勾股定理常見(jiàn)題型分析與探究

摘要：勾股定理是初中幾何中的重要定理之一，在數(shù)學(xué)解題和實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用.勾股定理溝通了數(shù)與形之間的關(guān)系，能夠考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，深入理解和掌握勾股定理對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和能力提升至關(guān)重要.本文中重點(diǎn)探究了勾股定理的常見(jiàn)題型，介紹了一些常見(jiàn)題型的解題思路，并例舉實(shí)例進(jìn)行講解，以幫助學(xué)生在解勾股定理問(wèn)題上更加得心應(yīng)手.

關(guān)鍵詞：勾股定理；常見(jiàn)問(wèn)題；初中幾何

1 勾股定理與構(gòu)造直角三角形問(wèn)題

勾股定理是解決三角形中線(xiàn)段問(wèn)題最常用的知識(shí)點(diǎn)之一，但往往所遇問(wèn)題的圖中沒(méi)有明顯的三角形，或沒(méi)有含特征線(xiàn)段的直角三角形，則需要我們靈活添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造出滿(mǎn)足條件的直角三角形[1].

例1如圖1所示，有一塊形狀不規(guī)則的土地ABCD，已知∠B=∠D=90°，AB的長(zhǎng)為20 m，BC的長(zhǎng)為15 m，CD的長(zhǎng)為7 m，請(qǐng)計(jì)算這塊土地的面積.

解：連接AC，則這塊土地的面積為兩個(gè)小三角形面積之和.

在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，由勾股定理得

AC=AB2+BC2=25.

在Rt△ACD中，AC=25，CD=7，由勾股定理得

AD=AC2-CD2=24.

所以S四邊形ABCD=12AB5BC+12AD5CD=12×20×15+12×24×7=234.

故這塊土地的面積為234 m2.

2 勾股定理與幾何體表面距離最短問(wèn)題

解決幾何體表面距離最短的問(wèn)題時(shí)，通常先將幾何體表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面展開(kāi)圖中兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，然后構(gòu)造出直角三角形，運(yùn)用勾股定理或者等面積法求解[2].

例2如圖2所示，桌面上有一個(gè)圓柱形罐子，已知罐子的底面周長(zhǎng)為12，高為5，一只螞蟻從罐子底部點(diǎn)A出發(fā)，環(huán)繞罐子爬到了點(diǎn)A的正上方點(diǎn)B處，求螞蟻的最短爬行路程？

解：如圖3，將圓柱的側(cè)面沿AB剪開(kāi)鋪平，則四邊形AA′B′B為長(zhǎng)方形，且AB=A′B′=5，AA′=BB′=12.

連接AB′，當(dāng)螞蟻沿AB′爬時(shí)，爬行路程最短.

在Rt△AA′B′中，有

AB′=AA′2+A′B′2=122+52=13.

故螞蟻的最短爬行路程為13.

3 勾股定理與實(shí)際問(wèn)題

利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往已知條件和待求的未知量的關(guān)系不會(huì)很明顯，解題關(guān)鍵是找出直角三角形，設(shè)出合適的未知數(shù)，然后圍繞直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用勾股定理尋找相等關(guān)系建立方程，通過(guò)解方程來(lái)解決問(wèn)題.

例3在池塘中有一根垂直豎立著的竹竿，竹竿頂端高出水面30 cm，突然一陣大風(fēng)將竹竿吹歪，使得竹竿的頂端剛好與水面平齊，若竹竿的頂端水平移動(dòng)了60 cm，求池塘水的深度.

解：如圖4所示，設(shè)池塘水深為h.

根據(jù)題意，在Rt△ABC中，AB=h，BC=60，AC=h+30.

由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，即（h+30）2=h2+602.

解得h=45.

所以池塘水的深度為45 cm.

4 勾股定理與翻折問(wèn)題

解決翻折問(wèn)題時(shí)，也常常會(huì)運(yùn)用到勾股定理.解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要弄清翻折前后邊、角的對(duì)應(yīng)情況，不可錯(cuò)亂，尤其是涉及到求線(xiàn)段長(zhǎng)度時(shí)，將待求線(xiàn)段或角與已知線(xiàn)段、角歸結(jié)到一起，便可通過(guò)勾股定理列方程求未知線(xiàn)段的長(zhǎng)，使問(wèn)題得以解決[3].

例4如圖5，已知長(zhǎng)方形ABCD的邊AB長(zhǎng)為6，BC長(zhǎng)為10，折疊BC邊使得點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為CE，求EF的長(zhǎng).

解：由于FC是由BC翻折所得，根據(jù)題意可得Rt△FEC≌Rt△BEC.

所以EF=BE，F(xiàn)C=BC=10.

而在Rt△CDF中，CD=AB=6，則

DF=CF2-CD2=102-62=8.

所以AF=AD-DF=10-8=2.

設(shè)EF=x，則EB=x，AE=6-x.

在Rt△AEF中，由EF2=AE2+AF2，得

x2=（6-x）2+22.

解得x=103，即EF=103.

例5如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB的長(zhǎng)為6，BC的長(zhǎng)為9，將△ABC折疊，使點(diǎn)C與AB的中點(diǎn)D重合，折痕與邊AC相交于點(diǎn)M，與邊BC相交于點(diǎn)N，求線(xiàn)段BN 的長(zhǎng).

解：因?yàn)镈是AB中點(diǎn)，AB的長(zhǎng)為6，所以可得AD=BD=3.

由折疊可得DN=CN.

所以BN=BC-CN=9-DN.

在Rt△DBN中，由勾股定理得

DN2=BN2+DB2.

所以DN2=（9-DN）2+9，解得DN=5.

所以BN=4.

5 勾股定理在網(wǎng)格（數(shù)軸）中的應(yīng)用

（1）運(yùn)用勾股定理作長(zhǎng)為n（n為大于1的整數(shù)）的線(xiàn)段

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，但在數(shù)軸上直接標(biāo)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)較難，此時(shí)可以借助勾股定理作出線(xiàn)段.

例6在數(shù)軸上作出表示20的點(diǎn).

解：如圖7所示，首先畫(huà)出數(shù)軸，在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)A，即OA=4，然后過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l垂直于數(shù)軸，在l上取點(diǎn)B，使AB=2，最后連接OB，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為表示20的點(diǎn).

（2）運(yùn)用勾股定理求正方形網(wǎng)格中的線(xiàn)段長(zhǎng)

正方形網(wǎng)格中的每一個(gè)角都是直角，正方形網(wǎng)格中的計(jì)算可以歸結(jié)為求任意兩個(gè)格點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般情況下都是應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，關(guān)鍵是確定每一條邊所在的直角三角形.

例7已知正方形網(wǎng)格的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，AB的長(zhǎng)為22，BC的長(zhǎng)為13，AC的長(zhǎng)為17，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)三角形ABC，并求出S△ABC.

解：因?yàn)椋?2）2=22+22，所以AB可以看作是以2為直角邊長(zhǎng)的等腰直角三角形的斜邊.

又（13）2=22+32，所以BC可以看作是以2，3為直角邊長(zhǎng)的直角三角形的斜邊.

又（17）2=42+12，所以AC可以看作是以4，1為直角邊長(zhǎng)的直角三角形的斜邊.

因此求作的三角形ABC如圖7所示，且S△ABC=4×3-12×4×1-12×2×2-12×2×3=5.

勾股定理是初中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的定理之一，但學(xué)生在運(yùn)用勾股定理實(shí)際解題時(shí)常常會(huì)遇到一些困難.因此，廣泛了解與勾股定理相關(guān)的常見(jiàn)題型，掌握其常用的解題思路和技巧，可以讓學(xué)生對(duì)勾股定理有更深刻的理解和認(rèn)識(shí)，在遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)會(huì)更加從容不迫，突破在實(shí)際解題運(yùn)用上的困難.

參考文獻(xiàn)：

[1]魏建輝.利用勾股定理求幾何體表面兩點(diǎn)之間的最短距離[J].數(shù)理天地（初中版），2022（8）：78.

[2]卜建紅.初中數(shù)學(xué)平面幾何題型解決策略——以“勾股定理”為例[J].數(shù)學(xué)之友，2023，37（3）：7475，79.

[3]陳峰.“勾股定理”的常見(jiàn)題型[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2023（Z2）：2021.