例析用常見輔助線法構(gòu)造全等三角形

在日常的數(shù)學(xué)解題過程中，巧妙添加輔助線以構(gòu)造全等三角形，成了解決問題的關(guān)鍵一步.這一步不僅考驗學(xué)生的觀察力與分析力，更是對數(shù)學(xué)思維靈活性的鍛煉.常見的方法包括“連接—作高—延長法”“截長補短法”“倍長中線法”“平行線法”共四類方法，下面筆者結(jié)合例題來分析方法的具體應(yīng)用.

1 用“連接—作高—延長法”構(gòu)造全等三角形

（2024年廣西南寧市第三中學(xué)八上月考）如圖1，△ABC中，D是BC邊的中點，線段AD平分∠BAC.BF∥AC，F(xiàn)D的延長線交AC于點E，且AE=2BF.有下列結(jié)論：①AD⊥BC；②DE⊥AC；③DE=DF；④AB=3BF.其中正確的個數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

解析：如圖2，延長AD交BF的延長線于點H.

由D是BC邊的中點，可知BD=CD.

由BF∥AC，得∠C=∠FBC，∠H=∠CAD.

在△BHD和△CAD中，∠H=∠CAD，

∠BDH=∠CDA，

CD=BD，所以△BHD≌△CAD（AAS）.

所以AC=BH，AD=DH.

由AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD.

所以∠H=∠BAD，則AB=BH.

又HD=AD，所以BC⊥AD，故①正確.

在△CDE和△BDF中，∠C=∠FBD，

CD=BD，

∠CDE=∠BDF，所以△CDE≌△BDF（ASA）.

所以BF=CE，DE=DF，故③正確.

因為AE=2BF，所以AC=AE＋CE=3CE=3BF=BH=AB，故④正確.

因為F是直線BF上任意一點，所以DF不一定垂直BF，則DE不一定垂直AC，故②錯誤.

綜上分析可知，選：C.

解題思路：該方法通過構(gòu)造高和延長線來利用三角形的全等性質(zhì)進行推理.通過延長線交點的構(gòu)造，結(jié)合全等三角形的基本性質(zhì)，為學(xué)生面對類似問題提供了一個行之有效的思路.

2 用“截長補短法”構(gòu)造全等三角形

（2024年遼寧省葫蘆島市第六初級中學(xué)八上期末模擬）如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的高，E是△ABC外一點，BE=BA，∠E=∠C，若DE=23BD，AD=15，BD=20，則△BDE的面積是.

解析：在BD上截取BF=DE，連接AF，如圖4所示.

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，則∠ABD+∠CBD=90°.又BD是△ABC的高，則∠C+∠CBD=90°，所以∠ABD=∠C.又∠E=∠C，所以∠ABD=∠E.在△ABF與△BED中，AB=BE，

∠ABD=∠E，

BF=DE，所以△ABF≌△BED（SAS）.

所以S△BDE=S△ABF.

易知S△ABD=12BD·AD=12×20×15=150.又DE=23BD，則BF=23BD，所以S△ABF=23S△ABD=23×150=100.

故S△BDE=100.

解題思路：“截長補短法”常用于涉及相似三角形和全等三角形的場景，主要通過相似或全等的三角形關(guān)系進行推理.此方法不僅幫助學(xué)生厘清了三角形的邊角關(guān)系，還展示了如何從已知條件出發(fā)，通過輔助線的引入簡化問題，并最終通過三角形的全等性質(zhì)求解.教學(xué)中應(yīng)強調(diào)如何巧妙結(jié)合比例關(guān)系和角度關(guān)系來解決幾何問題，激發(fā)學(xué)生對幾何思維的深度理解.

3 用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形

（2024年陜西省安康市漢濱高級中學(xué)八上期中）如圖5，在△ABC中，∠BAC=120°，D是BC的中點，且AD⊥AC，若AC=3，則AB的長為.

解析：延長AD至點E，使DE=AD，連接BE，如圖6.由∠BAC=120°，∠DAC=90°，得∠BAE=∠BAC－∠DAC=30°.

在△BED和△CAD中，BD=CD，

∠BDE=∠CDA，

DE=DA，所以△BED≌△CAD（SAS）.

所以∠BED=∠DAC=90°，BE=AC=3.

故AB=2BE=6.

解題思路：“倍長中線法”是通過引入中線和等長線段的方法來構(gòu)造全等三角形.通過這一方法，學(xué)生可以理解如何利用中線的延長線來巧妙地構(gòu)造全等三角形.在教學(xué)中，可以通過該方法增強學(xué)生對三角形性質(zhì)的敏感性，并引導(dǎo)他們理解輔助線在解決復(fù)雜問題中的關(guān)鍵作用.

4 用“平行線法”構(gòu)造全等三角形

（2024年湖北省荊門市期末模擬）已知△ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE.

（1）若N為CD的中點，連接AN，如圖7，求證：CE=2AN;

（2）若AB⊥BC，延長AB交DE于點M，DB=2，如圖8，則BM=（直接寫出結(jié)果）.

解析：（1）略.由題意可知△ABD和△BCE是等邊三角形，所以可得BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，所以∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，所以∠DBC=∠ABE，所以△ABE≌△DBC（SAS），所以AE=CD；

（2）如圖9，延長AN使NF=AN，連接FC，

因為N為CD中點，所以DN=CN，因為∠AND=∠FNC，所以△ADN≌△FCN（SAS），所以CF=AD，∠NCF=∠AND，因為∠DAB=∠BAC=60°，所以∠ACD+∠ADN=60°所以∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，所以∠BAC=∠ACF，因為△ABD是等邊三角形，所以AB=AD，所以AB=CF，因為AC=CA，所以△ABC≌△CFA（SAS），所以BC=AF，因為△BCE是等邊三角形，可得CE=BC=AF=2AN；

（2）由△ABD是等邊三角形，可知AB=AD=DB=2，∠BAD=60°.在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，可得AC=2AB=22.圖9如圖9，過點E作EH∥AD交AM的延長線于點H，所以∠H=∠BAD=60°.因為△BCE是等邊三角形，則有BC=BE，∠CBE=60°.因為∠ABC=90°，則∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB.于是∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，所以有△ABC≌△HEB（ASA），所以BH=AC=22，AB=EH，從而AD=EH.因為∠AMD=∠HME，所以可得△ADM≌△HEM（AAS），則有AM=HM，可得BM=AM－AB=12AH－AB=12（AB+BH）－AB=12BH－12AB.又BH=22，AB=2，因此BM=22.

解題思路：用“平行線法”構(gòu)造全等三角形的核心在于利用平行線的幾何性質(zhì)，通過平行線的角度關(guān)系和全等三角形的邊角關(guān)系來推導(dǎo)出結(jié)論.在本題中，通過構(gòu)造等邊三角形并利用平行線和角度的關(guān)系，逐步證明相關(guān)三角形全等.通過角度的對等性和邊長的相等性，可以推理得出一系列全等三角形的結(jié)論.教學(xué)時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解平行線的幾何特性，并利用這些特性構(gòu)造出有助于解題的輔助線，進一步提高解決問題策略的多樣性和靈活性.

5 結(jié)語

用輔助線法構(gòu)造全等三角形，確實是解決三角形綜合問題的一種重要且靈活的方法.該方法對學(xué)生的三角形基礎(chǔ)知識的掌握水平、觀察能力及想象能力都提出了較高的要求.在解決這類問題時，首先要深入理解題意，明確題目所給的條件和所求的目標，然后仔細觀察圖形，尋找圖形中的線段、點及內(nèi)部圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，這些聯(lián)系可能是相等的線段、相等的角，也可能是間接的，需要通過添加輔助線來揭示.找到內(nèi)在聯(lián)系后，可以考慮如何添加輔助線來構(gòu)造全等三角形，以確保新構(gòu)造的三角形與原圖中的某個三角形全等.在添加輔助線時，要注意保持圖形的完整性和準確性，避免引入不必要的復(fù)雜性和錯誤.

另外，輔助線法構(gòu)造全等三角形并不是一種孤立的方法，它往往需要與其他數(shù)學(xué)知識和方法相結(jié)合才能發(fā)揮最大的作用.因此，教師在教學(xué)中必須把綜合能力和創(chuàng)新思維作為重要的培養(yǎng)目標，通過在解決問題的過程中靈活運用數(shù)學(xué)知識來不斷提升能力和素養(yǎng).通過不斷的練習(xí)和實踐，學(xué)生可以逐漸掌握輔助線法構(gòu)造全等三角形的技巧和方法，提高解決三角形綜合問題的能力.