(zhuǎn)換輔助線說明來解決問題.

解法3如圖9，作 FH⊥AB ，交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H ，連接 CH ，交 EF 于點(diǎn) J ，易得 ΔADE? ΔHEF ，則 AE=HF，AD=HE，EH=CD 且 EH // CD ，則有 ，則 DE ，所以 ∠CJF=∠DEF=90^° ，又 ∠CFG=90^° ，所以∠FCH=∠GFE ；又在 中，有 ∠CDE= ∠CHE ，又 ∠CDE+∠ADE=90^°，∠CHE ∠CHF=90^° ，所以 ∠CHF=∠ADE ，所以 ∠FEG =∠FHC ，又 DE=EF 0 DE=CH ，所以 EF=CH ，則有 ΔFEG?ΔCHF（ASA） ，所以 EG=FH ，則有 AE=EG ：

解法4如圖10，過點(diǎn) D 作 DM⊥DE 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M ，連接 MF ，則有 ΔADE?ΔCDM .則 AE=CM，DE=DM ，易得正方形 DEFM ，所以有 MF=EF ∠MFE=90^° ，又 ∠CFG=90^° ∠CBE =90^° ，所以 ∠MFC=∠GFE ， ∠FMC=∠FEG ，則有 ΔMCF?ΔEGF （ASA），所以 MC=EG ，進(jìn)而AE=EG

評(píng)析圖形變換的構(gòu)圖方式可以給學(xué)生帶來新的特殊圖形和解決方向，但也經(jīng)常會(huì)給學(xué)生帶來共線的困擾，因此我們可以利用運(yùn)動(dòng)變換構(gòu)圖，再轉(zhuǎn)換構(gòu)圖說明，來解決問題.

2.3.4 構(gòu)造全等轉(zhuǎn)移線段

解法5 如圖11，作 DN=AE ，連接 NE，NC .NC與DE相交于點(diǎn) K ，易得 ΔADE? ΔDCN（SAS） ，則 ∠ADE=∠DCN，NC=DE ，易得 ∠DKC=90^° ，且 NC=EF ，又 ∠DEF=90^° ，所以CN//EF ，且 CN=EF ，則有 ，進(jìn)而 NE// CF ，所以 ∠NEF+∠CFE=180^° ，又 ∠CFG=90^° .所以 ∠DEF+∠CFG=180^° ，所以 ∠DEN= ∠EFG ，又 DE=EF ∠NDE=∠FEG ，所以ΔDNE?ΔEGF（ASA） ，則有 DN=GE ，所以 AE =EG ：

評(píng)析本題中若直接截取 DN=EG ，解決過程相對(duì)復(fù)雜，因此學(xué)生需要通過轉(zhuǎn)換構(gòu)圖說明來獲取困難條件，這樣在尋求解決路徑時(shí)，就可以及時(shí)調(diào)整思路，找到更快捷、更優(yōu)的解決路徑.

2.3.5基于特殊圖形背景的線段關(guān)系（旋轉(zhuǎn)相似）

解法6如圖12，作 FH⊥AB ，交 AB 的延長(zhǎng) 線于點(diǎn) H ，連接 BF，CG，AC ，則易得 ΔADE? ΔHEF（AAS） ，則有 AE=HF AD=HE ，所以 AE=BH=FH ，易得等腰 RtΔBFH ，又 ∠CFG= ∠CBG=90^° ，則點(diǎn) C，B，G，F(xiàn) 共圓，則 ∠FCG= ∠FBG=45^° ，則 CF=FG ，則有等腰 RtΔGFC ，又 四邊形 ABCD 為正方形，則有等腰 RtΔABC ，所以 ∠ACB=∠GCF ，則 ∠ACG=∠BCF 則得 ΔACG～ΔBCF ，則有 ，所以 ，即 AE=EG

評(píng)析從解法6我們可以看到，旋轉(zhuǎn)相似也可以為證明線段數(shù)量關(guān)系帶來新的突破口，特別是有特殊角的旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段比例關(guān)系更容易量化.

2.3. 6 解析法，建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算

解法7 如圖13，以點(diǎn) A 為原點(diǎn)，分別以 _AB ！AD 為 x 軸， y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，令 AB=1 ，由于四邊形 ABCD 為正方形，所以 AD=CB=CD= 1，作 FH⊥x 軸于點(diǎn) H ，因?yàn)?DE=EF ∠ADE= ∠HEF ，所以 ΔADE?ΔHEF（AAS） ，則有 AE= HF IF，AD=HE ，所以 AE=BH=FH ，不防設(shè) AE= a ，則 F（1+a，a），C（1，1） ，所以直線 CF 的斜率k _CF 1-α，又CF」FG，所以直線FG 的斜率kFG=1-a，所以直線FG 的直線方程為：yFG = ，令 y=0 ，則 x=2a ，即 G（2a ，0），所以 AG=2a=2AE ，即 AE=EG

評(píng)析雖然解析法在初中階段并非解決幾何問題的主要考查方向，但對(duì)于拓展思路具有一定幫助，特別是特殊圖形，如正方形、等腰直角三角形以及含 30^°?60^° 角的直角三角形，學(xué)生能夠通過特殊角度所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo).在學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，同學(xué)們也可嘗試?yán)萌呛瘮?shù)表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，這也為后續(xù)解析法的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

2.4 回顧反思

回顧以上的解題方法和思路，這不僅是一個(gè)檢驗(yàn)的過程，同時(shí)也是對(duì)于解決幾何問題方法的一次總結(jié).在這個(gè)過程中，學(xué)生可以完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)，從不同的解題角度獲得一題多解、拓展思維和調(diào)整思維的方向.

3結(jié)語

在解決幾何問題時(shí)，弄清顯性條件和隱蔽條件是理解問題的重要環(huán)節(jié)，關(guān)注圖形的形成過程是發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律及圖形特征的重要切入點(diǎn)；而建立聯(lián)系的過程，是思維切入和調(diào)整的關(guān)鍵所在，也是能否解出題目的關(guān)鍵.在本環(huán)節(jié)中，積累的基本圖形結(jié)構(gòu)和構(gòu)圖方法可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論，從而將已知信息與未知內(nèi)容連接起來，最終完成對(duì)問題的解決.

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