中考數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖試題常見失分問題剖析及教學(xué)應(yīng)對(duì)

摘要：尺規(guī)作圖是中考數(shù)學(xué)考查的重要內(nèi)容之一.文章以一道中考真題為研究對(duì)象，探究學(xué)生在應(yīng)對(duì)此類試題時(shí)常見的失分問題，并提出針對(duì)性的教學(xué)應(yīng)對(duì)策略.

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；尺規(guī)作圖；教學(xué)應(yīng)對(duì)

對(duì)中考尺規(guī)作圖試題常見失分問題進(jìn)行剖析具有重要意義.一方面，它有助于學(xué)生深入理解題目要求，避免因操作不規(guī)范或步驟遺漏而丟分，提高解題的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性；另一方面，通過對(duì)這些失分問題的分析，教師可以有針對(duì)性地調(diào)整教學(xué)策略，強(qiáng)化學(xué)生的幾何作圖基本功，培養(yǎng)他們的空間想象力和邏輯思維能力，從而有效提升學(xué)生的整體作圖水平［1］.

筆者以2024年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)試卷第26題為例，對(duì)該類試題常見的失分問題進(jìn)行分析，以便得出針對(duì)性的教學(xué)應(yīng)對(duì)策略.

1 真題再現(xiàn)

例如圖1，已知∠PAQ及AP邊上一點(diǎn)C.

（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點(diǎn)O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作圖痕跡，不需要寫作法）

（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑的圓交射線AQ于點(diǎn)B，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（3）在（1）（2）的條件下，若sin A=35，CM=12，求BM的長(zhǎng).

2 試題剖析

2.1 題意理解不清導(dǎo)致作圖目標(biāo)偏離

在中考尺規(guī)作圖試題中，很多學(xué)生在解題過程中由于對(duì)題意理解不清，導(dǎo)致作圖目標(biāo)偏離.例如，在例題第（1）問中，題目要求在射線AQ上求作點(diǎn)O，使得∠COQ=2∠CAQ.這實(shí)際上是涉及將一個(gè)已知角倍分的作圖問題.然而，部分學(xué)生可能對(duì)“倍角”的概念不清楚，或者錯(cuò)誤地理解為等分角，從而作出了錯(cuò)誤的幾何構(gòu)造.還有一些學(xué)生可能在解題時(shí)忽略了題目中的“射線AQ”，將點(diǎn)O作在了其他位置，沒有保持點(diǎn)O在射線上，導(dǎo)致作圖不符合要求.這種失分問題往往源于學(xué)生對(duì)角度關(guān)系及倍角的理解不夠透徹，進(jìn)而影響了他們對(duì)題目要求的把握.在實(shí)際考試中，這類失誤較為普遍，特別是學(xué)生在解題前未充分審題、明確題意時(shí)，容易出現(xiàn)這種失分情況.

2.2 操作不規(guī)范和圖形精度不足

另外一種常見的失分問題是操作不規(guī)范和圖形精度不足.在例題第（2）問中，學(xué)生需要通過圓規(guī)和直尺在射線CP上作點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離與點(diǎn)M到射線AQ的距離相等.這一作圖問題要求學(xué)生構(gòu)造出滿足特定幾何條件的點(diǎn)M，通常需要較高的精度.然而，很多學(xué)生在作圖時(shí)由于操作不規(guī)范，如圓規(guī)的使用不準(zhǔn)確，或畫線不夠精細(xì)，導(dǎo)致最終的圖形偏離要求.例如，有些學(xué)生在作出圓與射線的交點(diǎn)時(shí)，因不精確的操作使得所作的圓與射線不相交或交點(diǎn)不準(zhǔn)，這直接影響到點(diǎn)M位置的準(zhǔn)確性，進(jìn)而影響后續(xù)解答.這種失分往往反映了學(xué)生在尺規(guī)作圖的操作上不夠熟練，缺乏規(guī)范意識(shí)，以及在考試中因緊張或粗心而導(dǎo)致的精度問題.

2.3 解題步驟與邏輯思維混亂

在尺規(guī)作圖題中，邏輯思維的嚴(yán)密性和解題步驟的清晰性至關(guān)重要.然而，許多學(xué)生在解題過程中容易出現(xiàn)邏輯混亂或步驟不完整的情況.例如，在例題第（3）問中，學(xué)生需要結(jié)合前兩問的作圖結(jié)果，通過幾何和三角函數(shù)的知識(shí)計(jì)算BM的長(zhǎng)度.這一問要求學(xué)生在作圖的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確使用三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.然而，有些學(xué)生可能在作圖過程中沒有完整地保留所有必要的作圖步驟，或在解題時(shí)跳過了某些關(guān)鍵的邏輯推導(dǎo)步驟，導(dǎo)致解答過程不連貫，最終無法準(zhǔn)確求得BM的長(zhǎng)度.這種失分通常反映了學(xué)生在面對(duì)多步驟問題時(shí)，缺乏系統(tǒng)性思考和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.此外，學(xué)生在作圖后的計(jì)算過程中，可能因?yàn)槲茨軠?zhǔn)確應(yīng)用三角函數(shù)公式或忽視題目條件中的重要信息，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，最終影響答案的正確性.

3 教學(xué)應(yīng)對(duì)策略

3.1 加強(qiáng)審題訓(xùn)練，提升題意理解能力

針對(duì)學(xué)生在尺規(guī)作圖試題中因題意理解不清而導(dǎo)致作圖目標(biāo)偏離的問題，教學(xué)中應(yīng)著重加強(qiáng)學(xué)生審題能力的訓(xùn)練.教師可以通過分步引導(dǎo)和多次練習(xí)，幫助學(xué)生在解題前充分理解題意和明確作圖要求.例如，在授課過程中，可以采用“提問-討論-解答”的形式，引導(dǎo)學(xué)生逐字逐句解讀題目，識(shí)別關(guān)鍵條件和隱含信息.此外，通過引入多樣化的題型和情境，訓(xùn)練學(xué)生從不同角度審視題目，特別是針對(duì)倍角、角平分線等易混淆概念的題型，進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練.教師還可以設(shè)計(jì)一些易出錯(cuò)的題目，故意在題目描述中設(shè)置陷阱，訓(xùn)練學(xué)生辨別題意的能力.通過這種方式，學(xué)生在考試中能夠更敏銳地抓住題目要求，避免因誤解題意而偏離作圖目標(biāo).同時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在作圖前先進(jìn)行必要的分析和推理，確保理解題目的全部要求，形成明確的作圖思路，從而提高解題的準(zhǔn)確性.

3.2 規(guī)范操作訓(xùn)練，提升圖形精度與規(guī)范性

對(duì)于操作不規(guī)范和圖形精度不足的問題，教師應(yīng)著重在課堂上培養(yǎng)學(xué)生的作圖規(guī)范性和精細(xì)度.首先，教師在講解尺規(guī)作圖時(shí)應(yīng)以標(biāo)準(zhǔn)示范為基礎(chǔ)，詳細(xì)講解每一步的操作要求，如圓規(guī)的使用、直線的畫法等，確保學(xué)生掌握正確的操作方法.可以通過課堂演示和學(xué)生動(dòng)手操作相結(jié)合的方式，逐步提高學(xué)生的動(dòng)手能力.其次，在日常訓(xùn)練中，教師應(yīng)設(shè)置高精度要求的作圖練習(xí)，要求學(xué)生嚴(yán)格按照作圖要求進(jìn)行操作，并且保留作圖痕跡以便后續(xù)檢查.教師可以通過定期作圖比賽或展示，鼓勵(lì)學(xué)生比拼作圖的規(guī)范性和精度，以提升他們的作圖水平.此外，教師在批改作業(yè)和考試時(shí)，應(yīng)該注意反饋學(xué)生的操作問題，指出不規(guī)范之處并提出改進(jìn)建議，讓學(xué)生意識(shí)到精度和規(guī)范性的重要性.通過反復(fù)的規(guī)范操作訓(xùn)練，學(xué)生在考試中將能夠保持圖形的精確性，從而減少因操作不規(guī)范而導(dǎo)致的失分.

3.3 強(qiáng)化邏輯思維訓(xùn)練，系統(tǒng)梳理解題步驟

結(jié)合試題分析來看，教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生邏輯思維的訓(xùn)練，并引導(dǎo)他們系統(tǒng)地梳理解題步驟.教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，讓他們?cè)诿看巫鲌D后回顧解題過程，明確每一步操作的邏輯依據(jù).例如，教師可以設(shè)計(jì)一些分步作圖任務(wù)，要求學(xué)生在每完成一步后寫下該步驟的邏輯理由，并預(yù)估下一步的操作，這樣能幫助學(xué)生理清思路，增強(qiáng)邏輯推理能力.除此之外，教師還應(yīng)加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同幾何知識(shí)在解題中的作用.例如，通過歸納總結(jié)常見的作圖步驟模板，如“先構(gòu)造出角平分線，再使用圓規(guī)畫弧”等，讓學(xué)生在遇到相似問題時(shí)能迅速調(diào)用已有的解題思路.此外，教師可以通過小組討論、角色扮演等方式，模擬考試情境下的作圖步驟，讓學(xué)生在交流中深化理解，從而提高他們的解題連貫性和邏輯性.通過強(qiáng)化邏輯思維訓(xùn)練，學(xué)生能夠更系統(tǒng)地梳理解題步驟，避免因邏輯混亂而導(dǎo)致失分.

3.4 結(jié)合幾何應(yīng)用和實(shí)際問題，增強(qiáng)解題的實(shí)用性和學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣為進(jìn)一步提升學(xué)生在尺規(guī)作圖中的表現(xiàn)，教師應(yīng)將幾何作圖與實(shí)際問題相結(jié)合，增強(qiáng)解題的實(shí)用性和學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教師可以通過設(shè)計(jì)一些與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的幾何作圖題目，例如，城市規(guī)劃中的道路設(shè)計(jì)、建筑中的角度測(cè)量等，來吸引學(xué)生的注意力，并幫助他們理解幾何作圖在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值［2］.在課堂上，教師可以通過多媒體和信息技術(shù)手段，展示幾何作圖在工程、建筑等領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用案例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，結(jié)合實(shí)際問題完成尺規(guī)作圖任務(wù)，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何作圖的理解和掌握.通過這種將作圖與實(shí)際問題相結(jié)合的教學(xué)策略，學(xué)生不僅能夠更好地掌握幾何作圖的技巧，還能體會(huì)到這些技巧在解決實(shí)際問題中的重要性，從而提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，最終在考試中表現(xiàn)得更加自信和準(zhǔn)確.

參考文獻(xiàn)：

[1]萬濤.探尋作圖本質(zhì) 明晰作法之理——以2021年南京市中考數(shù)學(xué)試題第25題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（14）：1820.

[2]王書賢，郭建理.知原理 重探究——以江蘇省中考數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”命題分析為例[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2022（1）：6063.