基于“推理能力”發(fā)展的數(shù)學實驗教學探索

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出，數(shù)學推理能力屬于數(shù)學核心素養(yǎng)的范疇，是學生在數(shù)學學習過程中必須具備的能力，且貫穿于學生學習的整個過程.在課堂教學中如何發(fā)展學生的推理能力顯得尤為關(guān)鍵.而數(shù)學實驗教學作為一種新穎的教學方式，具備工具性、操作性、情境性、探究性等特點，能夠更好地助力學生推理能力的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)學實驗；推理能力；圓

1 問題提出

2014年，我國教育部在《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》里首次提出“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)”，其中涵蓋了邏輯推理素養(yǎng).推理能力作為關(guān)鍵能力的一種，在數(shù)學核心素養(yǎng)的落實過程中發(fā)揮著一定的作用[1].由于數(shù)學具有獨特的抽象性和嚴謹性，當前部分學生的推理能力較為薄弱，合情推理能力與演繹推理能力相較更為薄弱，二者能力的發(fā)展并不平衡[2].數(shù)學實驗教學是指在明確的問題情境之中，學生借助實物或者計算機所提供的教學技術(shù)來進行數(shù)學實驗.在實驗工具的輔助下，學生通過發(fā)現(xiàn)問題、探究問題以及解決問題，經(jīng)由研究性學習的方式，從而獲得數(shù)學知識[3].與傳統(tǒng)教學相比，數(shù)學實驗教學具有工具性、操作性、情境性、探究性的特點[4]，如何結(jié)合數(shù)學實驗的特點來發(fā)展推理能力是值得思考的問題.因此，本文中以數(shù)學實驗教學為載體，研究如何通過數(shù)學實驗教學來培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力.

2 基于推理能力的數(shù)學實驗教學設(shè)計

2.1 實驗情境

硬幣是日常生活中的常見物件，當它在桌子上沿著直線滾動時，用數(shù)學的眼光來看，可將其看成圓沿直線滾動.若將兩枚相同的硬幣放在桌面上，固定硬幣1不動，硬幣2繞著硬幣1滾動一周，那么在這個過程中硬幣2自轉(zhuǎn)了幾周？這個問題容易產(chǎn)生誤解，以為硬幣2在滾動過程中也會自轉(zhuǎn)一周.然而，經(jīng)過嚴謹?shù)臄?shù)學分析可以發(fā)現(xiàn)，這個問題并非如此簡單.硬幣滾動過程中所涉及的數(shù)學知識及結(jié)論，值得深入思考與探討.

問題1硬幣繞硬幣滾動的過程，用數(shù)學的眼光來看，是什么幾何圖形進行怎么樣的運動？

問題2數(shù)學問題的探究過程通常由易到難，圓繞圓的運動路徑比較難，那么圓在什么圖形上的運動更簡單？如何設(shè)計研究思路？

思路設(shè)想：為了解決上述問題，本文中先設(shè)置了實驗一、實驗二作鋪墊，然后進行圓在圓外滾動實驗三的探究.這樣由日常生活中的現(xiàn)象引入，通過問題串的引領(lǐng)將其梯度“數(shù)學化”，轉(zhuǎn)化為圓的運動軌跡問題，將圓沿圖形無滑動的滾動分為三種情形——直線、正多邊形、圓，分析探究滾動過程中不同情形的滾動路徑、路程問題.其中，圓在直線上滾動是較為簡單的一種情形，對此類情形的探究為后面兩種情況的探究作好了鋪墊，降低了探究圓沿正多邊形外部滾動時的難度.同時，由探究圓沿正多邊形外部滾動的情況聯(lián)想到圓沿圓外部滾動的情況，培養(yǎng)學生直觀想象與合情推理能力.

2.2 兩個輔助實驗探究

數(shù)學實驗一：圓在直線上滾動.

（1）實驗工具：圓在直線上滾動的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實驗任務(wù)：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿直尺運動，觀察圓心運動路徑.

②用GeoGebra軟件進行驗證，將圓的半徑設(shè)置為r=1 cm，觀察圓的運動路徑，并記錄圓滾動1周、2周時圓心的運動軌跡長度.

③用GeoGebra軟件進行驗證，將圓的半徑設(shè)置為r=2 cm，重復(fù)上述步驟②.

④請你猜想圓繞直線運動時圓心運動路徑長度的計算公式.

⑤將圓的半徑設(shè)置為任意數(shù)值，觀察圓心的運動路徑并記錄圓滾動任意周時圓心的運動軌跡長度.

（3）實驗現(xiàn)象分析：

①當r=1 cm或r=2 cm時，圓的運動路徑和圓心的運動路徑均為一條直線，則可用圓心的運動路徑來代表圓的運動路徑.

②當r=1 cm時，圓滾動1周時圓心的運動路徑長度大約為6.28 cm，滾動2周時圓心的運動路徑長度大約為12.4 cm.當r=2 cm時，圓滾動1周的路徑長度大約為12.5 cm，滾動2周的路徑長度大約為24.12 cm.由此可猜想，圓在直線上滾動的路徑即為圓的周長乘圓滾動時自轉(zhuǎn)的圈數(shù)，若等式成立，則可以由圓心運動路徑長度來推得圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù).

實驗分析：（i）硬幣實物操作，學生分組合作完成（操作中無滑動的滾動較難做到，數(shù)據(jù)記錄誤差較大）.（ii）通過GeoGebra軟件引導學生直觀地探究圓沿直線運動的規(guī)律.其中通過任務(wù)①②發(fā)現(xiàn)圓的運動路徑的形狀與圓心運動路徑形狀一致，通過任務(wù)③④，探究圓半徑與圓心運動路徑長度之間的關(guān)系，并猜想圓心運動路徑長度的計算公式；任務(wù)⑤讓學生自己嘗試設(shè)置不同的圓半徑長與滾動圈數(shù)（了解軟件應(yīng)用過程及原理、會分析實驗數(shù)據(jù)并作出合情推理，似乎少了物理實驗實物操作的味道）.

（4）實驗成果：

結(jié)論：如圖1，設(shè)圓的半徑為r，圓在直線上滾動時，直線與圓相切，則圓心到直線的距離為定長r，圓心滾動的路徑CC1等于線段AB的長度，即CC1=AB，故圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)a=CC12πr.

數(shù)學實驗二：圓在正多邊形外部滾動.

（1）實驗工具：圓在正多邊形外部滾動的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實驗任務(wù)：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿三角形尺子、正方形尺子外部運動，觀察圓心運動路徑.

②用GeoGebra軟件進行驗證，將正三邊形的邊長設(shè)置為3 cm，圓的半徑設(shè)置為r=1 cm，觀察圓繞正三角形外部滾動一周圓心的運動路徑，并觀察其路徑形狀的特點，計算出圓繞正三角形外部滾動一周圓心運動路徑長度和圓自轉(zhuǎn)圈數(shù).

③用GeoGebra軟件進行驗證，將圓的半徑設(shè)置為r=2 cm、正三邊形的邊長設(shè)置為4 cm、正方形的邊長設(shè)置為4 cm，重復(fù)上述步驟②.

④用GeoGebra軟件進行驗證，將正多邊形的邊數(shù)、邊長和圓半徑設(shè)置為任意數(shù)值，重復(fù)上述步驟.

（3）實驗現(xiàn)象分析：

①通過分析實驗過程的圖示（如圖2、圖3）可知，圓在正多邊形上運動時，其圓心軌跡為正多邊形的形狀加上圓弧，圓弧部分加起來正好能拼成一個圓形.

②通過對運動軌跡的分析，可知圓在正多邊形頂點處滾動自轉(zhuǎn)合起來的部分為一周，根據(jù)實驗一的結(jié)論再計算出直線部分的自轉(zhuǎn)圈數(shù)，相加即可得出圓在正多邊形外滾動的自轉(zhuǎn)圈數(shù).

實驗分析：在實驗中運用的GeoGebra軟件能夠更好地幫助學生直觀感受運動路徑，分析路徑構(gòu)成部分，測量圓心路徑長度，并以此發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（4）實驗成果：

結(jié)論：圓在正多邊形外部滾動，設(shè)正n邊形的周長為m，當圓沿正多邊形邊滾動時，圓與邊相切，圓心路徑即為線段和，路徑長即為周長m.

如圖4，單獨分析圓在頂點處的滾動情況.設(shè)∠NOP=α°（0lt;αlt;180），O為圓與邊的切點，∠CON=∠C1ON=90°，易得∠COC1=（180-α）°，圓心滾動的路徑長度等于以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓弧CC1的弧長，即CC1=（180-α）180π×OC.

設(shè)圓的半徑為r，則圓繞正n邊形公轉(zhuǎn)一周圓心所經(jīng)過的路徑l=m+2πr，圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)a=m2πr+1.

更一般地，設(shè)凸n邊形的周長為m，圓的半徑為r，則圓繞凸n邊形公轉(zhuǎn)一周圓心所經(jīng)過的路徑長為l=m+2πr，圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)a=m2πr+1.

2.3 問題實驗探究

數(shù)學實驗三：圓在圓外部滾動.

（1）實驗工具：圓在圓外部滾動的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實驗任務(wù)：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿圓形尺子外部運動，觀察圓心運動路徑.

②用GeoGebra軟件進行驗證，將滾動圓的半徑分別設(shè)置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設(shè)為R=1 cm，觀察滾動圓繞定圓公轉(zhuǎn)一周的圓心運動路徑并觀察其路徑形狀的特點，計算出滾動圓繞定圓公轉(zhuǎn)一周圓心路徑長度.當r=1 cm時，觀察滾動圓繞定圓公轉(zhuǎn)一周時，自轉(zhuǎn)了幾周.

③用GeoGebra軟件進行驗證，將滾動圓的半徑分別設(shè)置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設(shè)為R=1.5 cm，重復(fù)上述步驟②.

④用GeoGebra軟件進行驗證，將滾動圓的半徑分別設(shè)置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設(shè)為任意數(shù)值，重復(fù)上述步驟②.

（3）實驗現(xiàn)象分析：

①通過對實驗現(xiàn)象的觀察可知，圓心在圓外運動的軌跡仍為圓.

②通過對運動軌跡的分析，可以看出圓繞圓一周自轉(zhuǎn)的圈數(shù)與滾動圓、定圓的半徑相關(guān)，即自轉(zhuǎn)圈數(shù)=定圓半徑滾動圓半徑.如圖5、圖6.

圓在圓外滾動情形一：

圓在圓外滾動情形二：

實驗分析：實驗三是在實驗二的基礎(chǔ)上進行的，當正多邊形的邊數(shù)趨向無窮時，正多邊形趨近于圓，則圓繞定圓滾動的路徑可看作線段部分趨近于無，只剩下圓.通過GeoGebra軟件幫助學生進行抽象與直觀之間的順利轉(zhuǎn)化，加深印象.

（4）實驗成果：

結(jié)論：設(shè)滾動圓圓心為點O1，半徑為r，定圓圓心為O，半徑為R.

方法一：根據(jù)實驗二的推論，當正n邊形邊數(shù)趨向于無窮大時，這個正凸n邊形就無限趨向于一個圓，則圓繞圓形公轉(zhuǎn)一周圓心所經(jīng)過的路徑l=m+2πr，其中m=2πR，則圓心的路徑l=2π（r+R），圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)a=2π（r+R）2πr=r+Rr.

方法二：當滾動圓繞定圓公轉(zhuǎn)一周時，兩圓之間保持相切的位置關(guān)系，則兩圓心之間的距離保持r+R不變，滾動圓圓心運動路徑即為一個以定圓圓心O為圓心，r+R為半徑的圓，故滾動圓圓心路徑長為l=2π（r+R），圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)為a=2π（r+R）2πr=r+Rr.

因此，從數(shù)學的角度進行計算可以發(fā)現(xiàn)，有兩枚相同的硬幣，即它們的半徑相同，此時固定硬幣1不動，硬幣2繞著硬幣1轉(zhuǎn)動一周，那么在這個過程中硬幣2自轉(zhuǎn)的周數(shù)a=2π（R+R）2πR=R+RR=2.

3 實驗延伸

任務(wù)：利用GeoGebra軟件探究圓在圓的內(nèi)部滾動時圓心路徑形狀及長度、自轉(zhuǎn)圈數(shù).

開放性問題：在圓繞定圓滾動過程中，滾動圓上的一點到定圓圓心之間的距離變化有何規(guī)律？

提示：利用GeoGebra軟件，以滾動圓上一點與定圓圓心構(gòu)造線段，以時間為x軸、線段長度為y軸建立平面直角坐標系，繪制圖象.

實驗分析：在上述實驗探究中，運用了特殊到一般的方法.經(jīng)過一系列嚴謹?shù)膶嶒灢襟E和深入的分析思考，最終得出了圓在正多邊形外滾動圈數(shù)與路徑長度的普遍結(jié)論.學生完完全全地親歷了一個完整的探究過程，從問題的提出，到實驗的設(shè)計與實施，再到數(shù)據(jù)的收集與分析，以及最后的結(jié)論得出，每一個環(huán)節(jié)都讓學生深度參與其中.通過再一次對實驗延伸的問題的探究，促使學生獨立完成整個體驗過程.這樣的方式能夠極大地促進學生解決問題能力的發(fā)展，使他們在面對各種復(fù)雜問題時，能夠更加從容地運用所學知識和方法去分析、去解決.

4 實驗反思

4.1 數(shù)學實驗?zāi)芙档蛯W習數(shù)學復(fù)雜知識的難度

初中階段的學生雖然已經(jīng)具備了一定的抽象能力，但是對數(shù)學上一些更為抽象的概念、定義、性質(zhì)等的認識還是需要借助一定的實物.相比于傳統(tǒng)教學，數(shù)學實驗的教學更大的優(yōu)勢體現(xiàn)在可以使抽象的數(shù)學知識借助直觀的數(shù)學工具體現(xiàn)出來.通過操作直觀工具，不斷嘗試，將抽象的數(shù)學具體化，降低學習難度.對探究過程而言，每一次嘗試都是為得出最終的結(jié)論作鋪墊.通過數(shù)學實驗將推理任務(wù)中的對象直觀展現(xiàn)出來，能更好地辨析各個對象之間的相互關(guān)系，將復(fù)雜的數(shù)學任務(wù)轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學任務(wù)，于是可以認為數(shù)學實驗教學能有效降低邏輯推理過程中的難度和復(fù)雜性.由此，讓學生體驗到數(shù)學探究過程并沒有想象中的那么難，增加推理的信心，繼而在未來的學習中積極主動地去進行推理.

4.2 數(shù)學實驗?zāi)軒椭鷮W生積累數(shù)學探究活動的經(jīng)驗

數(shù)學推理能力的培養(yǎng)過程中，在教學活動中逐步形成基本活動經(jīng)驗至關(guān)重要.數(shù)學實驗教學獨具感知性與體驗性特征，與理性范疇的數(shù)學推理能力緊密相連.基本活動經(jīng)驗是數(shù)學素養(yǎng)生長和發(fā)展的基石，其來源除了教師的間接經(jīng)驗傳授，更多的是學生通過親身實驗所積累的直接經(jīng)驗.學生需運用多種感官參與數(shù)學探究過程，不光動腦，更要動手，在“做數(shù)學”的過程中主動體驗數(shù)學內(nèi)部存在的邏輯性和數(shù)學知識的生長過程，并在不斷實踐中積累數(shù)學探究活動的經(jīng)驗，為推理能力的提升提供經(jīng)驗基礎(chǔ).

參考文獻：

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