例談三力平衡問(wèn)題

摘要：共點(diǎn)力平衡問(wèn)題是高考?？贾R(shí)點(diǎn)，而三力平衡在考試中最為常見(jiàn).通過(guò)對(duì)三力平衡中常見(jiàn)的兩種模型以及動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的解法歸納分析，以期培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：共點(diǎn)力；三力平衡；模型；動(dòng)態(tài)平衡

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）07-0108-03

共點(diǎn)力平衡是高中物理學(xué)習(xí)中的重要知識(shí)，是高考?？伎键c(diǎn)，而物體受三力平衡的問(wèn)題最為常見(jiàn).下面以三力平衡問(wèn)題為例，通過(guò)對(duì)三力平衡中兩種模型的總結(jié)和動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題解決方法的歸納，達(dá)到從量的積累到質(zhì)的轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，有效落實(shí)物理核心素養(yǎng).

1三力平衡中的兩種模型

物體受到三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，三力常見(jiàn)的情況主要有兩種：一是三力中有兩個(gè)力互相垂直，二是三力中有兩個(gè)力大小相等.根據(jù)其中兩個(gè)力的特點(diǎn)，我們不妨把第一種情況稱(chēng)為“L”模型（兩力垂直），第二種情況稱(chēng)為“V”模型（兩力大小相等）.

1.1“L”模型

例1將一個(gè)質(zhì)量為3 kg的鉛球放在傾角為37°的斜面上，并用豎直擋板擋住，鉛球處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖1所示.如果不考慮鉛球受到的摩擦力，試求：擋板對(duì)鉛球的支持力和斜面對(duì)鉛球的支持力是多少？（g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解析方法一合成法

對(duì)鉛球受力分析，鉛球受重力G、擋板對(duì)鉛球的支持力F1和斜面對(duì)鉛球的支持力F2，由平衡條件可知，擋板對(duì)鉛球的支持力F1和斜面對(duì)鉛球的支持力F2的合力F與重力G等大反向，如圖2所示，由圖可知：

F1=mgtan37°=3×10×0.60.8 N=22.5 N

F2=mgcos37°=3×100.8 N=37.5 N

故擋板對(duì)鉛球的支持力為22.5 N，斜面對(duì)鉛球的支持力為37.5 N.

方法二分解法

將重力G按效果（需求）分解為方向沿著擋板對(duì)鉛球的支持力F1和斜面對(duì)鉛球的支持力F2的反方向的分力F1′、F2′，如圖3所示.

由共點(diǎn)力平衡條件可知：

F1=F1′=mgtan37°=3×10×0.60.8 N=22.5 N

F2=F2′=mgcos37°=3×100.8 N=37.5 N

故擋板對(duì)鉛球的支持力為22.5 N，斜面對(duì)鉛球的支持力為37.5 N.

方法三正交分解法

以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向和豎直方向分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，將F2正交分解，如圖4所示.

由共點(diǎn)力平衡條件可知：

F1=F2x=F2sin37°

F2y=F2cos37°=mg

聯(lián)立解得：

F1=22.5 N，F(xiàn)2=37.5 N

故擋板對(duì)鉛球的支持力為22.5 N，斜面對(duì)鉛球的支持力為37.5 N.

點(diǎn)評(píng)“L”模型的題目，一般都已知一個(gè)恒力和一個(gè)銳角，解題方法主要有合成法、分解法、正交分解法三種.合成法和分解法最終都轉(zhuǎn)化為解直角三角形，很適合解決該模型問(wèn)題.

1.2“V”模型

例2（2011年江蘇卷）如圖5所示，石拱橋的正中央有一質(zhì)量為m的對(duì)稱(chēng)楔形石塊，側(cè)面與豎直方向的夾角為α.若接觸面間的摩擦力忽略不計(jì)，重力加速度為g.則石塊側(cè)面所受彈力的大小為（）.

A. mg2sinα

B. mg2cosα

C. 12mgtanαD. 12mgcotα

解析方法一合成法

以石塊為研究對(duì)象，石塊受重力和兩個(gè)垂直側(cè)面向上的支持力.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和平衡條件可知，石塊受到的兩個(gè)支持力大小相等，且合力與重力等大反向，如圖6所示.

由幾何關(guān)系可知支持力FN與水平方向的夾角為α.

由圖可知：FN=mg/2sinα=mg2sinα.

故答案選A.

方法二正交分解法

石塊受三力處于平衡狀態(tài)，由于兩個(gè)垂直側(cè)面向上的支持力大小相等，以水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系，如圖7所示.

由共點(diǎn)力平衡條件可知：

2FNsinα=mg，

所以FN=mg2sinα.

故答案選A.

點(diǎn)評(píng)“V”模型的題目，由于有兩個(gè)力大小相等，利用合成法求解時(shí)，作出的平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分，構(gòu)造出直角三角形，最終還是落腳到解直角三角形問(wèn)題；利用正交分解法求解時(shí)，要充分利用兩力相等的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，合理建立坐標(biāo)系.

2三力平衡中的動(dòng)態(tài)平衡

三力平衡中的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題是高中物理學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是考查的重點(diǎn).所謂動(dòng)態(tài)平衡就是通過(guò)控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢的變化，物體在這一變化過(guò)程中始終處于一系列的平衡狀態(tài)中[1].處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題常用的方法有解析法、圖解法和相似三角形法.

例3如圖8所示，用輕繩將一小球懸掛在豎直光滑墻壁上靜止，當(dāng)輕繩變長(zhǎng)時(shí)（）.

A.繩子拉力變小，墻對(duì)球的彈力變大

B.繩子拉力變小，墻對(duì)球的彈力變小

C.繩子拉力變大，墻對(duì)球的彈力變大

D.繩子拉力變大，墻對(duì)球的彈力變小

解析方法一解析法

以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受重力G、墻的支持力F1和繩子拉力F2處于平衡狀態(tài)，如圖9所示.設(shè)繩子與豎直方向夾角為α，由共點(diǎn)力平衡條件可知：

F1=Gtanα，F(xiàn)2=Gcosα

當(dāng)輕繩變長(zhǎng)時(shí)，繩子與豎直方向夾角α減小，tanα減小，cosα增大，所以墻對(duì)球的支持力F1減小，繩子拉力F2減小.故答案選B.

方法二圖解法

圖解法是對(duì)研究對(duì)象在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中進(jìn)行受力分析，在同一圖中作出物體在若干狀態(tài)下所受力的矢量三角形，由各邊長(zhǎng)度及角度變化來(lái)判斷力的變化情況[2].

小球受重力G、墻的支持力F1和繩的拉力F2，如圖10所示.此三力組成矢量三角形的變化情況如圖11所示（重力大小方向均不變，墻的支持力方向始終不變），輕繩變長(zhǎng)，繩子與豎直方向夾角α減小，此過(guò)程小球處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài).由圖11可知此過(guò)程中墻對(duì)球的支持力F1不斷減小，繩子拉力F2不斷減小.故答案選B.

點(diǎn)評(píng)解析法一般利用合成法作出平行四邊形，平移一個(gè)力后將三力構(gòu)成三角形，根據(jù)解直角三角形或正弦定理求出待求力的表達(dá)式，然后依據(jù)角度變化討論待求力的變化情況.圖解法形象、簡(jiǎn)單、直觀，適合三個(gè)力中有一個(gè)力是恒力，另一個(gè)力方向不變的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題.

例4如圖12所示，光滑半球固定在水平地面上，球心O的正上方固定一小定滑輪，細(xì)線一端繞過(guò)定滑輪，另一端拴一小球，現(xiàn)將小球從圖示位置緩慢拉至B點(diǎn).在小球到達(dá)B點(diǎn)的過(guò)程中，半球?qū)π∏虻闹С至及細(xì)線的拉力T的大小變化是（）.

A.N增大，T增大B.N減小，T增大

C.N不變，T減小D.N增大，T減小

解析以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受重力、支持力和拉力.小球緩慢移動(dòng)到B點(diǎn)，可認(rèn)為小球始終處于平衡狀態(tài).三力中重力是恒力，支持力和拉力的方向都發(fā)生變化.如圖13，三力構(gòu)成的矢量三角形與三角形ACO始終相似，因此可由相似三角形求解.

由圖可知：TAC=NAO=GCO.

小球在上滑的過(guò)程中，AO和CO的長(zhǎng)度不變，AC減小，重力G不變，所以半球?qū)π∏虻闹С至不變，繩對(duì)小球的拉力T變小，故答案選C.

點(diǎn)評(píng)三力動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，一般情況下力的矢量三角形與幾何三角形相似，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算[3].

3結(jié)束語(yǔ)

在三力平衡問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，要分析三力特點(diǎn)，建構(gòu)模型，總結(jié)解題方法，反思解題過(guò)程和結(jié)果.教師應(yīng)通過(guò)典型題目一題多解和一題多變，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和深入思考，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維[4].

參考文獻(xiàn)：

［1］"許文.共點(diǎn)力的平衡問(wèn)題一二三［J］.數(shù)理化解題研究，2019（01）：71-73.

［2］ 陳朝方.對(duì)一道三力平衡問(wèn)題解法的探討［J］.物理之友，2018，34（02）：45-46.

［3］ 楊志強(qiáng).例談高中物理三力平衡問(wèn)題中的幾種特殊解決方法［J］.中學(xué)生理科應(yīng)試，2016（Z1）：49-50.

［4］ 夏少標(biāo).深入研究典型問(wèn)題 培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維：以三力動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題為例［J］.物理教師，2018，39（09）：87-88，94.

［責(zé)任編輯：李璟］