遷移拓展：大單元背景下“中程”章起始課的價(jià)值追求

“整合是發(fā)生深度學(xué)習(xí)的重要機(jī)制.”[1]隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）的頒布，以單元教學(xué)為抓手落實(shí)深度學(xué)習(xí)成為熱點(diǎn)與焦點(diǎn).文章以人教版教材“軸對稱”單元設(shè)計(jì)為例，談如何在教學(xué)實(shí)踐中實(shí)施單元教學(xué)，用教師的“深度教”引領(lǐng)學(xué)生的“深度學(xué)”.

1 本章教學(xué)內(nèi)容分析

軸對稱現(xiàn)象廣泛存在于我們的現(xiàn)實(shí)生活中，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的好載體.從整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看，本章內(nèi)容是七年級下冊第五章中“平移”一節(jié)內(nèi)容的延續(xù)與發(fā)展，也是學(xué)習(xí)九年級上冊第二十三章“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容的基礎(chǔ)，基于以上分析，本章變成了“中程”章，有著承前啟后的價(jià)值.同時，本章與“平移”“旋轉(zhuǎn)”共同組成了初中數(shù)學(xué)全等變換的所有內(nèi)容.因此，本章既有可類比的對象，又有可延伸的方向.作為“中程”章，本章原教材共四節(jié)內(nèi)容，即研究軸對稱及其性質(zhì)、畫軸對稱圖形、等腰三角形及最短路徑.借力山東省重點(diǎn)課題“基于初中數(shù)學(xué)課程整合的單元教學(xué)案例研究”的成果，依據(jù)數(shù)學(xué)的邏輯思維，對本章內(nèi)容進(jìn)行了整合與調(diào)整，按照從簡單到復(fù)雜的邏輯順序，分別研究“軸對稱（起始課）—線段—角—等腰三角形—小結(jié)復(fù)習(xí)—評價(jià)”.

基于以上分析，確定本單元的核心大概念為“對稱”，教學(xué)重點(diǎn)為對“軸對稱”的性質(zhì)及“特殊軸對稱圖形”性質(zhì)的理解與應(yīng)用.結(jié)合初二學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)確定本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)為軸對稱性質(zhì)的探究，以及靈活運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)解決問題.

2 本章整體規(guī)劃

按照《課標(biāo)（2022年版）》中對“單元教學(xué)”的要求，以邢成云教授提出的“整體統(tǒng)攝·快慢相諧的整體化教學(xué)”[2]為理論引領(lǐng)，立足“圖形變換”的課程內(nèi)容，統(tǒng)合“軸對稱”的教學(xué)資源（章前語、章前圖、教材正文），用“1＋7＋2”的教學(xué)結(jié)構(gòu)完成對本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)（如圖1）.

3 章起始課教學(xué)目標(biāo)

通過分析教材內(nèi)容，結(jié)合章頭圖與章引言，依據(jù)《課標(biāo)（2022年版）》對本單元的要求[3]，確定本起始課教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過觀察生活中的具體實(shí)例，抽象出軸對稱、軸對稱圖形的特征，獲得軸對稱、軸對稱圖形、線段垂直平分線的概念，厘清軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系；

（2）探索成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形的性質(zhì)，體會由具體到抽象認(rèn)識問題的過程；

（3）類比平移得出本章的研究路徑，形成本章內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)，感悟類比方法在研究數(shù)學(xué)問題中的作用.

4 章起始課教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一創(chuàng)境引悱，孕育問題

問題1請同學(xué)們觀察圖片（如圖2），你想到了什么？

預(yù)設(shè)：圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱……有些圖形全等，有些圖形形狀相同而大小不等.

追問1：在初中階段已經(jīng)完成了哪部分的學(xué)習(xí)？

追問2：你能類比學(xué)過的平移知識，猜想一下，對于軸對稱、旋轉(zhuǎn)，會學(xué)習(xí)哪些知識嗎？

設(shè)計(jì)意圖：由生活中常見的圖片導(dǎo)入，滲透數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活.類比平移，猜想軸對稱、旋轉(zhuǎn)的大致學(xué)習(xí)內(nèi)容，滲透類比思想，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)指明方向.把“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”的圖片放一塊，讓學(xué)生在對比中思考，不僅為學(xué)習(xí)九年級“旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容作鋪墊，還滲透了圖形全等變換的整體性，提高學(xué)生的幾何認(rèn)知能力.

環(huán)節(jié)二對比聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)問題

問題2請大家觀察圖2中的圖（2）（4）（5），這三幅圖形有區(qū)別和聯(lián)系嗎？

預(yù)設(shè)：這些圖形都是對稱的，但又有不同.圖（2）是對稱圖形，只有一個圖形；圖（4）（5）中分別出現(xiàn)了兩個圖形，但整體上來看圖形也是對稱的.

追問1：大家還能舉出生活中類似的例子嗎？

學(xué)生舉例，教師根據(jù)學(xué)生的舉例再補(bǔ)充（如圖3）.

追問2：這些圖形的共同點(diǎn)是什么？這些對稱現(xiàn)象可以分為幾類？

預(yù)設(shè)：它們都可以找到一條線，這條線兩側(cè)的圖形完全一樣，也就是它們都是關(guān)于某條直線對稱.這些圖形可以分兩類，一類是兩個圖形的對稱，另一類是一個圖形中的對稱.

設(shè)計(jì)意圖：承接上一環(huán)節(jié)，整體認(rèn)知圖形的“全等變換”后，再結(jié)合給出的對稱圖片，確定異同點(diǎn).學(xué)生的思維在辨析中向深度發(fā)展，為后續(xù)得出軸對稱圖形與軸對稱兩個概念作鋪墊.

環(huán)節(jié)三合作探究，沉淀問題

問題3請結(jié)合看到的對稱圖形，思考：什么樣的兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱？什么樣的圖形才是軸對稱圖形？

問題4明白了軸對稱與軸對稱圖形的定義，接下來探究什么？如何探究？

預(yù)設(shè)：軸對稱與軸對稱圖形的性質(zhì)，可以類比“平移”進(jìn)行探究.

教師：有了可以類比的對象，請大家結(jié)合學(xué)案中成軸對稱的兩個圖形，探究其性質(zhì)可以從哪幾個角度思考？

學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組合作探究，最后共享得到的結(jié)論.

小組分享（預(yù)設(shè)）：既然這樣的圖形能夠完全重合，那么說明這兩個圖形是全等形.重合的圖形中出現(xiàn)了無數(shù)對重合的點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)稱之為對應(yīng)點(diǎn)（對稱點(diǎn)），這些對應(yīng)點(diǎn)的連線是互相平行的，它們與對稱軸有特殊的關(guān)系，對稱軸經(jīng)過每一對對應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)且垂直于這條直線.

追問1：請大家結(jié)合圖4，若已知△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，請用符號語言寫出圖形中蘊(yùn)含的結(jié)論.

追問2：對稱軸MN的特殊性在哪里？如何用語言直接描述？

預(yù)設(shè)：直線MN經(jīng)過對應(yīng)點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)且垂直于對應(yīng)點(diǎn)所連線段.

追問3：從對稱的角度，直線MN叫做對稱軸，從它與對應(yīng)點(diǎn)所連線段關(guān)系的角度思考，直線MN又可以叫做什么？

預(yù)設(shè)：線段的垂直平分線.

追問4：你能描述什么叫線段的垂直平分線嗎？如何用符號語言表達(dá)這個概念？

預(yù)設(shè)：經(jīng)過線段中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線叫做線段的垂直平分線.如圖4，以直線MN是AA′的垂直平分線為例，線段的垂直平分線可以用如下符號語言來表示.因?yàn)镸H⊥AA′，AH＝A′H，所以MN是線段AA′的垂直平分線.

問題5兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱，會出現(xiàn)以上結(jié)論，對于一個軸對稱圖形，是否有同樣的結(jié)論或者不同的結(jié)論？

預(yù)設(shè)：軸對稱圖形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)“一脈相承”，對稱軸兩側(cè)的圖形是完全重合的，而且對稱軸是任意一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

追問：你能想到學(xué)過的軸對稱圖形有哪些嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會說出長方形、正方形、圓等，此時教師引導(dǎo)學(xué)生按照一定規(guī)律來概括，比如，可以按照從簡單到復(fù)雜的順序（線段—角—等腰三角形—長方形—正方形—圓）來確定.

設(shè)計(jì)意圖：類比平移探究軸對稱的性質(zhì)是本節(jié)課的難點(diǎn)，為突破難點(diǎn)，設(shè)置了合作探究的環(huán)節(jié)，學(xué)生結(jié)合圖形探究結(jié)論，師生交流總結(jié)結(jié)論.借助軸對稱的性質(zhì)得出線段垂直平分線的定義，并引導(dǎo)學(xué)生分別用文字語言與符號語言來表達(dá)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)水平.由軸對稱的性質(zhì)猜想得出軸對稱圖形的性質(zhì)，聯(lián)想學(xué)過的軸對稱圖形，滲透研究數(shù)學(xué)問題“簡單—復(fù)雜”的研究思路.

環(huán)節(jié)四開放思維，變化問題

問題6研究完軸對稱的定義、性質(zhì)后，你想到了什么？

預(yù)設(shè)：軸對稱的應(yīng)用，運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)作圖.

追問1：如果已知△ABC與直線l，你能作出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A′B′C′嗎？如果讓大家自己畫圖，△ABC與直線l有哪幾種位置關(guān)系？

預(yù)設(shè)：四種位置關(guān)系（如圖5）.

追問2：作出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A′B′C′，最關(guān)鍵的是確定什么？

預(yù)設(shè)：△ABC關(guān)于直線l對稱的各對應(yīng)頂點(diǎn).

學(xué)生活動：各小組根據(jù)得出的不同圖形，從小組成員中選擇一位快速完成作圖（每個小組要把四種情況都涵蓋到），最后小組交流共享.

問題7類比平移的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，軸對稱的性質(zhì)除用于作圖外，還有什么用場？

預(yù)設(shè)：與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用.

追問1：若把以上四種情況的圖形分別放在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三點(diǎn)頂坐標(biāo)，可以求出什么？

預(yù)設(shè)：要看對稱軸的位置.

追問2：對稱軸在哪里最簡單？又如何求得對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)？

預(yù)設(shè)：對稱軸如果是x軸或y軸最簡單.比如，△ABC與△A′B′C′關(guān)于x軸（y軸）對稱時，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，其對應(yīng)頂點(diǎn)到x軸（y軸）的距離相等，故此時對應(yīng)頂點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)不變，縱（橫）坐標(biāo)互為相反數(shù).而如果對稱軸是其他的直線，求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)就會有點(diǎn)困難.

追問3：除了x軸、y軸，平面直角坐標(biāo)系中還有其他的特殊直線嗎？如果這些特殊直線作為對稱軸，我們能否求得相應(yīng)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)呢？

預(yù)設(shè)：與x軸、y軸分別平行的直線，比如平行于x軸且到x軸的距離是3的直線（這樣的直線標(biāo)記為x＝3或x＝-3）.如果△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線x＝3對稱，可以確定△A′B′C′的頂點(diǎn)坐標(biāo).同樣，如果△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線y＝3對稱，也可以確定△A′B′C′的頂點(diǎn)坐標(biāo).而如果對稱軸是這些特殊直線以外的任意一條直線，求對稱點(diǎn)時真有些困難.

設(shè)計(jì)意圖：該環(huán)節(jié)是軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用，問題6是開放性的問題，發(fā)散學(xué)生思維，實(shí)現(xiàn)深度思考；問題7讓學(xué)生感受軸對稱在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，并從不同對稱軸的角度進(jìn)行思考討論，“數(shù)”與“形”緊密結(jié)合，將坐標(biāo)思想和圖形變換的思想聯(lián)系起來，在這種思考與辨析中得出學(xué)習(xí)全等變換的學(xué)習(xí)路徑.

環(huán)節(jié)五反思總結(jié)，拓展問題

問題8請結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，思考下列問題：

（1）研究軸對稱的思路是什么？

（2）在學(xué)習(xí)軸對稱的過程中，用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？可以總結(jié)出哪些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？還有哪些感悟與思考？

師生共同完成本章知識結(jié)構(gòu)圖（如圖6）：

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧梳理，初步構(gòu)建本章的知識結(jié)構(gòu)圖，提煉出本章的研究思路、研究方法，提高學(xué)生的總結(jié)概括能力；結(jié)合所學(xué)的平移、軸對稱知識構(gòu)想出九年級要學(xué)習(xí)的旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容與方法，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

環(huán)節(jié)六作業(yè)布置，問題評價(jià)

（1）必做題：教材習(xí)題13.1第2，4題；

（2）選做題：以學(xué)過的圖形為基本圖形，結(jié)合學(xué)過的平移、軸對稱知識設(shè)計(jì)一幅圖案.

設(shè)計(jì)意圖：必做題考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，選做題提高學(xué)生的審美與創(chuàng)造能力.

5 章起始課教學(xué)立意及闡釋

5.1 生活創(chuàng)境，感受聯(lián)系

入課之初，借助生活中常見的圖片導(dǎo)入所學(xué)圖形變換的知識，引導(dǎo)學(xué)生對圖片進(jìn)行分類;引出課題“軸對稱”之后，對生活中的對稱現(xiàn)象進(jìn)行分類，以此打開學(xué)生思維;課后作業(yè)又以設(shè)計(jì)方案為選做題，以提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.總之，整節(jié)課中所出現(xiàn)的圖片，都是以生活中常見的例子進(jìn)行說明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活密切聯(lián)系的同時培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力.這樣的設(shè)計(jì)吻合了《課標(biāo)（2022年版）》提出的育人總目標(biāo)之一——用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.

5.2 類比發(fā)力，彰顯素養(yǎng)

整節(jié)課中，以“平移”為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生類比得出“軸對稱”的內(nèi)容，再類比“平移、軸對稱”得到旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，這是知識內(nèi)容的類比；從平移的概念—性質(zhì)—作圖獲得軸對稱的概念—軸對稱的性質(zhì)—作圖，這是學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（觀念）的類比；由“平移”的作圖方法總結(jié)得出“軸對稱”的作圖方法，這是學(xué)習(xí)方法的類比遷移.可以說，整節(jié)課類比發(fā)力，遷移運(yùn)用，學(xué)生的核心素養(yǎng)無形中得以發(fā)展.

5.3 開放為主，發(fā)散思維

整節(jié)課中的問題鏈以開放題為主，都是啟發(fā)學(xué)生自己主動去思考，包括后面的探究環(huán)節(jié)，讓學(xué)生結(jié)合給出的條件自己畫圖，體會不同情況下的對稱現(xiàn)象.問題鏈遵循數(shù)學(xué)的邏輯順序，“一以貫之”，將整節(jié)課有效地串聯(lián)起來，讓學(xué)生在思考中感受數(shù)學(xué)的整體性，最終形成數(shù)學(xué)“全等變換”的知識體系.

參考文獻(xiàn)：

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[2]邢成云.“整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學(xué)［J］.中國教師，2021（10）：3941.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：86.