由一個不規(guī)則圖形所引發(fā)的思考

在一次體育課后，我和同學(xué)在操場上發(fā)現(xiàn)了一個奇特的不規(guī)則圖形ABC（如圖1），大家都十分好奇它的面積是多少。經(jīng)過熱烈討論后，我們結(jié)合本章所學(xué)知識想出了一種方法：在圖形內(nèi)畫出一個半徑為1米的圓（如圖2），然后與同學(xué)在不遠(yuǎn)處向圓內(nèi)隨機擲石子。

數(shù)據(jù)記錄如下：

根據(jù)統(tǒng)計表，我們“掐指一算”，得出石子落在圓中的頻率在0.33這一常數(shù)附近，也就是說我們可以認(rèn)為圓的面積占整個圖形的33%左右。再結(jié)合圓的面積，我們便成功算出了不規(guī)則圖形的面積：因為圓的面積為πr2=π×12=π（m2），所以不規(guī)則圖形面積為π÷0.33=[10033]π（m2）。

在此之后，一名同學(xué)提出：“反過來想，如果我們已知圖形ABC的面積，那么是不是可以利用概率算出圓的面積，而半徑1米的圓面積恰好是π，從而得出π的近似值？”

于是，我回家查閱了相關(guān)資料，驚喜地發(fā)現(xiàn)，歷史上真有這種求法。第二天，我便向同學(xué)們介紹了此法——蒙特卡羅法。

現(xiàn)將討論后的過程摘錄如下：

定義區(qū)域：首先，定義一個邊長為2的正方形，其中心位于原點（0，0），并覆蓋整個單位圓（半徑為1的圓）。正方形的面積是2×2=4。

生成隨機點：然后，在正方形內(nèi)隨機生成大量的點。每個點的坐標(biāo)（x， y）都是隨機選擇的，且滿足?1≤x≤1和?1≤y≤1。

判斷點是否在圓內(nèi)：對于每個生成的點，使用距離公式[x2+y2]計算它到原點（0，0）的距離。如果這個距離小于或等于1，那么該點就在單位圓內(nèi)；否則，它就在圓外。

計算頻率：統(tǒng)計落在圓內(nèi)的點的數(shù)量，并計算其頻率。這個數(shù)值大致等于單位圓的面積與正方形面積的比例，即[π×124]=[π4]。

估算π值：最后，將上述比例乘4，以估算π的值。例如，若落在圓內(nèi)的點的比例是p，那么π≈4p。

之后，我們利用課間時間來到操場上，粗略算出了π值：

我們前后共拋出1000塊石子（隨機點），并統(tǒng)計得出785個點落在圓內(nèi)。那么，落在圓內(nèi)的點的頻率是[7851000]=0.785。由此，我們可以估算出π≈4×0.785=3.14。

探究過后，我們結(jié)合概率的有關(guān)知識得出了以下結(jié)論：

1.蒙特卡羅法的精度取決于生成隨機點的數(shù)量。點越多，估算的π值通常越準(zhǔn)確。

2.因為這種方法基于隨機性，所以每次得到的π的估計值可能會有所不同。但當(dāng)試驗被大量重復(fù)時，此估計值將趨于穩(wěn)定。

生活中的小發(fā)現(xiàn)經(jīng)過我們更深入的思考也許會生成新的結(jié)論。我們?nèi)裟茉谌粘Ｉ钪杏脭?shù)學(xué)的眼光觀察世界，勤于探索，樂于交流，并保持這種思維習(xí)慣，便一定能收獲豐碩的成果。

教師點評

小作者由一個不規(guī)則圖形引發(fā)有深度的思考：巧用概率計算面積的近似值，從而求π的近似值。她善于觀察生活，樂于用數(shù)學(xué)思維思考，并積極與同伴合作交流。這些都是值得同學(xué)們學(xué)習(xí)的地方。生活從來不缺少美，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼光。希望同學(xué)們將課堂所學(xué)融入生活，將一個個冰冷的數(shù)字符號撞擊出火熱的思維火花，在一步步的探索中感受數(shù)學(xué)之美。

（指導(dǎo)教師：張衛(wèi)明）