知識(shí)結(jié)構(gòu)的粗糙集模型與方法研究綜述

摘要：

知識(shí)空間理論（KST）是一種研究教育規(guī)律的科學(xué)方法，而粗糙集理論 （RST） 是分析不確定性的重要數(shù)學(xué)框架。經(jīng)過(guò)四十年的發(fā)展，這兩種理論均取得一系列研究成果。文中分別梳理了知識(shí)空間理論與粗糙集理論的重要進(jìn)展，以及近年來(lái)兩者交叉研究的成果，分析了當(dāng)前研究中存在的關(guān)鍵科學(xué)問(wèn)題，并提出未來(lái)可能的重要研究方向。

關(guān)鍵詞： 知識(shí)空間理論； 知識(shí)結(jié)構(gòu)； 粗糙集理論； 技能約簡(jiǎn)； 變精度模型

中圖分類(lèi)號(hào)： TP 182文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ""文章編號(hào)： 1000-5013（2025）02-0121-12

Review of Research on Rough Set Models and Methods for Knowledge Structures

XU Bochi1， LI Jinjin1，2，3

（1. School of Mathematics and Statistics， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China；

2. School of Mathematics and Computer Science， Quanzhou Normal University， Quanzhou 362000， China；

3. School of Mathematics and Statistics， Minnan Normal University， Zhangzhou 363000， China）

Abstract： Knowledge space theory （KST） is a scientific methodology for investigating educational principles， while rough set theory （RST） serves as a crucial mathematical framework for analyzing uncertainty. Over four decades of development， both theories have achieved significant research advancements. This paper systematically reviews the major progress in KST and RST respectively， synthesizes recent interdisciplinary research achievements， critically examines existing scientific challenges in current studies， and proposes potential research directions for future exploration. The findings aim to provide valuable references for further investigations in this interdisciplinary field.

Keywords： knowledge space theory； knowledge structure； rough set theory； skill reduction； variable precision model

知識(shí)空間理論（knowledge space theory，KST）是由比利時(shí)數(shù)學(xué)心理學(xué)家Doignon和美國(guó)數(shù)學(xué)心理學(xué)家Falmagne于1985年提出的一種旨在用于知識(shí)評(píng)估的數(shù)學(xué)理論［1］。KST基于教育學(xué)和心理學(xué)等理論建立了一整套研究背景和意義非常明確的數(shù)學(xué)框架。這是一種有效的研究教育的數(shù)學(xué)理論，它不僅對(duì)教育評(píng)估和個(gè)性化學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)的影響， 還在計(jì)算機(jī)自適應(yīng)教育認(rèn)知診斷等領(lǐng)域展現(xiàn)出廣泛的應(yīng)用。知識(shí)空間理論最成功的應(yīng)用之一是人工智能學(xué)習(xí)和評(píng)估系統(tǒng)（assessment and learning in knowledge space，ALEKS）［2］，目前已有超過(guò) 2 500 萬(wàn)名學(xué)生通過(guò)該系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、化學(xué)、統(tǒng)計(jì)和會(huì)計(jì)學(xué)等學(xué)科。KST已成為輔助學(xué)習(xí)和自適應(yīng)測(cè)試等領(lǐng)域中［3-6］的重要理論。知識(shí)空間理論的初始發(fā)展源于純粹行為主義視角，其核心目標(biāo)在于形式化個(gè)體知識(shí)表征體系，隨著后面概念化個(gè)體的內(nèi)在能力，知識(shí)空間理論突破了單純行為解釋的局限。區(qū)別于粗糙集理論的核心研究聚焦于對(duì)近似算子的關(guān)注，以及特定集合的上、 下近似特性分析，知識(shí)空間理論著重研究特定集合構(gòu)成的結(jié)構(gòu)化系統(tǒng)。

知識(shí)結(jié)構(gòu)（knowledge structure）是知識(shí)空間理論中的核心概念，它為構(gòu)建領(lǐng)域知識(shí)關(guān)聯(lián)框架及評(píng)估學(xué)習(xí)者知識(shí)掌握程度提供了理論基礎(chǔ)。經(jīng)典的知識(shí)結(jié)構(gòu)采用二元評(píng)價(jià)模式（完全正確/不正確），并以此發(fā)展出了一套成熟有效的理論。隨著研究的深入，有研究者認(rèn)為二元評(píng)價(jià)模式雖適用于簡(jiǎn)單問(wèn)題評(píng)估，卻難以準(zhǔn)確反映復(fù)雜問(wèn)題的部分掌握狀態(tài)（如80%正確率）。針對(duì)教育學(xué)領(lǐng)域多維評(píng)價(jià)需求，學(xué)者提出多分知識(shí)結(jié)構(gòu)（polytomous knowledge structure，PKS）的概念 ［7-9］，通過(guò)引入多值響應(yīng)機(jī)制（如Likert五級(jí)評(píng)分法［10］）來(lái)實(shí)現(xiàn)評(píng)估維度的擴(kuò)展。這種拓展不僅適用于傳統(tǒng)認(rèn)知評(píng)估，還可應(yīng)用于心理咨詢(xún)、 態(tài)度測(cè)量等多元場(chǎng)景。通過(guò)設(shè)置多級(jí)響應(yīng)值（如完全同意至完全不同意），使評(píng)價(jià)體系能更精準(zhǔn)地反映個(gè)體實(shí)際認(rèn)知水平。知識(shí)結(jié)構(gòu)的有效構(gòu)建不僅是該領(lǐng)域的關(guān)鍵研究課題，更是實(shí)現(xiàn)個(gè)性化學(xué)習(xí)路徑規(guī)劃的前提。

1 構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的基本方法

本節(jié)梳理了構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)（二分）與多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的常用方法。為了討論方便，用Q表示非空問(wèn)題集，即知識(shí)域（domain），S表示非空技能集，K表示由知識(shí)狀態(tài)K（KQ）構(gòu)成的集族，且K中至少包含和Q，（Q，K）表示知識(shí)結(jié)構(gòu)。滿(mǎn)足并封閉的知識(shí)結(jié)構(gòu)為知識(shí)空間（knowledge space），滿(mǎn)足交封閉的知識(shí)結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)單閉包空間（simple closure space），既滿(mǎn)足并封閉又滿(mǎn)足交封閉的知識(shí)結(jié)構(gòu)為擬序空間（quasi ordinal space）。

1.1 知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建方法

知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建方法通常有專(zhuān)家問(wèn)詢(xún)法、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法、技能映射等方法。

基于專(zhuān)家問(wèn)詢(xún)法（query）構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的研究可追溯至知識(shí)空間理論的發(fā)展早期。Falmagne等［11］于1990年系統(tǒng)闡述了知識(shí)空間理論，首次提出通過(guò)專(zhuān)家咨詢(xún)構(gòu)建領(lǐng)域知識(shí)結(jié)構(gòu)的可行性。在此基礎(chǔ)上，Koppen等［12-13］確立了專(zhuān)家主導(dǎo)的構(gòu)建范式，強(qiáng)調(diào)通過(guò)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題序列獲取專(zhuān)家對(duì)領(lǐng)域內(nèi)問(wèn)題關(guān)聯(lián)性的專(zhuān)業(yè)判斷。Kambouri等［14］進(jìn)一步完善了該范式的理論基礎(chǔ)，建立了專(zhuān)家響應(yīng)與知識(shí)空間的映射機(jī)制。為提高構(gòu)建效率，Dowling［15］通過(guò)邏輯推理機(jī)制優(yōu)化問(wèn)詢(xún)流程，顯著減少了冗余判斷需求。針對(duì)專(zhuān)家判斷可能存在的誤差問(wèn)題，Cosyn等［16］提出的PS-Query機(jī)制通過(guò)錯(cuò)誤處理算法有效控制了判斷失誤對(duì)知識(shí)空間的影響。值得關(guān)注的是，Stefanutti等［17］創(chuàng)新性地提出增量式擴(kuò)展算法，實(shí)現(xiàn)了已有知識(shí)空間向新問(wèn)題域的高效拓展，避免了重復(fù)性問(wèn)詢(xún)過(guò)程。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建方法通過(guò)統(tǒng)計(jì)建模實(shí)現(xiàn)潛在認(rèn)知狀態(tài)的逆向推導(dǎo)。其核心范式通常遵循三階段建模框架： 1） 構(gòu)建候選知識(shí)結(jié)構(gòu)集； 2） 基于擬合準(zhǔn)則測(cè)試篩選模型； 3） 確定最優(yōu)擬合模型［18］。該方法假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)由潛在真實(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)與隨機(jī)誤差的疊加而成，其核心挑戰(zhàn)在于同步推斷知識(shí)結(jié)構(gòu)與響應(yīng)誤差概率。現(xiàn)有的研究可分為兩個(gè)分支。其中一個(gè)分支是將特定屬性賦予數(shù)據(jù)底層的知識(shí)結(jié)構(gòu)，典型技術(shù)包括基于問(wèn)卷的布爾分析與項(xiàng)目樹(shù)分析（item tree analysis，ITA）。如Schrepp［19］驗(yàn)證了布爾分析在二值問(wèn)卷分析中的有效性，Theuns等［20］則基于共生矩陣構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)。針對(duì)ITA方法，Schrepp［21］提出的ITA*算法通過(guò)優(yōu)化推測(cè)關(guān)系篩選機(jī)制降低結(jié)構(gòu)偏差，Sargin等［22］發(fā)展的歸納式ITA（IITA）進(jìn)一步提升了模型穩(wěn)健性。另一個(gè)分支是不施加任何限制，僅將觀察到的響應(yīng)模式作為構(gòu)建結(jié)構(gòu)的知識(shí)狀態(tài)。如Chiusole等［23］提出的k-states方法突破觀測(cè)模式限制，通過(guò)改進(jìn)k-modes聚類(lèi)算法［24］實(shí)現(xiàn)潛在知識(shí)狀態(tài)的增量式提取。

基于技能映射的知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建方法利用項(xiàng)目（item）與技能（skill）間的邏輯關(guān)系建立技能映射（skill map），并通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)。技能映射對(duì)Q中的每一個(gè)項(xiàng)目（問(wèn)題）q分配了一個(gè)技能子集，技能映射定義如下：

設(shè)技能集S是與Q對(duì)應(yīng)的非空有限集合，2S是技能集S的冪集，τ是從Q到2S＼{}的映射，三元組（Q，S，τ）稱(chēng)為一個(gè)技能映射。

這種方法始于Doignon［25］提出的技能映射理論，其通過(guò)最小化技能分配實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)唯一性生成，顯著降低了傳統(tǒng)問(wèn)詢(xún)方法的復(fù)雜度。Spoto等［26-27］建立技能-項(xiàng)目的映射框架，不僅實(shí)現(xiàn)心理診斷標(biāo)準(zhǔn)的量化表征，更通過(guò)可識(shí)別性驗(yàn)證完善了概率模型的評(píng)估體系。在方法論創(chuàng)新方面，Suck［28-30］突破傳統(tǒng)由項(xiàng)目到技能的單向研究范式，首創(chuàng)基于偏序技能集的知識(shí)結(jié)構(gòu)逆向構(gòu)建技術(shù)。針對(duì)復(fù)雜知識(shí)領(lǐng)域建模難題，Spoto等［31］開(kāi)發(fā)迭代優(yōu)化算法，通過(guò)最小化知識(shí)結(jié)構(gòu)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的差異實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)技能映射。在模型擴(kuò)展維度方面，周銀鳳等 ［32-33］基于知識(shí)空間理論與形式背景理論的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從析取模型和合取模型兩個(gè)方面，討論了知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建問(wèn)題。經(jīng)典的技能是離散“掌握/未掌握”二分法，考慮到學(xué)習(xí)者的認(rèn)知能力的獲取是一個(gè)從低級(jí)到高級(jí)的不斷發(fā)展趨向成熟的過(guò)程，并且不同個(gè)體對(duì)技能的潛在掌握程度存在顯著差異，以及不同題目可能要求非二元化的技能閾值。Sun等［34］將技能模糊化，提出了模糊技能映射和模糊技能多值映射。前者對(duì)問(wèn)題q分配了一個(gè)S上的模糊子集，后者對(duì)問(wèn)題q分配了一個(gè)S上的模糊子集族，然后通過(guò)模糊技能映射和模糊技能多值映射來(lái)構(gòu)造知識(shí)結(jié)構(gòu)。Cao等［35］系統(tǒng)研究了模糊技能多值映射在知識(shí)結(jié)構(gòu)建模中的應(yīng)用，提出基于模糊技能多值映射的可識(shí)別與雙可識(shí)別知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過(guò)消除冗余項(xiàng)目?jī)?yōu)化測(cè)評(píng)效率，并為相對(duì)獨(dú)立知識(shí)點(diǎn)的評(píng)估提供理論框架。

1.2 多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建方法

與構(gòu)造經(jīng)典的二分知識(shí)結(jié)構(gòu)不同，多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的研究起步更晚，構(gòu)造的方式更加的復(fù)雜。多分知識(shí)狀態(tài)將對(duì)問(wèn)題q的解答賦予等級(jí)，使得知識(shí)狀態(tài)成為從問(wèn)題集到問(wèn)題解決等級(jí)集的映射。Schrepp［36］率先突破二值響應(yīng)限制，通過(guò)線性序集構(gòu)建多分響應(yīng)層級(jí)結(jié)構(gòu)，建立了具有某些封閉性質(zhì)和推測(cè)關(guān)系的多層結(jié)構(gòu)之間的本質(zhì)聯(lián)系。Stefanutti等［7］將響應(yīng)維度拓展至完備格結(jié)構(gòu)，其多分知識(shí)結(jié)構(gòu)定義如下：

設(shè)L為完備格，1和0分別為L(zhǎng)上的極大極小元，多分知識(shí)狀態(tài)定義為映射K：Q→L，若KLQ至少包含1Q和0Q，則三元組（Q，L，K）稱(chēng)為多分知識(shí)結(jié)構(gòu)。

Heller［8］在此基礎(chǔ)上引入擬序關(guān)系理論，構(gòu)建廣義多分知識(shí)空間框架，其通過(guò)考慮了粒度更細(xì)的優(yōu)先關(guān)系，系統(tǒng)整合了Schrepp［36］和Stefanutti等［7］的研究成果。從多分KST的伽羅瓦聯(lián)絡(luò)角度出發(fā)，Wang等［37-38］針對(duì)該框架的數(shù)學(xué)完備性問(wèn)題，提出CD-多分知識(shí)空間，并完善了文獻(xiàn)［7］中伽羅瓦連絡(luò)中閉元的不完全刻畫(huà)問(wèn)題。Bartl等［39］基于模糊邏輯中的完備剩余格研究了具有分級(jí)知識(shí)狀態(tài)的知識(shí)空間。Ge［40］通過(guò)定義多分屬性完備性，構(gòu)建了完備多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的概念。孫曉燕等［41］整合程序性知識(shí)評(píng)價(jià)結(jié)果用于構(gòu)建項(xiàng)目狀態(tài)空間，進(jìn)而構(gòu)造多分知識(shí)結(jié)構(gòu)。基于技能映射的知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建方法在多分知識(shí)結(jié)構(gòu)上也有推廣，其理論較二分經(jīng)典情形更為復(fù)雜，而許多經(jīng)典的結(jié)果是無(wú)法直接作用到多分知識(shí)結(jié)構(gòu)上。在分析不同技能的重要性的基礎(chǔ)上，通過(guò)擴(kuò)展模糊技能映射［34］，如Sun等［42］提出了一種利用模糊技能構(gòu)建多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的方法。Stefanutti［9］則通過(guò)公理化定義了屬性映射，通過(guò)屬性映射產(chǎn)生多分知識(shí)結(jié)構(gòu)。與Sun等［42］的模糊技能映射中技能模糊化不同的是，Stefanutti［9］研究的屬性是二分的（具備/不具備）。區(qū)別于映射方法，Chiusole等［43］開(kāi)發(fā)自適應(yīng)k-median聚類(lèi)算法，通過(guò)數(shù)據(jù)分析方法構(gòu)建多分知識(shí)結(jié)構(gòu)。由于多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的研究起步更晚，以及理論更加復(fù)雜，許多方法尚在探索中。而在粗糙集理論中，一些理論方法與知識(shí)空間理論在數(shù)學(xué)上似乎存在某種聯(lián)系。例如，二元關(guān)系的上（下）近似算子可以產(chǎn)生知識(shí)空間（簡(jiǎn)單閉包空間），通過(guò)格值模糊集的上（下）近似恰好可以看作多分知識(shí)狀態(tài)。

知識(shí)空間理論還有一些其他的研究方向，由于這些方向目前沒(méi)有使用粗糙集理論和方法的相應(yīng)文章，因此這里不做過(guò)多的介紹。其他的研究方向可以參考李金海等［44］的文章。

2 構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)常用的粗糙集方法

本節(jié)主要梳理一些常用在構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)中，以及未來(lái)可能用在知識(shí)空間理論中的一些粗糙集方法。

粗糙集理論（rough set theory，RST）由Pawlak［45］于1982年提出，為處理不精確、不完整信息與知識(shí)提供了重要數(shù)學(xué)框架。粗糙集理論本源植根于結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)建模，其方法論核心在于通過(guò)等價(jià)類(lèi)劃分的形式化機(jī)制實(shí)現(xiàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)。該理論通過(guò)建立基于不可區(qū)分關(guān)系的近似空間，運(yùn)用上（下）近似算子量化分類(lèi)不確定性，構(gòu)建了基于邊界域分析的可計(jì)算知識(shí)提取框架。經(jīng)典Pawlak粗糙集模型的核心理論基礎(chǔ)是建立于近似空間所導(dǎo)出的對(duì)偶近似算子之上的。在經(jīng)典Pawlak模型中，設(shè)U是非空有限論域，RU×U是U上的二元等價(jià)關(guān)系，R稱(chēng)為不可分辨關(guān)系，序?qū)Γ║，R）稱(chēng)為Pawlak 近似空間。下近似算子和上近似算子分別定義如下： 對(duì)任意的XU，

R（X）={x∈U|［x］RX}，R（X）={x∈U|［x］R∩X≠}。

這里的關(guān)系作為等價(jià)關(guān)系存在，其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)特性雖保證了理論嚴(yán)謹(jǐn)性，但在實(shí)際應(yīng)用中呈現(xiàn)出顯著的局限性，這一特性促使近似算子的廣義定義成為粗糙集理論研究的關(guān)鍵方向。粗糙集理論擴(kuò)展研究主要存在兩種方法論路徑： 構(gòu)造化方法（參見(jiàn)文獻(xiàn)［47-52］）與公理化方法（參見(jiàn)文獻(xiàn)［53-55］）。前者以論域中具體數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（包括但不限于二元關(guān)系、劃分體系、覆蓋系統(tǒng)、鄰域系統(tǒng)及布爾子代數(shù)等）為構(gòu)建基礎(chǔ)，通過(guò)定義具體的近似算子來(lái)推導(dǎo)相應(yīng)的粗糙集代數(shù)系統(tǒng)。后者則從抽象算子公理體系出發(fā)，以滿(mǎn)足特定公理?xiàng)l件的一元集合算子對(duì)作為基本研究對(duì)象： 一方面，近似算子滿(mǎn)足的公理體系可保證對(duì)應(yīng)類(lèi)型二元關(guān)系的存在性； 另一方面，通過(guò)構(gòu)造性方法基于二元關(guān)系導(dǎo)出的近似算子必然滿(mǎn)足與之對(duì)應(yīng)的公理系統(tǒng)。這兩種方法論形成了理論擴(kuò)展研究的雙向進(jìn)路，共同推動(dòng)著粗糙集理論體系的發(fā)展。更詳細(xì)的粗糙集系統(tǒng)的基本理論可以參考文獻(xiàn)［56］。

事實(shí)上，這兩種方法前者是基于集合論的分析框架，后者為基于算子代數(shù)的抽象化描述體系。研究視角的差異性促使學(xué)者采用多元方法論路徑，由此衍生出多種具有理論擴(kuò)展性的粗糙集模型。值得關(guān)注的是，粗糙集理論在處理不確定性問(wèn)題時(shí)展現(xiàn)出獨(dú)特的理論特征——區(qū)別于概率統(tǒng)計(jì)、模糊集理論及證據(jù)理論等傳統(tǒng)不確定性分析方法。該理論無(wú)需依賴(lài)數(shù)據(jù)集之外的先驗(yàn)知識(shí)（如概率分布函數(shù)或隸屬度參數(shù)），從而在知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中保持更高的客觀性。然而，其內(nèi)在機(jī)制對(duì)原始數(shù)據(jù)的不精確性缺乏直接處理能力，這一理論局限恰與其他不確定性理論形成顯著的互補(bǔ)效應(yīng)。在此背景下，探究粗糙集理論與相關(guān)數(shù)學(xué)理論（包括但不限于概率論、模糊數(shù)學(xué)、證據(jù)理論）的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性與協(xié)同機(jī)制，已成為推動(dòng)不確定性分析領(lǐng)域發(fā)展的重要研究方向，相關(guān)成果將有效促進(jìn)跨學(xué)科方法論的融合創(chuàng)新。此外，經(jīng)典的Pawlak粗糙集還以各種方式得到了擴(kuò)展：

論域（universe）由單論域擴(kuò)展到雙論域。典型研究成果包括： Wu等［57］對(duì)廣義模糊粗糙集進(jìn)行了系統(tǒng)研究，其他學(xué)者亦對(duì)此議題展開(kāi)探討（參見(jiàn)文獻(xiàn)［58-60］）；Li［61］構(gòu)建了雙論域框架下的粗糙近似算子理論體系；Li等［62］進(jìn)一步探討了雙論域粗糙模糊近似算子的數(shù)學(xué)特性；Zhang等［63］系統(tǒng)闡述了雙論域廣義區(qū)間值模糊粗糙集的表征理論；Liu［64］提出基于雙論域結(jié)構(gòu)的粗糙集理論及其應(yīng)用模型；Ali等［65］深化了廣義粗糙集的數(shù)學(xué)性質(zhì)研究；Hu等［66］基于區(qū)間值模糊邏輯算子構(gòu)建了廣義區(qū)間值模糊粗糙集理論框架。這一系列研究標(biāo)志著雙論域粗糙集理論體系的逐步完善與深化發(fā)展。這一擴(kuò)展，在知識(shí)空間理論與粗糙集理論交叉研究中產(chǎn)生了將知識(shí)狀態(tài)看作是技能集在項(xiàng)目集中的上近似或下近似集的觀點(diǎn)。

研究對(duì)象經(jīng)歷了從分明集向模糊集的理論拓展進(jìn)程。模糊集是由Zadeh［67］在1965年提出的概念，經(jīng)過(guò)多年的理論發(fā)展，模糊集理論在不確定性建模領(lǐng)域同樣具有核心價(jià)值［68］。1990年，Dubois等［69］率先實(shí)現(xiàn)粗糙集與模糊集的方法整合，開(kāi)創(chuàng)性地提出了粗糙模糊集與模糊粗糙集理論體系。隨后，Nanda等［70］系統(tǒng)構(gòu)建了模糊粗糙集數(shù)學(xué)模型，而Moris等［71］則建立了模糊粗糙集的公理化體系。隨著模糊粗糙集理論的一系列建立，模糊集也從經(jīng)典的模糊集拓展到一些特殊的模糊集上。如Samanta等［72］深入探討了直覺(jué)模糊粗糙集與粗糙直覺(jué)模糊集的交互機(jī)理； Cornelis等［73］建立了直覺(jué)模糊粗糙集的形式化描述框架； Dubois等［74］成功將模糊粗糙集理論拓展至區(qū)間值模糊集合領(lǐng)域； Zhang［75］提出區(qū)間值直覺(jué)模糊粗糙集建模方法； Zhang［76］系統(tǒng)研究了區(qū)間二型粗糙模糊集的數(shù)學(xué)特征； Yang等［77］構(gòu)建了猶豫模糊粗糙集的構(gòu)造化方法與公理化體系； Wang［78］基于擴(kuò)展t-模運(yùn)算建立了二型模糊粗糙集理論框架； Yang等［79-80］創(chuàng)新性地提出基于模糊覆蓋的粗糙集模型。這一系列理論突破顯著拓展了粗糙集方法在復(fù)雜不確定性建模中的應(yīng)用邊界。

關(guān)系（relation）實(shí)現(xiàn)了從經(jīng)典等價(jià)關(guān)系向廣義關(guān)系、模糊關(guān)系［81］、支配關(guān)系［82］、區(qū)間值模糊關(guān)系［60］，以及二型模糊關(guān)系及區(qū)間值二型模糊關(guān)系［83］的理論拓展。其中模糊關(guān)系和L-模糊關(guān)系在知識(shí)空間理論與粗糙集理論交叉研究中有著重要應(yīng)用，它們可以通過(guò)上（下）近似算子生成多分知識(shí)結(jié)構(gòu)。其代表性研究成果包括： Radzikowska等［50］基于剩余格理論提出L-模糊粗糙集［84］概念； Greco等［85］深入探討了模糊粗糙集的數(shù)學(xué)性質(zhì)； Kondo［86］建立了廣義粗糙集的結(jié)構(gòu)化理論體系；Kotowski等［87］開(kāi)發(fā)了面向序分類(lèi)問(wèn)題的隨機(jī)支配粗糙集模型； Leung等［88］提出區(qū)間值信息系統(tǒng)下基于粗糙集的分類(lèi)規(guī)則發(fā)現(xiàn)方法； Zhang［89］系統(tǒng)闡述了廣義區(qū)間二型模糊粗糙集的表征理論； Du等［90-91］針對(duì)不完備序信息系統(tǒng)提出了基于支配關(guān)系的粗糙集方法及其在規(guī)則歸納中的應(yīng)用模型。作為對(duì)粗糙集概念的進(jìn)一步概括推廣，Qiao等［92］從構(gòu)造法和公理化方法兩方面提出基于剩余格（residuated lattice）和共同剩余格（co-residuated lattice）上的（⊙，amp;）-模糊粗糙集； Sun［93］討論了L-模糊近似算子的表示理論； Kondo［94］通過(guò)算子方法深入探討了L-模糊關(guān)系與L-正規(guī)算子的代數(shù)特性。這一系列突破性研究顯著拓展了粗糙集理論在多類(lèi)型關(guān)系建模中的適用邊界。

此外，算子上實(shí)現(xiàn)了從經(jīng)典合取/析取運(yùn)算向三角模與三角余模［63］以及擴(kuò)展型三角模/余模［95-96］等的方法演進(jìn)。由于這一部分目前沒(méi)有與知識(shí)空間理論上應(yīng)用的交叉研究，故而不做過(guò)多的介紹。將三角模與三角余模以及擴(kuò)展型三角模/余模等方法在知識(shí)空間理論找到相應(yīng)的背景意義，并應(yīng)用到知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)造上也是未來(lái)一個(gè)研究方向。

3 知識(shí)結(jié)構(gòu)的粗糙集模型與方法

近年來(lái)，隨著知識(shí)空間理論與粗糙集理論的交叉研究不斷深入，研究者發(fā)現(xiàn)了它們之間的緊密聯(lián)系。早在2009年，王國(guó)胤等［97］就指出： “粗糙集理論和知識(shí)空間理論都是研究知識(shí)結(jié)構(gòu)的理論； 但他們用于解決不同的實(shí)際問(wèn)題。粗糙集主要研究如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析及知識(shí)發(fā)現(xiàn)； 而知識(shí)空間著重對(duì)問(wèn)題集進(jìn)行分析，從而對(duì)個(gè)體知識(shí)狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估。如何將知識(shí)空間理論和粗糙集理論結(jié)合正在成為一個(gè)新的研究方向?！痹谥R(shí)空間理論中，技能映射的提出建立了知識(shí)狀態(tài)中技能要素與測(cè)試項(xiàng)目間的關(guān)聯(lián)機(jī)制。在技能映射中，可能還存在著冗余的技能，即使約簡(jiǎn)掉這些技能也不會(huì)改變現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu)。粗糙集中屬性約簡(jiǎn)的思想促進(jìn)了知識(shí)空間理論中技能約簡(jiǎn)的研究。為此，Xu等［98］結(jié)合粗糙集屬性約簡(jiǎn)方法來(lái)尋找最小技能集。高純等［99］也給出了一種最小技能集的生成方法。

值得注意的是，Yao等［100］提出了一種基于集合論的?？臻g統(tǒng)一框架，用于整合粗糙集分析與知識(shí)空間理論中的粒結(jié)構(gòu)及近似方法。主要工作包括： 將粒定義為滿(mǎn)足特定條件的集合，通過(guò)邏輯語(yǔ)言和集合操作構(gòu)建多層次粒結(jié)構(gòu)，并形式化定義了?？臻g三元組； 基于等價(jià)關(guān)系劃分的粒空間，提出了上（下）近似算子，以可定義粒逼近任意集合，并給出了其性質(zhì)； 通過(guò)知識(shí)空間理論中的推測(cè)關(guān)系與推測(cè)系統(tǒng)構(gòu)建閉包結(jié)構(gòu)和知識(shí)空間，擴(kuò)展了粗糙集的近似方法，定義了非對(duì)偶的上（下）近似； 對(duì)比了兩類(lèi)理論在粒結(jié)構(gòu)構(gòu)建與近似機(jī)制上的共性與差異，揭示了?？臻g框架的通用性。Liu［101］通過(guò)整合經(jīng)典的知識(shí)空間理論與粗糙集理論，系統(tǒng)研究了粗糙集理論在知識(shí)結(jié)構(gòu)建模中的應(yīng)用，建立了知識(shí)空間理論與粗糙集、形式概念分析間的理論關(guān)聯(lián)。主要工作包括： 利用上（下）近似算子刻畫(huà)知識(shí)結(jié)構(gòu)的代數(shù)特性，證明了知識(shí)空間、閉包空間可被詮釋為個(gè)體技能集合在序列關(guān)系下的上近似與下近似集族生成，進(jìn)而將知識(shí)狀態(tài)重新定義為項(xiàng)目域中內(nèi)在技能集合的上（下）近似； 提出覆蓋約簡(jiǎn)算法，將最小技能映射問(wèn)題轉(zhuǎn)化為覆蓋約簡(jiǎn)問(wèn)題，應(yīng)用了粗糙集中屬性約簡(jiǎn)的思想實(shí)現(xiàn)了技能映射的優(yōu)化； 針對(duì)技能多映射的合取模型與析取模型，證明了知識(shí)結(jié)構(gòu)在并/交運(yùn)算下的封閉條件，解決了Falmagne等［6］提出的開(kāi)放性問(wèn)題； 通過(guò)形式背景構(gòu)建概念格，揭示了知識(shí)空間與Alexandroff拓?fù)?、單調(diào)伽羅瓦聯(lián)絡(luò)的深層對(duì)應(yīng)關(guān)系。

同時(shí)，隨著多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的理論研究取得顯著進(jìn)展，粗糙集理論中的方法與多分知識(shí)結(jié)構(gòu)是否也有相應(yīng)的聯(lián)系得到了人們的關(guān)注。Wang等［102］提出了一種基于L-模糊S-近似算子構(gòu)建多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的方法。S-近似空間是經(jīng)典粗糙集的推廣，經(jīng)典粗糙集及其眾多擴(kuò)展如雙論域粗糙集，T-粗糙集，變精度粗糙集等，都可以由S-近似空間表示，S-近似空間定義如下：

S-近似空間是一個(gè)四元組G=（U，W，T，S），其中U和V是兩個(gè)非空有限論域，知識(shí)映射T：U→2W，決策映射S：2W×2W→{0，1}。設(shè)A是W的任意子集，A的下近似和上近似分別定義為

G（A）={x∈US（T（x），A）=1}， "G（A）={x∈US（T（x），Ac）=0}。

他們的主要工作包括： 將L-模糊集嵌入S-近似空間，定義了L-模糊S-近似算子，證明了其在Smin條件下滿(mǎn)足并、交運(yùn)算的封閉性及對(duì)偶性等關(guān)鍵性質(zhì)； 通過(guò)上（下）L-模糊S-近似算子生成多分知識(shí)（閉包）空間，刻畫(huà)了多分知識(shí)結(jié)構(gòu)； 提出四類(lèi)特殊L-模糊S-近似算子，將其與模糊技能映射結(jié)合，構(gòu)建了多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的析取模型與合取模型； 通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證模型的有效性，闡明模糊技能水平與問(wèn)題解決能力的映射關(guān)系； 最后，探討了前向分級(jí)與后向分級(jí)知識(shí)結(jié)構(gòu)的充要條件，擴(kuò)展了傳統(tǒng)KST在能力評(píng)估中的應(yīng)用。

變精度模型是粗糙集理論中的一種重要模型［103-107］。楊桃麗等［108-110］針對(duì)知識(shí)空間理論中傳統(tǒng)技能映射模型未充分考慮個(gè)體掌握技能數(shù)量差異的問(wèn)題，引入粗糙集中變精度模型，提出基于技能包含度的概念。即

設(shè)（Q，S，τ）是一個(gè)技能映射，對(duì)q∈Q，TS，稱(chēng)D（T/τ（q））=|τ（q）∩T||τ（q）|為關(guān)于q和T的技能包含度。然后依靠技能包含度的概念提出了α-變精度模型：

設(shè)（Q，S，τ）是一個(gè)技能映射，對(duì)q∈Q，TS，α∈（0，1］，由T通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)為

KαT={q∈Q|D（T/τ（q））≥α}。

對(duì)α∈（0，1］，顯然有Kα=，KαS=Q。因此，由技能映射（Q，S，τ）通過(guò)變精度α-模型誘導(dǎo)的所有知識(shí)狀態(tài)的集合構(gòu)成知識(shí)結(jié)構(gòu)。即

Kα={KαT|TS}。

這類(lèi)知識(shí)結(jié)構(gòu)的適用范圍更廣。其主要工作包括：提出技能包含度概念，定義為個(gè)體掌握的技能占問(wèn)題所需技能的比例，量化技能掌握程度，構(gòu)建變精度α-模型； 證明不同α值生成的知識(shí)結(jié)構(gòu)具有對(duì)偶性； 提出知識(shí)結(jié)構(gòu)間的序關(guān)系，刻畫(huà)其層次性與演化路徑； 設(shè)計(jì)算法自動(dòng)計(jì)算技能包含度集并生成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖； 基于COVID-19監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)表明，模型能靈活區(qū)分不同個(gè)體的知識(shí)狀態(tài)，生成對(duì)稱(chēng)且層次分明的知識(shí)結(jié)構(gòu)，驗(yàn)證了方法的有效性；討論了技能子集約簡(jiǎn)問(wèn)題。Xu等［111］則針對(duì)模糊技能映射在知識(shí)結(jié)構(gòu)建模中的局限性，將技能包含度這一概念擴(kuò)展到模糊技能映射上。即

設(shè)（Q，S，τ）為模糊技能映射。對(duì)q∈Q以及模糊技能集A，稱(chēng)

D（A/τq）={s∈S|0lt;τq（s）≤A（s）}{s∈S|τq（s）gt;0}

是關(guān)于τq和A的模糊技能包含度。其主要工作包括： 提出了模糊技能包含度的新概念，并構(gòu)建了變精度α-模型以細(xì)化知識(shí)狀態(tài)分類(lèi)； 通過(guò)定義技能包含度（即滿(mǎn)足最低要求的技能占比），量化了技能掌握水平，克服了模糊技能的析取與合取模型的極端約束； 基于包含度構(gòu)建了變精度α-模型，將知識(shí)結(jié)構(gòu)劃分為不同層次，證明了其有限性及對(duì)偶性質(zhì)，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了模型的有效性； 進(jìn)一步將該模型擴(kuò)展至模糊技能多映射，提出變精度α-能力模型，豐富了知識(shí)結(jié)構(gòu)的刻畫(huà)方式； 說(shuō)明了傳統(tǒng)析取與合取模型為該文模型的特殊情形。黃傳義等［112］則基于變精度α-模型提出了三種變精度γ-模型，探討了其構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，并研究了這些模型之間的聯(lián)系； 通過(guò)研究矩陣乘法與技能包含度的關(guān)系，提出了基于變精度模型的矩陣方法來(lái)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的方法。

4 未來(lái)研究方向

在粗糙集理論與知識(shí)空間理論交叉研究中，目前的研究問(wèn)題主要集中在通過(guò)技能約簡(jiǎn)尋找最小技能集、變精度模型構(gòu)造知識(shí)結(jié)構(gòu)，以及通過(guò)粗糙集近似算子構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)等。然而，還有許多粗糙集的方法并未引入到知識(shí)空間理論之中，許多有趣的問(wèn)題也亟待解決。例如，與技能約簡(jiǎn)相對(duì)應(yīng)，實(shí)際應(yīng)用中問(wèn)題（項(xiàng)目）集中也可能存在冗余問(wèn)題的情況，這可能導(dǎo)致學(xué)生做了許多重復(fù)的問(wèn)題而降低了學(xué)習(xí)效率。如何通過(guò)粗糙集理論的思想對(duì)相似或相近的問(wèn)題集進(jìn)行約簡(jiǎn)，刪除冗余問(wèn)題以精簡(jiǎn)構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并減少計(jì)算量，也是一個(gè)有意義的問(wèn)題。

此外，傳統(tǒng)知識(shí)空間理論研究多基于理想假設(shè)，即個(gè)體作答無(wú)粗心錯(cuò)誤或幸運(yùn)猜測(cè)。然而，實(shí)際學(xué)習(xí)中，觀測(cè)反應(yīng)與潛在知識(shí)狀態(tài)間的映射具有隨機(jī)性，粗心算錯(cuò)與幸運(yùn)猜對(duì)兩類(lèi)誤差不可避免，響應(yīng)（response）模式與真實(shí)的知識(shí)狀態(tài)會(huì)有誤差。Falmagne等［6］提出基于馬爾可夫鏈和潛在類(lèi)別模型（LCM）的概率化知識(shí)空間理論框架，將狀態(tài)概率與作答行為關(guān)聯(lián)，給出了概率知識(shí)結(jié)構(gòu)這一概念，建立了基本局部獨(dú)立模型（BLIM）。關(guān)于概率知識(shí)結(jié)構(gòu)與BLIM，知識(shí)空間理論中也有很多理論研究，參見(jiàn)文獻(xiàn)［113-115］。在粗糙集理論中，概率模型也是一類(lèi)重要問(wèn)題，如Slezak等［116］針對(duì)經(jīng)典粗糙集模型在概率信息處理上的局限性，提出基于先驗(yàn)概率的貝葉斯粗糙集模型，擴(kuò)展了變精度粗糙集框架，為非參數(shù)化概率粗糙集方法的研究提供了新思路與工具； Liu等［117］提出基于損失差異的四級(jí)概率規(guī)則選擇準(zhǔn)則，通過(guò)該準(zhǔn)則生成十類(lèi)概率粗糙集模型，形成雙向概率決策模型與三支概率決策模型兩組模型，通過(guò)優(yōu)化決策風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)建新框架； Ma等［118］提出了在一種雙論域概率粗糙集框架下的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)決策方法，擴(kuò)展了傳統(tǒng)單論域模型，建立了其與貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)決策的理論對(duì)應(yīng)關(guān)系，證明任意模型均存在匹配的最小風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題，并涵蓋單論域廣義概率粗糙集的特例。這兩種理論中的概率模型融合，也是一個(gè)有趣的研究方向，不但可以擴(kuò)展兩種理論的廣度，還會(huì)使得這兩種理論發(fā)展出更強(qiáng)的生命力。

5 結(jié)束語(yǔ)

知識(shí)空間理論（KST）與粗糙集理論（RST）作為認(rèn)知建模與不確定性分析的兩大數(shù)學(xué)框架，經(jīng)過(guò)四十年的發(fā)展，已形成較為系統(tǒng)的理論體系。文中首先系統(tǒng)梳理了KST在知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建這一核心問(wèn)題的研究進(jìn)展，主要包括： 知識(shí)結(jié)構(gòu)構(gòu)建范式從二分向多分體系的演進(jìn)，顯著拓展了教育診斷與認(rèn)知評(píng)估的應(yīng)用邊界； 多分知識(shí)空間理論框架的建立，為復(fù)雜知識(shí)層級(jí)建模提供了形式化工具； 基于技能映射的模型深化了知識(shí)狀態(tài)與技能習(xí)得的關(guān)聯(lián)分析。隨后，文中總結(jié)了RST的部分理論與方法，并探討了其在KST研究中的潛在應(yīng)用，特別是技能約簡(jiǎn)、變精度模型及基于粗糙集算子構(gòu)造知識(shí)結(jié)構(gòu)的方法。

當(dāng)前，該交叉研究領(lǐng)域正面臨跨學(xué)科方法論整合的需求，亟待結(jié)合形式概念分析、認(rèn)知診斷理論等工具，構(gòu)建更具適應(yīng)性的計(jì)算教育學(xué)框架。未來(lái)，粗糙集方法與多分知識(shí)空間理論的交叉融合研究或?qū)⒊晌磥?lái)突破重點(diǎn)。隨著人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展，相信該領(lǐng)域今后會(huì)涌現(xiàn)出更多、更好的KST與RST交叉創(chuàng)新方法，并在教育技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，為知識(shí)評(píng)估與個(gè)性化學(xué)習(xí)提供更加精準(zhǔn)和高效的數(shù)學(xué)工具。

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（責(zé)任編輯：" 黃仲一 "英文審校： 黃心中）

收稿日期： 2025-02-25

通信作者： 李進(jìn)金（1960-），男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事信息技術(shù)和不確定性的數(shù)學(xué)理論與方法的研究。 E-mail：jinjinlimnu @126.com。

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（12271191，11871259）； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2023J01122，2023J01125，2023J05175，2022J01306，2022J05169）

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