理解概念本質(zhì)創(chuàng)設(shè)創(chuàng)新問(wèn)題避免知識(shí)誤區(qū)

基本概念是基本技能的生成之本，數(shù)學(xué)思想方法的形成更離不開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)概念的深入理解.所以，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)基本概念的學(xué)習(xí).多角度理解數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)新設(shè)問(wèn)規(guī)避模式化問(wèn)題，讓學(xué)生少點(diǎn)“想當(dāng)然”，多些思維理解.學(xué)生常常感覺(jué)概念題\"難\"，往往是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)過(guò)程中還沒(méi)有弄清楚概念而匆匆去落實(shí)技能.沒(méi)有落實(shí)好數(shù)學(xué)概念，往往就難以應(yīng)付靈活多變的創(chuàng)新設(shè)問(wèn).所以，教學(xué)中可以通過(guò)題目的不同設(shè)問(wèn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解[1].

1 原題呈現(xiàn)

（2023年順德區(qū)八年級(jí)期末考）關(guān)于x的分式方程x+1x-1-4x2-1=1的增根為（）.

A.1B.-1C.±1D.不存在

2 錯(cuò)因溯源

2.1 答題情況

這是一道常見(jiàn)的關(guān)于分式方程增根的檢驗(yàn)問(wèn)題，是八年級(jí)常考的一類題型.從以往分式方程的考查來(lái)看，這種題型問(wèn)題不大，但和以往考查方式不同，以往常以解答題的形式出現(xiàn)，也就是先解分式方程然后對(duì)所解得的根進(jìn)行檢驗(yàn).因此，解分式方程以及檢驗(yàn)的步驟學(xué)生早已爛熟于心，但本次命題者把分式方程的考查方式轉(zhuǎn)變?yōu)檫x擇題，由主觀題變?yōu)榭陀^題，對(duì)很多學(xué)生而言難度會(huì)隨之下降，可考查的結(jié)果卻令人大吃一驚.全區(qū)參加考試的學(xué)生選擇選項(xiàng)A的占38.77%，選擇選項(xiàng)C的占46.24%，選擇選項(xiàng)B和D的也各占7%左右，正確答案是選項(xiàng)A，也就是說(shuō)能做對(duì)的學(xué)生只有三分之一多一點(diǎn)，這和做解答題時(shí)的得分率天壤之別.是什么原因讓學(xué)生在解分式方程時(shí)沒(méi)有困難，檢驗(yàn)也沒(méi)有困難，但到了選擇題卻反差如此之大呢？

2.2 答題分析

為了解答心中的疑惑，考完后筆者專門(mén)找了部分做對(duì)和做錯(cuò)的學(xué)生了解情況.選擇選項(xiàng)C的學(xué)生，大部分的解法是這樣的；因?yàn)榉质椒匠逃性龈?，所以方程無(wú)意義，即x2-1=0，所以x=±1，因此答案選擇了選項(xiàng)C.學(xué)生的回答是“能令分母為零的解就是方程的增根”，因此，用x2-1=0去求解.而選擇正確選項(xiàng)A的解法是這樣的：

解：方程兩邊同乘x2-1，得（x+1）2-4=x2-1，解得x=1.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x2-1=0，所以x=1是原方程的增根.

從學(xué)生的回答中知道解題時(shí)應(yīng)該按照老師平時(shí)的要求先解方程，得出解后再進(jìn)行檢驗(yàn)就得到選項(xiàng)A.

2.3 錯(cuò)因分析

為何會(huì)選擇選項(xiàng)C呢？從這類學(xué)生的答題可以看出，學(xué)生認(rèn)為只要分母為零，就是方程的增根，本質(zhì)上是對(duì)增根的概念認(rèn)識(shí)不清晰.其實(shí)，單從概念的字面上去理解，增根首先應(yīng)是根，只不過(guò)在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程中，通過(guò)等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為整式方程的根，而此根不滿足分式方程，從而有了增根.在此題中，x=-1并不是整式方程的解，因此也就不能稱之為增根.

有如此之多的學(xué)生沒(méi)理解好概念，這種因素的形成是學(xué)生對(duì)概念的理解不到位呢？還是教師上課出現(xiàn)了偏差呢？這令筆者想起了有一段時(shí)間在學(xué)校參與的幾次視導(dǎo)課活動(dòng)，其中有兩節(jié)視導(dǎo)課的課題都是北師版八年級(jí)下冊(cè)第五章“分式與分式方程”的新授課“分式方程”，這兩節(jié)課在課堂知識(shí)完成后授課教師都在總結(jié)增根時(shí)出現(xiàn)了這樣的結(jié)論：令分母等于0的數(shù)是分式方程的增根.當(dāng)時(shí)評(píng)課教師指出了這樣的總結(jié)欠妥，會(huì)很容易讓學(xué)生只關(guān)注是否令分母為零，而忽略根的本身，但老師們不以為然，覺(jué)得這樣的總結(jié)適合學(xué)生理解，便于學(xué)生在解題中的應(yīng)用.很明顯，教師的總結(jié)是有問(wèn)題的，既可能是教師的理解出現(xiàn)了偏差，也可能是教師只注重知識(shí)的得出而忽略了知識(shí)的來(lái)源.但無(wú)論基于上述哪一種情況，這樣的教學(xué)，對(duì)于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)而言很難不出現(xiàn)問(wèn)題.

3 概念理解

3.1 概念重現(xiàn)

筆者翻閱了北師版和人教版教材的概念表述，北師版教材是這樣表述關(guān)于增根的檢驗(yàn)的：“產(chǎn)生增根的原因是我們?cè)诜匠痰膬蛇呁肆艘粋€(gè)使分母為零的整式，檢驗(yàn)通常只需檢驗(yàn)所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了.”人教版則是這樣去表述關(guān)于增根的檢驗(yàn)的：“將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是分式方程的解，否則這個(gè)解不是原分式方程的解.”兩個(gè)版本的概念描述雖然在文字的呈現(xiàn)上有所不同，但都可以清晰看到，要將“所得的根”或“所得的解”代入到分式的分母中，不同的是，人教版強(qiáng)調(diào)了代入到最簡(jiǎn)公分母中，而北師版沒(méi)有強(qiáng)調(diào).很多教師在講授或?qū)W生在理解時(shí)，往往注重了是否令分母為零而忽略了“所得的根”這一重要前提.如果是在解分式方程的考查中，學(xué)生很自然會(huì)考慮把所得的解代入到分母中去檢驗(yàn)，因此錯(cuò)的機(jī)會(huì)會(huì)小很多，而在選擇題中，由于給出了答案選項(xiàng)，就如本題中C選項(xiàng)就恰好都滿足了令分母為零，對(duì)概念理解的“淺層化”，錯(cuò)誤就難以避免了.

3.2 增根與無(wú)解

談到分式方程，增根和無(wú)解這兩個(gè)概念是無(wú)法避開(kāi)的.在很多學(xué)生看來(lái)，增根就意味著方程是無(wú)解的，那增根就是無(wú)解嗎？答案是否定的.分式方程無(wú)解是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等.它包含兩種情形：（1）原方程化去分母后的整式方程無(wú)解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，此解是原方程的增根，從而原方程無(wú)解.教學(xué)中，教師可以提出如下創(chuàng)新問(wèn)題幫助學(xué)生理解概念：

例1若關(guān)于x的方程xx-1-1=m（x-1）（x+2）有增根，求m的值.

分析：若分式方程有增根，則只有x=1和x=-2兩種可能，是否只要分母為零就是增根呢？顯然不是的，我們還要判斷轉(zhuǎn)化后的整式方程是否有解.所以依舊按照解分式方程的步驟，先去分母，得到整式方程之后再判斷.

解：去分母，得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m.

化簡(jiǎn)，得x=m-2.

情況一：當(dāng)x=1時(shí)，m=3.

將m=3代入原方程，得xx-1-1=3（x-1）（x+2），解方程得x=1.

經(jīng)檢驗(yàn)知，x=1是原方程的增根.

情況二：當(dāng)x=-2時(shí)，m=0.

將m=0代入原方程，得xx-1-1=0.

去分母得，x-（x-1）=0，化簡(jiǎn)得1=0，所以該方程無(wú)解.

故原分式方程無(wú)增根.

綜上所述，當(dāng)m=3時(shí)，方程有增根.

通過(guò)例1可以發(fā)現(xiàn)，如果分式方程在去分母后變形而成的整式方程是一元一次方程，它的解恰能使分式方程最簡(jiǎn)公分母為零，那么這個(gè)根就是增根，又由于一元一次方程的根往往只有一個(gè)，所以這時(shí)的原分式方程就無(wú)解；若所變形而成的整式方程是一元二次方程時(shí)，情形就不一樣了.

例2解方程：2xx+1-2x2+x=x+1x.

解：方程兩邊同乘x2+x，得2x2-2=（x+1）2.

解得x1=3，x2=-1.

經(jīng)檢驗(yàn)，知x1=3是原方程的根；x2=-1是原方程的增根.

由此例可以看出，若將一個(gè)分式方程去分母后得到的整式方程是一元二次方程，則這個(gè)一元二次方程的“解”可能是原方程的增根，也可能就是原方程的根.這意味著有增根的分式方程不一定無(wú)解.

可以想象得到，如果教師對(duì)概念的理解再深一層，在教學(xué)時(shí)多設(shè)計(jì)一些像例1例2這樣的創(chuàng)新問(wèn)題，對(duì)學(xué)生理解概念一定會(huì)有更大的幫助.

4 教學(xué)啟發(fā)

4.1 深入理解概念

教師需要不斷加深對(duì)教材知識(shí)的深刻理解，研究概念的本質(zhì)屬性，教學(xué)上不要局限于概念的應(yīng)用，如本文中提及的分式方程的增根問(wèn)題，不但要讓學(xué)生知道需要驗(yàn)根，還要讓學(xué)生理解為什么需要驗(yàn)根，這種驗(yàn)根并不是簡(jiǎn)單地檢驗(yàn)計(jì)算有無(wú)粗心、錯(cuò)漏，而是對(duì)解法依據(jù)的完善與檢查，它是必不可少的步驟，也是數(shù)學(xué)科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w現(xiàn).上升到這樣的高度來(lái)幫助學(xué)生理解增根的概念，不只是訓(xùn)練了分式方程增根問(wèn)題的求解，更是對(duì)概念的深刻理解以及學(xué)科素養(yǎng)的熏陶.

4.2 加強(qiáng)問(wèn)題創(chuàng)新

很多教師對(duì)教材的研讀還停留在學(xué)生視角，問(wèn)題設(shè)計(jì)停留在以知識(shí)的獲得為目的、以知識(shí)運(yùn)用為方向上.這樣的設(shè)計(jì)看似尊重了教材，實(shí)質(zhì)上這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)和解決還停留在“淺表”層，沒(méi)有從根本上發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，沒(méi)有達(dá)到核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目的.提出問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方式，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題然后主動(dòng)地解決問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生理性思維、價(jià)值歸屬等的重要體現(xiàn).因此，教師在教授完概念和解題后，還應(yīng)繼續(xù)深入研究，不但要探究解法，更要探究其隱藏的教學(xué)價(jià)值.如例1和例2的教學(xué)中，既鞏固了分式方程解法的基本知識(shí)，還訓(xùn)練了學(xué)生對(duì)增根、無(wú)解等概念的理解和應(yīng)用，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也鍛煉了他們整體分析問(wèn)題的能力，使學(xué)生感受到知識(shí)之間的聯(lián)系，從而提升數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)涵.

4.3 善用錯(cuò)誤資源

很多教師在教學(xué)上喜歡用示范性教學(xué)，希望通過(guò)示范來(lái)引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí).實(shí)際上，在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生也會(huì)出現(xiàn)很多錯(cuò)解和錯(cuò)題，錯(cuò)題作為一種寶貴的教學(xué)資源，教師要積極開(kāi)發(fā)和利用.學(xué)生的每一個(gè)錯(cuò)誤表象背后都是學(xué)生對(duì)概念理解的誤區(qū)，教師不要急著否認(rèn)和糾正學(xué)生的錯(cuò)，要鼓勵(lì)他們深入思考、開(kāi)展探究，從“糾錯(cuò)”到“究錯(cuò)”挖掘出導(dǎo)致解答出現(xiàn)謬誤背后的原因或原理.這樣不但能使他們的探究能力和思維水平得到發(fā)展，而且可以培養(yǎng)他們求真求實(shí)的科學(xué)精神，從而實(shí)現(xiàn)錯(cuò)題資源教育價(jià)值的最大化[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]馬芬.理解概念抓本質(zhì) 規(guī)避刷題模式化[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2021（23）：23.

[2]蒲榮飛.一道錯(cuò)題引發(fā)的深入思考和拓廣探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2022（1）：3436.