例析“平行四邊形”題易錯點及避錯策略

摘要：人教版教材中，“平行四邊形”這一章被安排在八年級下冊.本章中包含了諸多知識點，是初中幾何部分非常基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容，同時也是學(xué)生極易出錯之處.本文中以人教版教材為藍本，探析平行四邊形中的易錯類型，并結(jié)合例題談一談如何有效避免這些錯誤，可為教師知識授新或復(fù)習(xí)鞏固帶來幫助.

關(guān)鍵詞：平行四邊形；性質(zhì)；定理；中位線定理；多邊形

在面對“平行四邊形”這一章的知識點時，由于內(nèi)容多、易混淆，很多學(xué)生掌握得不夠理想.為了解決該問題，教師首先要將本章中易錯之處整理出來，然后各個擊破[1].為此，本文中先對本章的易錯之處進行分類整理，然后結(jié)合易錯例題進行分析，最后結(jié)合教學(xué)目標(biāo)提出相應(yīng)的避錯策略.

1 平行四邊形的易錯類型

縱觀人教版初中“平行四邊形”內(nèi)容，其易錯類型大致包括以下三種.

1.1 解無圖問題時考慮不全面造成漏解

例1在ABCD中，一個角的平分線把一條邊分成3 cm和4 cm兩部分，求這個平行四邊形的周長.

錯解：如圖1所示，設(shè)AE平分∠BAD，BE=3 cm，EC=4 cm.

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.

∴∠DAE=∠AEB.

∴∠AEB=∠BAE.

∴AB=BE=3 cm=CD.

∵EC=4 cm，

∴BC=AD=3+4=7（cm）.

∴ABCD的周長=2×（3+7）=20（cm）.

分析：本題沒有給出相應(yīng)的圖形，需要學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形.然而，學(xué)生習(xí)慣性地認(rèn)為BE短，EC長，于是非常自然地畫出圖1.事實上，BE和EC兩條邊中哪邊是3 cm或4 cm并未明確，所以應(yīng)結(jié)合題意畫出兩種情況.總而言之，在解題時切勿因思維定勢而致錯，即不要犯“我以為”的錯誤.

1.2 不能正確判定平行四邊形

例2在ABCD中，如圖2所示，兩條對角線交于點O，E，F(xiàn)是AC上的兩點，連接DE，BF，DF，BE，當(dāng)點E，F(xiàn)滿足下列哪個條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（）.

A.OE=OF

B.DE=BF

C.∠ADE=∠CBF

D.∠ABE=∠CDF

易錯分析：在應(yīng)用平行四邊形的判定方法時，要有效明晰它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，做到根據(jù)已知條件合理、靈活地選擇判定方法，不能憑主觀判定一個四邊形是平行四邊形.本題容易誤用平行四邊形的判定方法，從而出現(xiàn)選A，C，D的錯誤.

1.3 不能正確構(gòu)造或證明三角形的中位線

例3如圖3所示，在△ABC中，M是BC邊的中點，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，AB=12，AC=18，求DM的長.

易錯分析：在遇到中點時，由于一些學(xué)生對“中點”這一關(guān)鍵詞的敏感程度不夠，導(dǎo)致無法充分發(fā)揮關(guān)鍵詞的指導(dǎo)作用.可能也有一部分學(xué)生會延長BD與AC相交于點E，然后根據(jù)三角形中位線定理得到DM=3.但是，如何證明DM是三角形的中位線，很多學(xué)生并非十分了解.

2 平行四邊形易錯點的避錯策略

2.1 激活思維，多思考，打破思維定勢，減少“我以為”的錯誤發(fā)生頻率如例1的錯解，就是犯了“我以為”的錯誤.而為何會犯這一類錯誤，究其根本就是思維不夠靈活，思維定勢非常嚴(yán)重.通俗來講，就是學(xué)生習(xí)慣認(rèn)為是怎樣就是怎樣.舉例說明，要證明一個三角形是直角三角形，學(xué)生的思路馬上會向證明角為90°靠近.其實，還有很多方法，如利用勾股定理的逆定理、用代數(shù)法證明兩直線互相垂直、圓內(nèi)直徑所對的圓周角是直角等.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，可從以下幾個方面打破思維定勢，激活學(xué)生的思維：

首先，多思考，多質(zhì)疑.就如例1中告知的“一個角的平分線把一條邊分成3 cm和4 cm兩部分”，應(yīng)對自己的習(xí)慣性判定作出更多思考，如“是AE=3 cm，ED=4 cm嗎？”“是否有其他的情況，如AE=4 cm，ED=3 cm呢？”等.質(zhì)疑是思考的外在體現(xiàn)，是破解思維定勢的重要方法，也是數(shù)學(xué)思維能力得到提升的主要途徑[2].

其次，對題中的關(guān)鍵詞及圖中的關(guān)鍵信息要敏感.例如，條件“∠ABC=90°，BE將∠ABC分成大小為1∶2的兩個角”中出現(xiàn)了“倍分”，那么要清楚是否已經(jīng)交代了是怎樣倍分，即哪個角是另一個角的兩倍.若沒有交代清楚，則不能受思維定勢的影響犯“我以為的錯誤”.應(yīng)該要知道其中包括哪幾種情況，并且要對這幾種情況分別畫圖分析.

因此，例1的正解如下：

例1正解：分如下兩種情況討論.

（1）如例1錯解部分.

（2）如圖4，AE平分∠BAD，BE=4 cm，EC=3 cm，同（1）得AB=BE=4 cm.

故ABCD的周長=2×（4＋7）=22（ cm）.

綜上所述，ABCD的周長為20 cm或22 cm.

2.2 靈活選用平行四邊形的判定解題

由于平行四邊形的判定非常多，學(xué)生極易搞混淆.所以，想要達到靈活選用平行四邊形的判定解題的效果，建議分情況考慮：

（1）如果題目的條件更傾向于“角”，那么不妨從“兩組對角相等的四邊形是平行四邊形”出發(fā)，只需證明兩組對角相等即可.

（2）如果題目給出的條件更傾向于“對角線互相平分”，那么可考慮采用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”進行證明.

（3）如果條件中有一組對邊平行，那么可沿兩條路線出發(fā)：其一，證明該組對邊相等；其二，證明另一組對邊平行.

（4）如果條件中有一組對邊相等，那么也有兩種思路可以證明：其一，證明該組對邊平行；其二，證明另一組對邊相等.

根據(jù)以上情況分析，例2的正解應(yīng)為選項B.

2.3 知其然，更要知其所以然，變被動為主動

在例3中，學(xué)生由于未透徹理解三角形的中位線定理，沒有搞清楚“其所以然”，因此即使作出了輔助線，也不能正確得到“DM為什么是三角形的中位線”.本章中的定理非常多，教師在教學(xué)時不僅要傳授知識，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生探究“為什么是這樣”.為此，教師要講透定理的“來龍去脈”，甚至可以讓學(xué)生自己畫圖說一說、證一證.

例3的正確解法應(yīng)如下：

例3正解：如圖5，延長BD，與AC交于點E.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD.

又AD=AD，

∠ADB=∠ADE=90°，

∴△ABD≌△AED.

∴AE=AB=12，BD=DE.

∴EC=AC-AE=18-12=6.

∵M是BC的中點，

∴DM為△BCE的中位線.

∴DM=12EC=12×6=3.

從以上的解題過程可以看出，DM為△BCE的中位線是通過證明得到的，而不是“我以為”所得到的結(jié)論.在證明過程中，M是BC的中點是題目已知條件，但D是BE的中點屬于未知條件，應(yīng)該證明.解題時，先證明△ABD≌△AED，然后得到BD=DE，于是就得到了D是BE的中點.這就是“知其所以然”的直接體現(xiàn)，而不是主觀強行認(rèn)為它是中位線它就是中位線.所以，這種主觀強行規(guī)定或“我以為”的不良數(shù)學(xué)品質(zhì)或習(xí)慣應(yīng)該摒棄.

綜上所述，初中生的邏輯思維能力還存在不足，在解題過程中表現(xiàn)得尤為明顯.作為一線初中數(shù)學(xué)教師，首先要認(rèn)清這一基本事實，然后結(jié)合教學(xué)目標(biāo)采用適當(dāng)?shù)姆椒◣椭鷮W(xué)生減少失誤.這樣一來，學(xué)生才能更牢固地掌握知識點，才能在日后有更高效的解題實力或表現(xiàn).

參考文獻：

[1]曹松峰.平行四邊形易錯點剖析[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2022（4）：1920.

[2]王曉華.例析易錯點 助力于解題[J].初中生世界，2020（Z3）：6162.