基于Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式的一維明渠水流運動數值模擬

摘 要：針對復雜地形上存在急流、激波或急緩流交替等問題的一維明渠水動力模擬，基于Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式的有限體積法離散Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ 方程組，建立了復雜明渠水動力模型。采用ＨＬＬ 近似Ｒｉｅｍａｎｎ 解計算界面通量，通過ＭＵＳＣＬ 格式和Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ 方法將時空精度提高至二階，同時將流量替換為連續(xù)性方程中的通量形式以保證流量守恒。采用水面梯度整體作為源項的方程形式，并引入底坡通量法對其求解，摩阻源項則使用無須迭代的顯隱式方法進行處理。通過４ 個典型算例驗證了該模型可很好地模擬潰壩、激波和急緩流交替等復雜水流運動過程，具有良好的守恒性和適應性。

關鍵詞：明渠水流；Ｇｏｄｕｎｏｖ；有限體積法；數值模擬

中圖分類號：ＴＶ１２２＋ ．１ 文獻標志碼：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１３７９．２０２５．０４．０１０

引用格式：梁鑫，侯精明，李東來，等．基于Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式的一維明渠水流運動數值模擬［Ｊ］．人民黃河，２０２５，４７（４）：５８－６３．

０ 引言

具有自由表面的淺水數值模擬是水力學與河流工程的核心課題之一，自然地形坡度變化較大，在復雜明渠水流運動中會同時存在急流、緩流和臨界流，并且各流態(tài)在運動過程中會發(fā)生轉換，水流運動過程極其復雜［１－３］ 。近年來，隨著計算方法的改進與加速計算技術的完善，二維、三維水動力數學模型得到了長足的發(fā)展［４］ 。但自然流域尺度下河道狹長，城市流域中一些河道或排水明渠斷面尺寸較小，水下地形采集困難，高精度數據難以獲取，若使用二維、三維模型勢必增加計算量、影響計算效率，綜合考慮計算效率與參數取值的可行性，應用一維水動力模型對明渠與河道進行數值模擬是最佳選擇［１，４］ 。

通過求解一維Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ 方程組來模擬明渠水流運動是目前最常用的方法，其中將水面坡度項作為源項處理的方程形式較為常用，主要原因是水面的變化通常比水深和底坡平滑得多，并且該形式消除了底坡源項與通量項不協(xié)調的問題［３，５］ 。在計算格式方面，Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式非常適用于雙曲方程組求解，并具備大梯度流動模擬和自動捕捉激波的能力，近年來該格式在復雜明渠、地表薄層水流、管網排水、水錘計算等復雜水流運動模擬計算中得到了廣泛的應用［６－１１］ 。

界面通量計算多采用近似Ｒｉｅｍａｎｎ 解，目前主要的求解格式為Ｒｏｅ、ＨＬＬ 和ＨＬＬＣ 等。Ｒｏｅ 線性化Ｒｉｅ?行額外修正［２］ ，相比之下ＨＬＬ 格式更受國內外學者的青睞，如：張大偉等［３，８］ 基于ＨＬＬ 格式的有限體積法離散Ｓａｉｎｔ－Ｖｅｎａｎｔ 方程組，先后模擬了明渠與復雜河網水動力過程；Ｙｉｎｇ 等［５］ 基于ＨＬＬ 格式模擬了理想干、濕河床狀態(tài)的潰壩流，波浪相互作用，明渠潮汐流和波浪傳播等復雜水動力過程；Ｘｉｎ 等［１２］ 以水面高程為原始變量，基于ＨＬＬ 格式一維淺水模型對自然不規(guī)則河道的淺水流動進行了模擬；孫萬光等［１３］ 基于ＨＬＬＣ 格式對天然河道水流過程進行了模擬，并證明了一維水動力計算中ＨＬＬＣ 法和ＨＬＬ 法計算結果完全一致。

本文將水面坡度整體為源項形式的一維淺水方程作為明渠非恒定流控制方程，采用Ｇｏｄｕｎｏｖ 格式的有限體積法進行數值求解；采用基于ＨＬＬ 格式的近似Ｒｉｅｍａｎｎ 解計算界面通量，通過ＭＵＳＣＬ 重構和Ｒｕｎｇｅ?Ｋｕｔｔａ 方法獲得時空的二階精度；引入底坡通量法對整體水面坡度源項進行數值求解以保證通量項與水面坡度源項的協(xié)調；采用顯隱式方法計算摩阻源項，該方法可避免隱式迭代，可在幾乎不影響計算精度的同時提高計算效率；最終通過潰壩算例、急緩流交替算例、激波算例和三角形擋水建筑潰壩算例對模型進行測試，以驗證本模型能否準確模擬急流或存在水面間斷的復雜明渠水流。

１ 控制方程

對平底梯形明渠中的潰壩過程進行模擬，以驗證本模型在潰壩波捕捉方面的性能。梯形斷面底寬為１ ｍ，邊坡系數為２，垂直深度為１．５ ｍ，如圖１（ａ）所示；平底渠道總長１ ０００ ｍ，渠道前５００ ｍ 初始水深為１ ｍ，后５００ ｍ 初始水深為０．１ ｍ，左右邊界為閉邊界，初始水深分布如圖１（ｂ）所示［１６］ 。因考慮模型計算效率，將全域劃分為４００ 個計算單元，時間步長固定為０．５ｓ，不考慮摩擦影響。在ｔ ＝１０３．１ ｓ 時，水深及流量對比見圖２，可見本模型數值解與精確解吻合較好。

３．２ 急緩流態(tài)交替的陡坡渠道算例

該算例渠道全長Ｌ ＝１ ０００ ｍ，渠底寬１．００ ｍ，上游固定流量２０ ｍ３ ／ ｓ，下邊界固定水深１．３５ ｍ，曼寧糙率為０．０２，渠道入流和出流均為緩流，取空間步長為１０ ｍ。該河段流態(tài)屬于漸變過渡流態(tài)，先從緩流過渡到急流，然后又從急流過渡到緩流，形成存在水跌和水躍的急緩流交替流態(tài)。圖３ 為本模型數值解與精確解對比，由水面線可看出，本模型模擬結果與精確解基本一致，在水躍處存在明顯間斷，其他區(qū)域為光滑過渡。從沿程流量可以看出，在水躍位置采用近似Ｒｉｅｍａｎｎ 解時流量出現了不守恒現象，而本文采用的通量替換方法很好地保持了流量穩(wěn)定無波動的狀態(tài)，滿足了計算格式流量守恒的要求。模型合理模擬了水跌及水躍形態(tài)，并嚴格保證流量守恒，可用于具有急緩流態(tài)交替的山區(qū)陡坡河道水流模擬。

３．３ 激波算例

采用具有拋物型地形的混合流算例對模型進行驗證，計算區(qū)域為長２５ ｍ、寬１ ｍ 的矩形河道，河底地形在８～１２ ｍ 區(qū)域有一拋物型的突起，河底地形（突起高度）的表達式為

網格尺寸?。埃?ｍ，初始河道水深設為０．３３ ｍ，初始流量為０．０ ｍ３ ／ ｓ，不考慮摩阻影響，曼寧系數?。埃?。在入口處給定流量Ｑ ＝ ０．１８ ｍ３ ／ ｓ ，下游邊界為固定水位，穩(wěn)定后下游水深ｚ ＝ ０．３３ ｍ 時，在河道地形變化處會出現流態(tài)過渡，并存在激波。該過程模擬較為困難，常被用于測試計算方法的適應性。模擬結果對比如圖４ 所示，本模型能夠很好地模擬出水面間斷，水深數值解與精確解吻合較好，如１０．０～１２．５ ｍ 激波出現的地方，流量過程依然保持恒定狀態(tài)，數值守恒性較好。

３．４ 三角形擋水建筑物潰壩算例

該算例原型為歐盟ＩＭＰＡＣＴ 項目的基準試驗模型（見圖５），旨在了解河床存在邊坡情況下潰壩波傳播過程。試驗區(qū)域為長５．６ ｍ、寬０．５ ｍ 的矩形水槽。上游蓄水池長為２．３９ ｍ，初始水深為０．１１１ ｍ。在靠近下游邊界處有一等腰三角形障礙物，長０．９ ｍ，高０．０６５ｍ，底坡為±０．１４，障礙物末端距離下游邊界０．７ ｍ。蓄水池至障礙物處為干渠道，障礙物下游至出口水池段水深０．０２ ｍ。試驗過程中四周均為閉邊界，渠道糙率為０．０１１。在障礙物周邊共布設有３ 個監(jiān)測點位：Ｇ１，ｘ ＝５．５７５ ｍ；Ｇ２，ｘ ＝４．９２５ ｍ；Ｇ３，ｘ ＝ ３．９３５ ｍ［１７］ 。計算時采用網格尺寸（邊長）為０．０１ ｍ。

各測點模擬水深與試驗監(jiān)測結果對比見圖６，３ 個測點計算水深與實測水深吻合較好，潰壩洪水到達時間與實測情況基本一致。由于末端存在擋水堰，計算區(qū)域封閉，因此３ 個測點均受到了反射波的影響，其中Ｇ１ 和Ｇ２ 較為明顯，因障礙物不高而Ｇ３ 也受到影響。模擬結果再次印證了本模型的計算精度與穩(wěn)定性。

４ 結論

針對復雜地形上存在激波、急緩流交替等復雜水流模擬難題，基于Ｇｏｄｕｎｏｖ 有限體積格式構建了一維復雜明渠水動力模型，經多個算例驗證，得到以下主要結論：

１） 模型采用具有激波捕捉能力ＨＬＬ 格式Ｒｉｅｍａｎｎ 計算界面通量，采用ＭＵＳＣＬ 格式和Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ 方法將整體時空計算精度提高至二階，同時采用通量替換的方法保證了流量計算的守恒性。

２）引入以通量項保持協(xié)調的底坡通量法處理水面坡度項，并采用顯隱式方法處理摩阻源項，可消除冗余迭代，保證對復雜流態(tài)的高精度模擬，實現源項的穩(wěn)健高效計算。

３）通過將本文模型的數值解與經典算例、試驗過程等４ 個算例的精確解或觀測值進行對比驗證，表明模型具有良好的穩(wěn)定性和計算精度，能夠成功模擬潰壩、急緩流交替、激波流動等各種復雜流態(tài)。

綜上所述，本文模型可準確穩(wěn)健地模擬一維復雜明渠水動力過程，可為工程應用、水利規(guī)劃決策等提供參考。

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【責任編輯 許立新】

基金項目：國家自然科學基金資助項目（５２０７９１０６，５２００９１０４）