基于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在課程實(shí)施中提出“進(jìn)一步加強(qiáng)綜合與實(shí)踐”，并指出綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的教學(xué)活動(dòng)，以解決實(shí)際問(wèn)題為重點(diǎn)，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，以真實(shí)問(wèn)題為載體，適當(dāng)采取主題活動(dòng)或項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式呈現(xiàn)，通過(guò)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法解決真實(shí)問(wèn)題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力、社會(huì)擔(dān)當(dāng)?shù)染C合素質(zhì)?？梢?jiàn)，項(xiàng)目式學(xué)習(xí)作為新課標(biāo)對(duì)綜合與實(shí)踐教學(xué)的首推之法，必將成為初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐教學(xué)改革的破局之道。本文以“田徑場(chǎng)跑道起跑線設(shè)計(jì)”為例，給出以項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式組織綜合與實(shí)踐教學(xué)的實(shí)施樣本及思考。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.能從田徑場(chǎng)上的直道和彎道抽象出線段和半圓，并會(huì)用圖形和符號(hào)語(yǔ)言表示；能分析彎道差與起跑線提前量的關(guān)系，并建立“道寬→周長(zhǎng)差→提前量”的數(shù)學(xué)模型。

2.能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)及其他學(xué)科知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)與生活、體育、信息科技等學(xué)科間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

3.通過(guò)誤差分析，學(xué)會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)求證，培養(yǎng)理性思維；體會(huì)起跑線的價(jià)值導(dǎo)向——公平，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感；通過(guò)實(shí)踐優(yōu)化接力區(qū)的起始線，培養(yǎng)學(xué)生的人文精神和創(chuàng)新精神。

二、教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題：一年一度的學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)即將舉行，200米、800米和4×100米接力三種比賽是備受大家喜愛(ài)的體育項(xiàng)目。但體育組教師發(fā)現(xiàn)，學(xué)校400米田徑場(chǎng)跑道上的起跑線油漆脫落，需要重新畫(huà)線。為確保比賽公平公正，你將如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)出科學(xué)合理的起跑線繪制方案？

任務(wù)1：200米起跑線——破解彎道差密碼

【實(shí)施步驟】（1）實(shí)地勘測(cè)，收集數(shù)據(jù)。學(xué)生實(shí)地測(cè)量田徑場(chǎng)直道長(zhǎng)度和彎道半徑（比如直道84.39米，彎道半徑36.5米），用卷尺、測(cè)距儀等工具，把教材上的“圓周長(zhǎng)公式”變成真實(shí)數(shù)據(jù)。

（2）抽象模型，差異分析。學(xué)生畫(huà)圖對(duì)比內(nèi)外道差異，發(fā)現(xiàn)“外道選手跑彎道時(shí)路程更長(zhǎng)”，引發(fā)疑問(wèn)：“提前多少米才能抵消這個(gè)差距？”

（3）合作探究，總結(jié)規(guī)律。引導(dǎo)計(jì)算：相鄰跑道的分道差[Δ]C=2π（r+1.22）?2πr=2π×1.22=2.44π米（1.22米為跑道寬度），但200米只跑一個(gè)彎道，所以提前量是相鄰跑道分道差的一半（約1.22π米），即第n道起跑線提前量為（n?1）×1.22π米。

【學(xué)生成果】總結(jié)出200米起跑線各分道的提前量推算公式；通過(guò)測(cè)量與計(jì)算，繪制出各跑道200米起跑線位置示意圖。

【設(shè)計(jì)意圖】200米比賽只跑一個(gè)彎道，計(jì)算量?。ㄖ恍杷惆雸A分道差），學(xué)生容易上手，避免一開(kāi)始就被復(fù)雜的問(wèn)題“勸退”。此外，學(xué)生在完成“讓所有選手跑的實(shí)際距離相等”的任務(wù)中，能直觀理解數(shù)學(xué)如何保障比賽公平。該環(huán)節(jié)從簡(jiǎn)單任務(wù)入手，讓學(xué)生建立“數(shù)學(xué)有用”的初體驗(yàn)。

任務(wù)2：800米起跑線——應(yīng)對(duì)多圈疊加效應(yīng)

【實(shí)施步驟】（1）簡(jiǎn)單疊加，感受漏洞。學(xué)生先按200米疊加4次的方法初畫(huà)起跑線，讓2名速度相近的學(xué)生模擬2圈比賽，發(fā)現(xiàn)外道選手成績(jī)更好，感覺(jué)外道選手“占便宜”，初步體會(huì)到起跑線設(shè)計(jì)存在缺陷。

（2）分析原因，探討方案。各小組結(jié)合體育教師提供的800米比賽搶道規(guī)則發(fā)現(xiàn)，各道選手只在經(jīng)過(guò)第一個(gè)彎道時(shí)產(chǎn)生“分道差”，過(guò)了第一個(gè)彎道后即可切入內(nèi)道，切入內(nèi)道后不會(huì)產(chǎn)生差距，但切入時(shí)會(huì)多跑一定的距離（即“切入差”）。小組合作討論得出外道與內(nèi)道的“分道差”與“切入差”的計(jì)算公式。“分道差”為（n?1）×1.22π，切入差（Δ）Δ=[L2+［1.22（n-1）］2-L]（如圖1，其中n為跑道編號(hào)，L指搶道點(diǎn)到進(jìn)入彎道前的直道長(zhǎng)度，1.22為每條跑道的寬度），最后確定800米比賽各分道起跑線的提前量為“分道差”+“切入差”。

（3）采集數(shù)據(jù)，匯報(bào)方案。各組測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算出各分道起跑線的提前量，依據(jù)“階梯式提前”的思路形成設(shè)計(jì)方案，并通過(guò)PPT展示說(shuō)明。

【學(xué)生成果】學(xué)生通過(guò)測(cè)量、分析、討論，設(shè)計(jì)出800米比賽起跑線繪制方案。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生感受“簡(jiǎn)單套用”出現(xiàn)“占便宜”的現(xiàn)象是淺表思考導(dǎo)致的，進(jìn)而通過(guò)反思和分析，發(fā)現(xiàn)僅靠線性提前量無(wú)法滿足多圈比賽的公平性，需結(jié)合賽道切換規(guī)則進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，培養(yǎng)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的分析能力。

任務(wù)3：4×100米接力區(qū)——攻克立體空間布局

【實(shí)施步驟】（1）查閱資料，了解要求。組織學(xué)生查閱4×100米接力賽的比賽規(guī)則，了解接力區(qū)的距離及畫(huà)線組成。從距離公平的角度，明確彎道接力區(qū)的長(zhǎng)度是指弧長(zhǎng)。

（2）結(jié)合規(guī)則，初設(shè)方案。學(xué)生在了解規(guī)則的基礎(chǔ)上，探究彎道接力區(qū)的中心線、起始線、終止線如何確定。學(xué)生分直道接力區(qū)組和彎道接力區(qū)組展開(kāi)設(shè)計(jì)。彎道接力區(qū)組通過(guò)討論、分析得出彎道接力區(qū)的路程可以看成一條弧線，其長(zhǎng)度為20米，可推導(dǎo)出彎道接力區(qū)起始線與終止線所在半徑的夾角θ=[180×20π×［36.5+0.3+1.22（n-1）］]

［第n道半徑R=36.5+0.3+1.22（n-1），接力區(qū)的長(zhǎng)度為20米］，各小組合作交流并形成初步的設(shè)計(jì)方案（如下頁(yè)圖2）。

（3）實(shí)地測(cè)試，優(yōu)化設(shè)計(jì)。根據(jù)初步的設(shè)計(jì)方案，用石灰粉在跑道上畫(huà)出理論計(jì)算的接力區(qū)，讓學(xué)校田徑隊(duì)隊(duì)員試跑。觀察發(fā)現(xiàn)，接棒隊(duì)員需扭著身子接棒。根據(jù)實(shí)際效果調(diào)整角度（比如從29度改為34度），通過(guò)將彎道接力區(qū)“斜著畫(huà)”完善設(shè)計(jì)方案。

【學(xué)生成果】推導(dǎo)出“接力區(qū)角度公式”，繪制帶角度的接力區(qū)設(shè)計(jì)圖，并向體育組提交優(yōu)化建議：外道接力區(qū)角度需逐道增加3～5度。

【設(shè)計(jì)意圖】普通起跑線只解決“跑的距離公平”問(wèn)題，但接力賽還要保證“交接棒順暢”。外道選手在彎道接棒時(shí)，身體朝向和視線受限，容易踩線犯規(guī)或錯(cuò)過(guò)接力區(qū)，問(wèn)題復(fù)雜度爆炸式增長(zhǎng)。因此，在得出初步的方案后，通過(guò)實(shí)踐測(cè)試發(fā)現(xiàn)，“算得對(duì)”未必“用得順”，最后通過(guò)“斜著畫(huà)”完善了方案。整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了算角，更懂得了什么叫“用數(shù)學(xué)尊重人性”。

三、教學(xué)反思

1.項(xiàng)目式學(xué)習(xí)完美匹配綜合與實(shí)踐教學(xué)的需求

從項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)科的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)知識(shí)為中心，基于跨學(xué)科意識(shí)，選取現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)的、富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和方法，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的形式來(lái)解決問(wèn)題。而初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容就是源于與初中生緊密相關(guān)的“真問(wèn)題”，通過(guò)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和跨學(xué)科知識(shí)得到理論解決的方案，運(yùn)用實(shí)踐檢驗(yàn)并完善理論方案。例如，在任務(wù)3中，學(xué)生在算出彎道接力區(qū)起始線與終止線的“理論夾角”后，請(qǐng)校田徑隊(duì)測(cè)試，發(fā)現(xiàn)“按算出來(lái)的角度畫(huà)線實(shí)際跑會(huì)踩線，不方便接棒”，立馬回頭調(diào)整模型。因此，以問(wèn)題解決為導(dǎo)向、項(xiàng)目任務(wù)為驅(qū)動(dòng)、實(shí)踐成果為評(píng)價(jià)的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，完美匹配了綜合與實(shí)踐教學(xué)對(duì)問(wèn)題真實(shí)性、知識(shí)綜合性、應(yīng)用實(shí)踐性的需求。

2.項(xiàng)目式學(xué)習(xí)提升綜合與實(shí)踐教學(xué)的育人效果

綜合與實(shí)踐教學(xué)的本質(zhì)其實(shí)是“學(xué)”與“用”的緊密結(jié)合，當(dāng)“學(xué)”與“用”割裂開(kāi)來(lái)時(shí)，綜合與實(shí)踐教學(xué)的育人效果將大打折扣。而倡導(dǎo)“做中學(xué)”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，就猶如一座橋梁把單調(diào)的數(shù)學(xué)知識(shí)和真實(shí)的生活需求關(guān)聯(lián)起來(lái)。學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)也將從“被動(dòng)卷入”轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸鲃?dòng)投入”，從“做題家”變身為“做事者”，知識(shí)也因“被需要”而扎根，實(shí)現(xiàn)“知識(shí)遷移”到“素養(yǎng)生成”的育人進(jìn)階。例如，學(xué)生在設(shè)計(jì)200米起跑線時(shí)，通過(guò)計(jì)算內(nèi)外道的彎道差，得出起跑線的提前量，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的工具作用；在設(shè)計(jì)400米起跑線時(shí)，理解了“規(guī)則背后的數(shù)學(xué)邏輯”，培養(yǎng)了公平意識(shí)；在設(shè)計(jì)4×100米比賽的接力區(qū)時(shí)，出于“方便接棒”的考量，在確保距離公平的前提下，創(chuàng)造性地拿出優(yōu)化方案——“斜著畫(huà)”，培養(yǎng)了人文精神和創(chuàng)新精神?？梢?jiàn)，以項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式開(kāi)展教學(xué)，充分發(fā)揮了綜合與實(shí)踐的育人作用。

本文系江蘇省南通市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃專項(xiàng)課題“基于項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的農(nóng)村初中校本課程開(kāi)發(fā)與應(yīng)用研究”（編號(hào)：XC2020061）階段性研究成果。

（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）