函數(shù)解題中的數(shù)學(xué)思維方式與模型建立

摘要：函數(shù)思維與模型建立是解決數(shù)學(xué)問題的核心要素.文章通過分析函數(shù)解題過程中的邏輯分析、轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)思維方式，研究了變量關(guān)系分析、分段點(diǎn)確定和函數(shù)表達(dá)式構(gòu)建等模型建立方法，并探討了分段函數(shù)應(yīng)用、圖象分析和模型驗(yàn)證等典型問題的解決策略.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維方式；模型建立；函數(shù)解題；分段函數(shù)；實(shí)際應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）07-0020-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡(jiǎn)介：雷鳴東，本科，高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：陜西省“十四五”教育科學(xué)規(guī)劃2024年度課題“基于核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學(xué)‘新教材’比較和資源開發(fā)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：SGH24Y1333）.

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中描述變量關(guān)系的重要工具，其解題過程涉及多樣化的思維方式和系統(tǒng)化的模型建立過程.當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐表明，學(xué)生在函數(shù)問題解決中往往存在思維定式、模型構(gòu)建不當(dāng)?shù)葐栴}.深入研究函數(shù)解題中的思維方式及其與模型建立的關(guān)系，對(duì)于提升教學(xué)效果、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力具有重要意義.

1函數(shù)思維的多維透視

函數(shù)解題過程中，主要涉及邏輯分析、轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化和數(shù)形結(jié)合三種基礎(chǔ)思維方式的綜合運(yùn)用.邏輯分析思維強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)問題中變量關(guān)系的系統(tǒng)分析，通過明確條件之間的邏輯關(guān)聯(lián)建立解題思路；轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化思維通過將復(fù)雜問題分解或轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，提供解決問題的多樣化途徑；數(shù)形結(jié)合思維則強(qiáng)調(diào)代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的統(tǒng)一，在函數(shù)圖象分析和函數(shù)性質(zhì)研究中發(fā)揮重要作用，能夠幫助解題者建立起代數(shù)表達(dá)式與幾何圖形之間的聯(lián)系，為解題提供直觀而有效的思路.這三種思維方式的有機(jī)結(jié)合，為提高解決函數(shù)問題的效率和準(zhǔn)確性提供了重要保障.

2函數(shù)模型的構(gòu)建藝術(shù)

函數(shù)模型的建立是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，涉及深入分析問題情境和準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)關(guān)系.科學(xué)的建模方法能夠?qū)F(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的跨越.變量關(guān)系分析、分段點(diǎn)確定和函數(shù)表達(dá)式構(gòu)建構(gòu)成了函數(shù)模型建立的三個(gè)核心要素，它們相互依存、逐層深入，形成了完整的建模體系.

2.1變量關(guān)系分析法

變量關(guān)系分析法是建立函數(shù)模型的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，主要研究問題中各變量之間的依存關(guān)系和變化規(guī)律.在建立模型過程中，需要準(zhǔn)確識(shí)別自變量和因變量，明確它們之間的數(shù)量關(guān)系［1］.通過分析變量的實(shí)際意義，確定變量的取值范圍和約束條件.變量關(guān)系分析需要結(jié)合實(shí)際背景，考慮變量的可測(cè)量性和可控性.在分析過程中，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注變量之間的依賴性質(zhì)，包括正相關(guān)、負(fù)相關(guān)或其他非線性關(guān)系.對(duì)變量關(guān)系的深入分析能夠幫助學(xué)生確定函數(shù)的基本類型，為后續(xù)的模型構(gòu)建提供方向.

2.2分段點(diǎn)確定法

分段點(diǎn)確定法在函數(shù)模型建立中具有重要地位[2]，尤其適用于分段函數(shù)的構(gòu)建過程.分段點(diǎn)的確定需要綜合考慮問題的實(shí)際背景和數(shù)學(xué)特征，準(zhǔn)確把握函數(shù)值或?qū)?shù)發(fā)生突變的臨界位置.確定分段點(diǎn)時(shí)需要考慮函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性，分析函數(shù)值的變化趨勢(shì).分段點(diǎn)的選擇直接影響模型的準(zhǔn)確性.在實(shí)際應(yīng)用中，分段點(diǎn)往往與問題的特定條件相對(duì)應(yīng)，如價(jià)格變化點(diǎn)、政策轉(zhuǎn)折點(diǎn)等.分段點(diǎn)確定過程中需要特別注意數(shù)值的精確性，確保相鄰區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式能夠合理銜接.

2.3函數(shù)表達(dá)式構(gòu)建法

函數(shù)表達(dá)式構(gòu)建法是函數(shù)模型建立的核心步驟，要求在準(zhǔn)確理解變量關(guān)系的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)各變量之間的定量關(guān)系.表達(dá)式的構(gòu)建需要遵循數(shù)學(xué)邏輯，保證公式的嚴(yán)密性和普適性[3].在構(gòu)建過程中，應(yīng)注意選擇合適的數(shù)學(xué)符號(hào)和運(yùn)算規(guī)則，確保表達(dá)式的規(guī)范性.對(duì)于分段函數(shù)，需要為每個(gè)區(qū)間建立相應(yīng)的表達(dá)式，并確保各區(qū)間表達(dá)式的有效性.構(gòu)建函數(shù)表達(dá)式應(yīng)考慮到實(shí)際應(yīng)用的便利性，在保證準(zhǔn)確性的同時(shí)追求形式的簡(jiǎn)潔.表達(dá)式的驗(yàn)證同樣重要，需要通過代入特殊值、考查極限情況等方法檢驗(yàn)表達(dá)式的正確性.

3函數(shù)典型問題的智慧解析

有效的解題策略能夠提高解題效率，增強(qiáng)解題的準(zhǔn)確性.分段函數(shù)應(yīng)用、圖象分析和模型驗(yàn)證構(gòu)成了解決函數(shù)問題的三大核心策略，它們相互補(bǔ)充、相互驗(yàn)證.

3.1分段函數(shù)應(yīng)用策略

分段函數(shù)應(yīng)用策略在解決實(shí)際問題中具有廣泛的適用性，教材中的個(gè)人所得稅計(jì)算模型體現(xiàn)了這一策略的典型應(yīng)用.在該問題中，根據(jù)不同收入?yún)^(qū)間采用不同的計(jì)算方法，構(gòu)建了完整的分段函數(shù)模型.具體而言，當(dāng)收入在0至146 700元區(qū)間時(shí)，應(yīng)納稅額為0；當(dāng)收入在146 700至191 700元區(qū)間時(shí)，采用3%的稅率計(jì)算；隨著收入的增加，稅率逐步提高至45%.分段函數(shù)應(yīng)用策略要求準(zhǔn)確劃分區(qū)間，明確各區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式（圖1）.在實(shí)踐中，需要特別注意分段點(diǎn)的選擇和區(qū)間的銜接.分段函數(shù)的構(gòu)建過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)性，要求解題者具備嚴(yán)密的邏輯思維能力.

3.2圖象分析策略

圖象分析策略在解決函數(shù)問題中發(fā)揮著直觀而重要的作用.以一個(gè)典型的汽車行駛問題為例，通過分析速度—時(shí)間圖象，可以直觀地求解行駛路程.如圖2所示，汽車運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷了三個(gè)階段：0～10秒的加速階段，10～25秒的勻速階段，以及25～35秒的減速階段.圖象下方的陰影面積代表汽車的行駛路程，可以通過計(jì)算不同階段的面積（加速段和減速段的梯形面積，勻速段的矩形面積）來求得總路程.這種圖象分析策略充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思維，使抽象的函數(shù)關(guān)系具象化，便于理解和分析.圖象分析策略強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)圖象特征的把握，包括函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)、對(duì)稱性等性質(zhì).

3.3模型驗(yàn)證策略

模型驗(yàn)證策略是確保函數(shù)解題正確性的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，該策略要求對(duì)建立的函數(shù)模型進(jìn)行全面檢驗(yàn)，驗(yàn)證其是否符合實(shí)際問題的要求.驗(yàn)證過程包括數(shù)值驗(yàn)證、邏輯驗(yàn)證和實(shí)際意義驗(yàn)證三個(gè)方面.在稅率計(jì)算問題中，需要驗(yàn)證各個(gè)收入?yún)^(qū)間的稅額計(jì)算是否準(zhǔn)確，分段點(diǎn)處的函數(shù)值是否連續(xù)，計(jì)算結(jié)果是否符合實(shí)際意義.模型驗(yàn)證策略強(qiáng)調(diào)結(jié)果的合理性檢查，通過代入特殊值、考查極限情況等方法檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?在實(shí)際應(yīng)用中，驗(yàn)證過程還需要考慮誤差范圍和精度要求.良好的驗(yàn)證策略能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)模型中的問題，提高解題的準(zhǔn)確性.

4思維方式與模型建立的融合創(chuàng)新

思維方式與模型建立的整合應(yīng)用體現(xiàn)了解決函數(shù)問題的系統(tǒng)性和完整性.多維思維的綜合運(yùn)用為模型建立提供了方法論指導(dǎo)，模型的優(yōu)化完善過程體現(xiàn)了思維的深化和發(fā)展，而解題方法的系統(tǒng)構(gòu)建則實(shí)現(xiàn)了理論與實(shí)踐的統(tǒng)一.通過整合應(yīng)用，能夠提高解決函數(shù)問題的效率和準(zhǔn)確性，形成科學(xué)的解題體系.

4.1多維思維的綜合運(yùn)用

多維思維的綜合運(yùn)用強(qiáng)調(diào)在解決函數(shù)問題過程中靈活運(yùn)用各種思維方式.在教材的個(gè)人所得稅計(jì)算問題中，邏輯分析思維用于厘清不同收入?yún)^(qū)間的稅率關(guān)系，轉(zhuǎn)化思維用于將復(fù)雜的稅率計(jì)算轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)模型，數(shù)形結(jié)合思維則用于理解和驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果.多維思維的綜合運(yùn)用要求解題者具備全面的思維能力，能夠根據(jù)問題特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)乃季S方式.

4.2模型的優(yōu)化與完善

模型的優(yōu)化與完善過程體現(xiàn)了函數(shù)解題的動(dòng)態(tài)性和發(fā)展性.以教材中的汽車行駛問題為例，初始模型可能僅考慮基本的速度—時(shí)間關(guān)系，優(yōu)化可以引入加速度、路況等因素，使模型更加貼近實(shí)際.模型優(yōu)化需要基于實(shí)際問題的要求，綜合考慮模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性.優(yōu)化過程中應(yīng)注意保持模型的科學(xué)性，避免過度復(fù)雜化.模型完善過程中需要不斷驗(yàn)證和調(diào)整，確保優(yōu)化方向的正確性.

4.3解題方法的系統(tǒng)構(gòu)建

解題方法的系統(tǒng)構(gòu)建是思維方式與模型建立整合應(yīng)用的最終目標(biāo).在教材的函數(shù)應(yīng)用問題中，通過建立完整的解題體系，將思維方式和模型建立有機(jī)結(jié)合.系統(tǒng)的解題方法包括問題分析、模型建立、求解驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)都需要運(yùn)用相應(yīng)的思維方式.解題方法的構(gòu)建應(yīng)注重實(shí)踐性和可操作性，便于在類似問題中推廣應(yīng)用.系統(tǒng)構(gòu)建過程中需要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，提煉方法，形成科學(xué)的解題策略.方法構(gòu)建過程中應(yīng)注意與實(shí)際問題的結(jié)合，確保方法的實(shí)用性.

5結(jié)束語

函數(shù)解題中數(shù)學(xué)思維方式與模型建立密切關(guān)聯(lián)，相互促進(jìn).邏輯分析、轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思維方式為模型建立提供了重要指導(dǎo)，而規(guī)范的模型建立流程又促進(jìn)了思維方式的深化和發(fā)展.在具體應(yīng)用中，多維思維的綜合運(yùn)用與模型的優(yōu)化完善相互促進(jìn)，形成了科學(xué)的解題體系.這些研究成果對(duì)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐、提高學(xué)生解題能力具有積極意義.建議在今后的教學(xué)中，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的多元思維能力，引導(dǎo)其掌握科學(xué)的模型建立方法.參考文獻(xiàn)：

［1］ 饒彬.基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)：以“函數(shù)的概念與性質(zhì)”為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（32）：122-125.

［2］ 李勇文.核心素養(yǎng)視角下高中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)路徑探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（31）：2-5.

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［責(zé)任編輯：李慧嬌］