單元整體視角下的復習課教學實踐與反思

Z單元整體視角下的復習課教學實踐與反思課題信息：江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度立項課題“培育學生系統(tǒng)思維的初中數(shù)學章統(tǒng)領課教學研究”，課題編號為D/2021/02/24；南京市重點教科研課題“指向學生思維生長的初中數(shù)學章起始課教學研究”，立項編號為2021NJJK14Z19.

南京市浦口區(qū)實驗學校許盈盈

南京市浦口實驗學校徐大明

摘要：復習課是數(shù)學教學活動中的重要環(huán)節(jié)，不僅承載著梳理舊知的功能，還包含了舊知內化升華的過程，既要“溫故”也要“知新”.本文中以“探索四邊形全等的條件”一課為例，在新知探索過程中復習三角形全等的內容，創(chuàng)新性地創(chuàng)設復習課的問題情境，以知識生長、策略優(yōu)化和結構搭建三個維度為實施路徑，引導學生在新知探索過程中感受知識之間的前后關聯(lián)，一脈相承.

關鍵詞：整體視角；復習課；四邊形全等；結構

數(shù)學教學整體觀就是加強數(shù)學內部、學科之間、學科和現(xiàn)實之間的聯(lián)系，把數(shù)學知識置身于大背景之中，先“就事論事”再縱橫捭闔.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》，在教學建議部分提出教學內容是落實教學目標、發(fā)展學生核心素養(yǎng)的載體.在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化數(shù)學知識體系，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關聯(lián)[1].

單元整體視角下的初中數(shù)學復習課要求在教學過程中始終貫徹基本觀念、歸納基本方法，形成基本路徑.復習課中教師需彌補課時教學時內容碎片化的不足，從整體上綜合協(xié)調知識各要素之間的關系，將教學活動的各步驟和各環(huán)節(jié)，都放置到單元學習的大系統(tǒng)中加以統(tǒng)籌，加強核心概念的系統(tǒng)化和核心知識的結構化.本文中以“探究四邊形全等的條件”一課為例，對整體視角下復習課的教學進行探索，供同行研討.

1 教材分析

“全等三角形”是蘇科版八年級上冊第1章內容，本章從全等圖形的概念出發(fā)，引入全等三角形的定義，并在探究過程中發(fā)現(xiàn)三角形全等的條件，通過圖形的運動來感悟全等三角形的性質.“全等三角形”這一章的教學重點是探究三角形全等的條件，學生在探索三角形全等的條件的過程中，經歷觀察、制作、畫圖、猜想等活動，從中體會分析問題的方法，積累了一定的數(shù)學活動經驗.“探索四邊形全等的條件”是全等三角形知識內容的拓展，本節(jié)課既是對所學三角形全等內容的提升，也是對這一章知識體系的升華.

2 教學片段

2.1 重溫舊知，歸納方法

師：關于全等三角形我們研究了哪些內容？還可以研究哪些類似的問題？

學生：已研究了定義、性質、判定，還可以研究特殊三角形全等，四邊形全等.

師：今天我們將眼光聚焦到四邊形全等的問題上.你能給四邊形全等下定義嗎？

生：兩個能完全重合的四邊形是全等四邊形.

師：你是如何想到的？

生1：全等圖形的定義是“能夠完全重合的圖形叫做全等圖形”，四邊形也是圖形的一種.

生2：類比三角形全等.

設計意圖：通過回顧和類比，引出本節(jié)課研究主題，引導學生建立知識之間的聯(lián)系.利用追問，進一步引導學生回憶全等三角形的研究過程，促使學生將已有的學習經驗遷移到類似的問題中來，延續(xù)幾何圖形的研究路徑，幫助學生初步感知知識結構（如圖1）.

2.2 設問激趣，加強關聯(lián)

師：請你借助圖2中的圖形探索四邊形全等的條件.

生1：我模仿三角形全等的研究思路從兩個四邊形中有一對元素相等開始，然后逐個添加，看兩個四邊形全等需要幾對元素分別相等.

生2：我覺得沒有必要從一對元素開始添加，兩個三角形全等需要三對元素分別相等，猜想四邊形全等需要四對元素，判定三角形全等可以用“SSS”，所以判定四邊形全等可以用“SSSS”.

師：這位同學借鑒了三角形全等的學習經驗，猜想出用“SSSS”可以判定這兩個四邊形全等，接下來我們一起來驗證一下.

生1：由“SSSS”不能判定這兩個四邊形全等.我們可以給一組值，邊長分別為5cm，4cm，3cm，2cm，發(fā)現(xiàn)畫出的四邊形不唯一，所以無法判定兩個四邊形全等.

生3：我們也可以尺規(guī)作圖來驗證.如圖2，給定A′B′=AB，A′D′=AD，B′C′=BC，C′D′=CD，我們任意畫一條線段A′B′，當以A′為圓心，AD為半徑畫弧，以B′為圓心，BC為半徑畫弧時會發(fā)現(xiàn)頂點C′和頂點D′都無法確定，因此不能判定.

生4：可以直接畫出反例.當兩個四邊形四條邊對應相等時，將其中一個四邊形“拉一拉”，它的各邊長沒有改變，但是角度變了，導致這個四邊形形狀變了，不再與另外一個四邊形全等.

師：非常棒！我們在驗證猜想時不僅可以從操作層面驗證，還發(fā)現(xiàn)四邊形雖然邊長確定了，但是“拉一拉”就會變形，這是由于三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性.既然用“SSSS”不能判定兩個四邊形全等，那我們還可以作出怎么樣的猜想呢？

生：四個角分別相等肯定也不行，比如正方形和長方形，所以四個條件不行，必須要考慮五個條件了.

師：五個條件是否能夠判定兩個四邊形全等呢？如何判定呢？請大家交流討論，并嘗試驗證你的猜想.

生1：剛剛我在畫圖時候發(fā)現(xiàn)，雖然“SSSS”不能判定兩個四邊形全等，但是增加一個角就可以了，比如“SSSS+A”.這里可以通過一條輔助線進行證明.

如圖3，連接AC，A′C′，若兩個四邊形中四組邊對應相等且∠B=∠B′，根據(jù)“SAS”可以得到△ABC≌△A′B′C′，進而根據(jù)全等三角形的性質得到AC=A′C′，再根據(jù)“SSS”可以得到△ADC≌△A′D′C′，因為兩組三角形對應全等，所以這兩個四邊形全等.

師：這位同學不僅提供了一種判定兩個四邊形全等的方法，還為我們提供了一種證明思路，連接對角線，將四邊形分成兩個三角形.那么大家參考他的想法還有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

生2：我覺得上面那種情況，角的位置可以變化，不一定是∠B=∠B′，只要四組邊對應相等，任意給出一組對應角相等都可以證明兩組三角形對應全等.它們都是“SAS”＋“SSS”，因此我們認為“SSSS＋A”一定可以判定兩個四邊形全等.

師：那么五對元素除了“四條邊＋1個角”對應相等，還有其他情況嗎？

（教師組織學生分五組對五對元素進行分類—猜想—驗證，然后展示交流，分類如圖4.）

生1：在這幾種分類中，由于四邊形內角和為360°，因此3個角對應相等就相當于4個角都對應相等，若加上2條邊對應相等，利用圖5，仍然可以首先通過“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′，進而根據(jù)全等三角形的性質得到AC=A′C′，∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)“ASA”容易得到△ADC≌△A′D′C′.

生2：根據(jù)生1說的，如果減少一條邊是無法判定任一組三角形全等的，自然不能判定兩個四邊形全等.比如圖6，只要線段KL∥DC，則四邊形ABLK與四邊形ABCD滿足四組角對應相等與一組邊（AB）對應相等，但是顯然這兩個四邊形不全等.

生3：對于“3條邊＋2個角”的情況，就和前面不太一樣.如圖7，若AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′，∠B=∠B′，∠BAD=∠B′A′D′，易證得△ABC≌△A′B′C′和△ADC≌△A′D′C′，則四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′.這里如果其他條件不變，只把條件∠BAD=∠B′A′D′改為∠BCD=∠B′C′D′，則結論不一定成立.再如，在圖8中，若把∠BAD=∠B′A′D′改成∠D=∠D′，那么△ADC和△A′D′C′全等的情況也是“SSA”，不能判定這兩個三角形全等，所以不能判定這兩個四邊形全等.

生5：我發(fā)現(xiàn)了，“3條邊＋2個角”的情況，這兩個角必須是相鄰邊的夾角，不能是對角，不然就會出現(xiàn)全等三角形中的“SSA”的情況，無法判定兩個四邊形全等了.

設計意圖：本節(jié)課雖然只設置了一個大問題，即探究四邊形全等的條件，但是在探究過程中根據(jù)學生的生成不斷地追問和引導，不僅讓學生回顧了全等三角形的相關知識，還讓學生在探究過程中再次感知通過逐個添加條件來分析問題的方法，滲透轉化和類比思想.

2.3 追根溯源，總結提升

師：大家都說得非常棒！同學們經過今天的探索得到四邊形全等的條件有——四條邊和一個角對應相等的兩個四邊形全等;三條邊和兩個角（鄰邊夾角）對應相等的兩個四邊形全等;兩條邊和三個角對應相等的兩個四邊形全等.（板書）

生1：老師，我發(fā)現(xiàn)其實探究兩個四邊形全等的條件時連接AC，A′C′以后，將四邊形分成兩個三角形，只要研究什么情況下△ABC≌△A′B′C′，然后可以根據(jù)全等三角形的性質得到AC=A′C′，再研究什么條件下△ADC≌△A′D′C′全等就行了.

生2：對，我與他的想法差不多，我覺得四邊形全等的問題可以直接轉化為三角形全等的問題.

師：老師非常同意這兩位同學的想法，在今天學習的過程中，看似是探究四邊形全等的問題，事實上用的都是三角形全等的相關知識.在數(shù)學學習過程中，將不熟悉的問題轉化為我們熟悉的問題是非常有效的解決問題的辦法.

設計意圖：回顧和歸納本節(jié)課的學習內容，重點關注方法和經驗的積累，以知識為載體，在課堂小結中感受數(shù)學方法，積累學習經驗.

3 教學反思

3.1 以問題為情境，在問題串中促進學生自然生成

思維的發(fā)展是數(shù)學教學的靈魂，思維的發(fā)展蘊含在知識的形成和發(fā)展過程中，它離不開特定的問題情境.一個良好的教學情境能夠引發(fā)學生的興趣，激發(fā)學生學習熱情.復習課的教學尤其要重視問題的設置，既不能是知識點的羅列，更不能是例題的簡單疊加.教師在上復習課前應深入鉆研課程標準、教材等教學資源，挖掘教材內容的潛在價值，設置一個適宜的問題情境，用問題串聯(lián)起知識點.在問題的引領中讓學生反思，是幫助學生自主建構的一個有效方法.常見的復習課流程是導入—梳理—例題—練習—總結，比較側重于知識點的鞏固，而較少關注知識內容的整體性.本節(jié)課以探究四邊形全等的條件為問題情境，讓學生在探究過程中，鞏固三角形全等的判定、全等三角形的性質這些知識層面的內容，再次經歷尺規(guī)作圖驗證圖形全等以及通過反例證偽的過程.通過這個問題情境，引領學生站在更高的角度再次審視本章的內容，感受內容的整體性.

3.2 以轉化為抓手，在思想上突出方法的一致性

數(shù)學教育的目的是讓學生掌握數(shù)學研究的基本方法，通過對學生進行一貫的思維邏輯訓練，促使學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界[1].因此在復習課的教授過程中，不僅要關注知識的復習還要關注方法的傳遞.在這一節(jié)課中學生在探究四邊形全等的條件時，通過添加輔助線將四邊形全等的問題轉化為三角形全等去研究，將不熟悉的內容轉化為熟悉的內容.讓5皮亞杰（Jean Piaget）認為“人的認知發(fā)展是通過同化和順應使認知發(fā)展從一個平衡狀態(tài)向另-種較高平衡狀態(tài)過渡的過程”.這個同化和順應的過程就是轉化，轉化不僅僅是一種重要的數(shù)學思想，也是一種重要的解決問題的策略.

學生在探究四邊形全等條件個數(shù)的過程中，類比三角形全等的研究思路，從一個條件開始逐個添加.在這樣的探究過程中，學生感受到雖然研究對象在變，但是研究方法和研究思路不變.這種喚醒已有的知識和經驗，幫助學生建立新知的固著點和生長點的方法就是類比，這種方法不僅對本節(jié)課四邊形全等的學習有促進作用，對以后研究較為復雜的圖形時也會產生正向的遷移作用.

3.3 以小結為支點，在反思中促進知識的結構化

當代建構主義學說認為：學習要在活動中進行建構，要求學生對自己的活動過程不斷地進行反省、概括和抽象.日常教學中，概念需要一個個的教，定理也應一個個的學，教師容易在局部中迷失方向，只見樹木不見森林，課程標準強調整體教學，這是由學科特點決定的，這種整體性包括內容的整體結構，以及前后一致的由內容反應的數(shù)學思想方法[2].由此可見，復習課的設計，不僅要重視內容，更要關注結構[3].這節(jié)課的設計重點是讓學生學會復習，首先通過回憶給全等四邊形下定義，明確四邊形全等既是三角形全等概念的延申，也是兩個圖形關系的拓展.從橫向梳理，研究圖形的定義—性質—判定—應用是幾何圖形學習的基本脈絡；從縱向來看，線段、角的相等關系是三角形全等的源頭，而三角形全等是兩個圖形關系的起點.從線段、角到三角形再到四邊形，這樣幾何元素之間的關系就不再分散，而是構成了一個結構緊密的有機整體.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]鄭錦枝.選編好的問題情境，傳遞數(shù)學研究方法——以“探究三角形全等的條件”單元教學為例[J].中學數(shù)學，2021（18）：2930.

[3]胡素芬.復習課也是素養(yǎng)培育的陣地——以初中數(shù)學整體視角下復習課的設計為例[J].基礎教育課程，2023（8）：5661.