例析圖形折疊與勾股定理結(jié)合問題的解決策略

摘要：折疊問題是初中幾何中比較常見的題目類型，不僅能考查學生的計算能力、解決問題能力，而且能著重考查學生的空間思維能力.由于其中包含的知識點比較多，因此在命題時比較受歡迎.結(jié)合教學經(jīng)驗來看，如果圖形出現(xiàn)了折疊，那么往往需利用勾股定理解決問題.基于這一前提，本文中對圖形折疊與勾股定理結(jié)合的問題進行研究，以期在總結(jié)其解決策略的基礎(chǔ)上與一線教師分享經(jīng)驗和交流心得.

關(guān)鍵詞：圖形折疊；勾股定理；三角形；長方形；解決策略

圖形折疊產(chǎn)生的空間線條的變化，讓學生領(lǐng)略到了折疊前后圖形的動態(tài)美感，其解決過程也讓學生感悟到圖形折疊與勾股定理的結(jié)合，絕對是初中幾何部分比較經(jīng)典的問題之一.由此可見，解決圖形折疊與勾股定理結(jié)合的問題，對學生學好、用好初中幾何知識尤為關(guān)鍵.所以，本文中以例題分析的形式對其進行較深入的探究，并嘗試總結(jié)出這類問題的解決策略，以供一線教師教學時有更多參考.

1 圖形折疊與勾股定理結(jié)合的類型

圖形折疊問題中常包含著許多知識點，如軸對稱、全等三角形、勾股定理等，每個知識點在初中數(shù)學中都有著舉足輕重的地位[1].從一線教學經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，與勾股定理相結(jié)合的圖形折疊通常有三角形中的折疊和長方形中的折疊兩類.

1.1 三角形中的折疊

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm.現(xiàn)將△ABC進行折疊，使頂點A，B重合，則折痕DE的長為（）cm.

A.25 B.154 C.158 D.5

分析：先利用勾股定理計算出AB=5 cm，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EA=EB，AD=DB=12AB=52；設(shè)AE=x，則BE=x，CE=4-x，在Rt△BCE中利用勾股定理可得到32+（4-x）2=x2，可求出x=258，則在Rt△ADE中，AD=52，AE=258，然后再次運用勾股定理可計算出DE的長.

解：∵∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，

∴AB=AC2+BC2=5（cm）.

∵△ABC沿DE進行折疊，使頂點A，B重合，

∴EA=EB，AD=DB=12AB=52.

設(shè)AE=x，則BE=x，CE=4-x.

在Rt△BCE中，有BC2+CE2=BE2.

∴32+（4-x）2=x2.

解得x=258.

∵在△ADE中，AD=52，AE=258，ED⊥AD，

∴DE=AE2-AD2

=2582-522

=158（cm）.

故選答案：C.

反思：本題既考查了折疊的性質(zhì)“折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等”，也通過求線段的長度反復考查了勾股定理.

1.2 長方形中的折疊

例2如圖2所示，在長方形ABCD中，將△ABC沿AC對折至△AEC的位置，CE與AD交于點F.

（1）試證明：AF=FC;

（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長.

分析：（1）首先觀察圖形，可得到AE=DC，然后通過∠EFA=∠DFC，∠AEF=∠CDF，結(jié)合全等三角形的判定方法，可證得△AEF和△CDF是全等三角形，于是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進一步得到EF=DF，最后證得AF＝FC.（2）折疊問題中求線段的長，往往需先在圖中找到直角三角形，然后利用勾股定理進行計算.于是，在Rt△CDF中應用勾股定理即可求得AF的長.

（1）證明：由矩形性質(zhì)可知，AE=AB=DC.

根據(jù)對頂角相等，得∠EFA=∠DFC.

又∠E=∠D=90°，

∴△AEF≌△CDF.

∴AF＝FC.

（2）解：設(shè)FA=x，則有FC=x，F(xiàn)D=4-x.在Rt△CDF中，由勾股定理得CF2=CD2+DF2，所以x2=32+（4-x）2，解之得x=258.

故AF的長為258.

反思：折疊問題的本質(zhì)是軸對稱問題，同時也結(jié)合了許多考點，如矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等.解題時通常是先找到全等三角形及對應的線段和角，從而得到足夠多的等量關(guān)系，然后尋找或構(gòu)造“關(guān)鍵直角三角形”，最后利用勾股定理建立方程求解[2].

2 解決策略總結(jié)與經(jīng)驗分享

2.1 解決策略總結(jié)

借助以上兩道例題，為教師呈現(xiàn)了圖形折疊與勾股定理結(jié)合常出現(xiàn)的題目類型及其解法.圖形折疊的本質(zhì)其實是軸對稱問題，因為在折疊過程中必然會出現(xiàn)全等三角形.在審題和思考時，一定要重視“折”的過程，并且關(guān)注“疊”的表現(xiàn)，找到相等的角和邊進行轉(zhuǎn)化[3].下面，將這類問題的解決策略總結(jié)如下：

首先，尋找和構(gòu)造全等三角形，尤其是特殊的直角三角形.在例1中，△ADE不僅與△BDE是全等的三角形，而且通過全等三角形的性質(zhì)將邊AE轉(zhuǎn)化至BE后，將解決問題的方向指引到了Rt△BCE中.

其次，利用勾股定理建立方程并解之.在找準直角三角形后，根據(jù)勾股定理建立方程并解出方程則比較簡單.

2.2 經(jīng)驗分享

當圖形折疊與勾股定理結(jié)合后，問題的難度會有所增加，但從考查的情況來看不會太難，抓住直角三角形并建立方程是解決這類問題的主要方法.然而，在解決問題過程中往往需要利用許多知識來求解或證明，所以根據(jù)一線教學經(jīng)驗，筆者提醒教師教學時應注意以下幾個方面.

第一，注重知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，并不斷完善其結(jié)構(gòu).上述分析已說明了圖形折疊與勾股定理結(jié)合問題包括了許多知識點，從例題的求解過程也可看出，只要其中一個知識點學生未掌握，那么想要解決這一問題將變得異常困難.所以，一線教師在教學時要注重知識網(wǎng)絡(luò)的逐步構(gòu)建，只有這樣學生才能具備扎實的知識基礎(chǔ).在這里，筆者分享一些教學經(jīng)驗如下：

從一個名詞出發(fā)，如“三角形”，讓學生以此為起點進行知識接龍.這時，學生會想到許多與之有關(guān)的名詞，如“直角三角形”等.然后，讓學生簡單介紹與直角三角形有關(guān)的知識點.如學生會介紹“勾股定理”，那么讓學生接著想與“勾股定理”有關(guān)的知識點.如此不斷繼續(xù)下去，學生在玩的過程中逐漸建立起知識網(wǎng)絡(luò).

第二，注重思維引導，杜絕一切形式的“包辦”，充分體現(xiàn)學生的主體性地位.教師在分析問題時，應適當引導學生的思維，而不應自問自答.教師是合作者、引導者，不能“包辦”學生學習中的一切過程.

第三，注意理論與實踐相結(jié)合.通過圖形折疊，學生可以更加直觀地理解一些數(shù)學概念.例如，通過將正方形折疊成等腰三角形，學生可以更好地理解等腰三角形的概念和性質(zhì).學生還可以進行一些實際的運算.例如，通過將一張紙折疊成若干部分，可以體驗到分數(shù)的含義和計算過程.通過將一個圖形折疊成另一個圖形，可以鍛煉幾何變換問題的計算能力.這種實際的運算方式能夠更好地激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，使他們更主動地學習和探索.所以，教師要引導學生折一折、看一看，尤其要注意對應角、對應線段的位置變化.通過多次的折疊訓練，幫助學生建立了折疊時的空間位置，以及逐步理解了一些角、線段的變化，這對于他們分析問題、解決問題有極大幫助.

圖形折疊與勾股定理結(jié)合的問題既簡單又復雜.簡單是因為其考查難度為中等，比較符合絕大部分學生的水平.復雜是因為其中包括了許多知識點，只要一個知識點出現(xiàn)問題，整個問題將很難得到解決.所以，教師有必要與學生一起構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，并培養(yǎng)學生良好的思維習慣.

參考文獻：

[1]鄭清月，李淑杰.把握問題本質(zhì)，提高關(guān)鍵能力——“折疊與翻折問題”復習課教學設(shè)計[J].中學數(shù)學，2022（4）：3840，63.

[2]蔡偉強.溯“錯因”之源，揚“糾錯”之帆——一道圖形折疊題引發(fā)的思考[J].試題與研究（教學論壇），2020（17）：111112.

[3]劉鈺.初中數(shù)學解題課教學策略課例分析——以\"勾股定理中的翻折問題\"解題教學為例[J].中學數(shù)學，2021（10）：89，13.