認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下構(gòu)建數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的教學(xué)探索*

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在有意識、有結(jié)構(gòu)的認(rèn)知構(gòu)建中去認(rèn)知與發(fā)現(xiàn)的過程，傳統(tǒng)教學(xué)活動知識“碎片化”、問題“孤立化”、活動“形式化”，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維建構(gòu)不完整。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維是一種復(fù)雜多維的思維活動，以直覺思維為基礎(chǔ)，以辨析思維為核心，以演繹、歸納、類比等思維為路徑。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維促進認(rèn)知關(guān)鍵能力的形成與發(fā)展，認(rèn)知結(jié)構(gòu)則為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維建構(gòu)?提供基本框架。教學(xué)中，將問題提出作為激活數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的起點，將觀察分析作為形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的節(jié)點，將策略應(yīng)用作為構(gòu)建數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的落點，建立教學(xué)的基本模型，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的形成與提升。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化教學(xué)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；發(fā)現(xiàn)性思維；數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2025）03-0115-06

數(shù)學(xué)知識是有結(jié)構(gòu)的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在有意識、有結(jié)構(gòu)的認(rèn)知構(gòu)建中獲得認(rèn)知發(fā)現(xiàn)的過程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)”）提出“設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，注重數(shù)學(xué)知識和方法的層次性和多樣性”。結(jié)構(gòu)包括三個層次：知識結(jié)構(gòu)、過程結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)[1]。教學(xué)中要以知識內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化和學(xué)習(xí)過程的結(jié)構(gòu)化來促進認(rèn)知建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化，從而系統(tǒng)地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維。

傳統(tǒng)教學(xué)活動中，知識“碎片化”、問題“孤立化”、活動“形式化”導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浮于表面，缺少建構(gòu)發(fā)現(xiàn)性思維的完整過程。數(shù)學(xué)源自對現(xiàn)實世界的抽象，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)深度解析數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的內(nèi)涵意蘊與生成機制，系統(tǒng)審視認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的價值，完整設(shè)計構(gòu)建沖突、積累素材、操作驗證的學(xué)習(xí)過程，將知識的被動傳授變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)下的主動發(fā)現(xiàn)。

一、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的內(nèi)涵意蘊與生成機制

“發(fā)現(xiàn)”是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。布魯納在研究中提出，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)是兩種不同的學(xué)習(xí)形式，前者應(yīng)注重學(xué)習(xí)過程，鼓勵學(xué)習(xí)者自主探究、實驗、觀察，從事實中歸納結(jié)論，獲得發(fā)現(xiàn)。因此，教學(xué)中應(yīng)構(gòu)建從對數(shù)學(xué)問題的初步感知，到對學(xué)習(xí)對象素材的深入分析，再到對規(guī)律的驗證的過程，使學(xué)生完整地體驗產(chǎn)生認(rèn)知的動機、加強直觀的感知、提煉數(shù)學(xué)的規(guī)律的學(xué)習(xí)過程[2]。

（一）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維是多維度的思維活動

形成數(shù)學(xué)認(rèn)知需要多種思維活動的有序參與，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維是一種復(fù)雜多維的思維活動，主要包含直覺思維、辨析思維、演繹思維、歸納思維、類比思維等形式?。

1.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維以直覺思維為基礎(chǔ)

“發(fā)現(xiàn)”是人類對自我的內(nèi)在及外在現(xiàn)象的認(rèn)知，是一種思維加工的行為表象，依賴于個人的直覺和洞察力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直覺思維能夠引導(dǎo)人們產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問題，為學(xué)習(xí)活動提供方向。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)構(gòu)筑真實有效的問題情境，激活學(xué)生的直覺思維，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生問題意識，形成認(rèn)知動機和探究視角[3]。

2.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維以辨析思維為核心

2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)提出會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達世界。那么，“會”從何而來？“會”應(yīng)從對數(shù)學(xué)素材的觀察與分析中產(chǎn)生。辨析思維是指學(xué)生基于學(xué)習(xí)內(nèi)容對數(shù)學(xué)概念和規(guī)律進行深入的剖析和辨別，明確它們的內(nèi)涵和外延以及它們之間的關(guān)系。教學(xué)中，教師要提供豐富多元的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生基于發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題尋求解決問題的方法，提取、驗證數(shù)學(xué)的規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與生活及客觀世界的關(guān)聯(lián)。

3.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維以演繹、歸納、類比等思維為路徑

演繹思維從一般性的原理或規(guī)律出發(fā)，推導(dǎo)出特殊情況的結(jié)論，強調(diào)從一般到特殊的推理過程；歸納思維通過對大量具體事例的觀察和分析，從復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中提煉出本質(zhì)特征，探索出一般性的結(jié)論和規(guī)律；類比思維則通過比較不同數(shù)學(xué)對象之間的相似性和差異性，提取關(guān)鍵要素，發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。演繹、歸納、類比等思維活動是催生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的策略性思維。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，教師要構(gòu)建清晰的由“感知”到“解析”再到“驗證”的路徑，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)知識的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇假設(shè)、分類、類比等不同的方法，進一步在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中驗證發(fā)現(xiàn)，并歸納基本思路與主要方法。

（二）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維存在線性的生成機制

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是對現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系、空間形式等進行抽象、概括和推理的結(jié)果。從最初認(rèn)識數(shù)字到理解簡單的數(shù)學(xué)運算，再到掌握更復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和方法，是逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的過程。從思維建構(gòu)的過程來看，數(shù)學(xué)的認(rèn)知活動主要包括矛盾產(chǎn)生、對象分析和驗證歸納三個基本節(jié)點。教學(xué)中應(yīng)以激活認(rèn)知需求為起點，促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知動機；以同類、遞進或逆向的素材比較分析為支點，強化學(xué)生的直觀感知；以驗證歸納為落點，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知與學(xué)習(xí)路徑。

1.以“如何引起發(fā)現(xiàn)”為起點，在問題激發(fā)中催生認(rèn)知動機

數(shù)學(xué)源于生活，來自生活實踐中解決實際問題時對規(guī)律和方法的需求。如何引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生困惑、發(fā)現(xiàn)問題是建構(gòu)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的起點。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的認(rèn)知需求入手，構(gòu)建沖突，激活學(xué)生的問題意識，進而尋求方法、總結(jié)規(guī)律。

2.以“通過什么發(fā)現(xiàn)”為支點，在素材分析中提取關(guān)鍵要素

2022版數(shù)學(xué)課標(biāo)提出用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，即在生活實際問題的解決中形成辨析、選擇及構(gòu)思的主觀判斷力。教學(xué)中，教師提供有效的學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生研讀分析，實現(xiàn)從直覺感知到理性分析的轉(zhuǎn)化。教師需要梳理學(xué)習(xí)對象，合理設(shè)計研究素材的模型，建構(gòu)直覺感知和理性分析的重要橋梁，幫助學(xué)生將抽象的知識具體化、形象化，從而更好地提取出學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)鍵要素。

3.以“怎樣驗證發(fā)現(xiàn)”為落點，在操作檢驗中完善學(xué)習(xí)策略

學(xué)生產(chǎn)生問題并進行理性分析之后，教師要在感知和分析的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進行驗證和總結(jié)，如在新舊知識的對比中激活認(rèn)知、在實踐檢驗中產(chǎn)生經(jīng)驗、在合作交流中研討方法等，靈活選擇假設(shè)、分類、類比等方式，進行檢驗、歸納、提取等活動，從而實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的深度發(fā)現(xiàn)。

二、認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的價值審視

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)習(xí)者在某一知識領(lǐng)域內(nèi)的全部觀念及其組織形式，反映學(xué)習(xí)者對該領(lǐng)域內(nèi)知識及知識之間的關(guān)聯(lián)和邏輯結(jié)構(gòu)的理解和掌握程度。認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維建構(gòu)有著密切關(guān)聯(lián)?。

（一）認(rèn)知結(jié)構(gòu)為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維建構(gòu)?提供基本框架?

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)包含了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識的理解和認(rèn)識方式，以及如何運用這些知識解決問題等思維模式。小學(xué)是數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展從具體運算向形式運算過渡的階段，教學(xué)方法的選擇直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)方式與認(rèn)知發(fā)展，因而，教師需要強化知識間的聯(lián)系，優(yōu)化知識呈現(xiàn)的方式，從而引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維。

?首先，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅往往始于問題的提出?，在情境中形成認(rèn)知沖突是起點。從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的角度來看，認(rèn)知沖突是指個體在遇到與原有知識體系不一致的新信息時，產(chǎn)生困惑與矛盾，原有認(rèn)知平衡被打破，激發(fā)了學(xué)習(xí)的動力。這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維產(chǎn)生的重要基礎(chǔ)。其次，學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要分析和處理學(xué)習(xí)素材，提取關(guān)鍵要素，產(chǎn)生認(rèn)知的遷移，以生成對概念或規(guī)律的初步感知。最后，驗證歸納是對數(shù)學(xué)探究發(fā)現(xiàn)的初步感知、猜想進行校驗的過程，同時也是對認(rèn)知過程進行復(fù)盤的行為。

（二）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維促進認(rèn)知關(guān)鍵能力的形成與發(fā)展

認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)活動對思維提升有著多維度、深層次的積極影響。一是能發(fā)展思維的抽象能力，建構(gòu)的學(xué)習(xí)活動要能激發(fā)學(xué)生的問題意識，培養(yǎng)學(xué)生在問題發(fā)現(xiàn)中抽象概括提取的能力；二是能發(fā)展思維的邏輯能力，學(xué)生在學(xué)習(xí)探究的過程中形成分析、解析的能力，能夠解析學(xué)習(xí)素材的關(guān)鍵特征與內(nèi)在聯(lián)系；三是能發(fā)展思維的批判特征，學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿炞C操作提取、提煉規(guī)律，從而形成客觀認(rèn)知和數(shù)學(xué)表達的能力。

數(shù)學(xué)眼光是有序生成的，并非生來就具備的，其產(chǎn)生需要歷經(jīng)經(jīng)驗的積累、素材的累加和內(nèi)在規(guī)律的總結(jié)[4]。要在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中強化問題意識，關(guān)鍵在于激發(fā)認(rèn)知沖突、引發(fā)疑問猜想，幫助學(xué)生更好地認(rèn)識客觀世界，形成自主觀察事物的視角與能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是發(fā)現(xiàn)問題、思考問題進而解決問題的一系列過程，是個體思維體驗、轉(zhuǎn)化的過程。細致觀察問題中的現(xiàn)象，嘗試從多個角度和層面去審視和分析學(xué)習(xí)對象，并找出其中的規(guī)律，是提升解析能力的重要步驟，數(shù)學(xué)思維中邏輯推理、抽象能力均以充分的觀察與分析為基礎(chǔ)。課堂教學(xué)應(yīng)該更多地創(chuàng)設(shè)生活化的情境，提高學(xué)習(xí)活動的實踐性、操作性[5]。教師引導(dǎo)學(xué)生在猜想中檢驗、在分類中歸納、在類比中提取，構(gòu)建從認(rèn)知的發(fā)現(xiàn)到知識的歸納的具體路徑，從而構(gòu)建“問題—探究—歸納”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維。

三、認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下培養(yǎng)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的教學(xué)路徑

結(jié)構(gòu)化教學(xué)強調(diào)知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的融通。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分解析數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯，以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展結(jié)構(gòu)為考量，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提供學(xué)習(xí)素材引發(fā)學(xué)生的假設(shè)與推理，學(xué)生最后經(jīng)由驗證而產(chǎn)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。這一過程可以梳理為構(gòu)建沖突、素材積累、操作驗證三個主要環(huán)節(jié)。

（一）構(gòu)建沖突：將問題提出作為激活數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的起點

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的產(chǎn)生源自學(xué)生對知識的理性分析，而認(rèn)知沖突則是學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知需求的基本動機[6]。在有效的問題情境中，學(xué)生會質(zhì)疑自己原來的認(rèn)知，產(chǎn)生深入思考和探究的需求，從而主動提出需要探究的新問題，形成新的理性認(rèn)知。

1.設(shè)計“沖突型”問題

設(shè)計“沖突型”問題是指在學(xué)生已有知識建構(gòu)的基礎(chǔ)上，設(shè)計合理情境，呈現(xiàn)現(xiàn)有知識點無法解決或者違背現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的問題類型，重點引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生“是什么”“為什么”的認(rèn)知沖突，進而指導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實際，嘗試解釋并解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，常見于概念知識類的教學(xué)活動中。

例如，在“負(fù)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，存在典型的認(rèn)知沖突，學(xué)生要在對自然數(shù)理解的基礎(chǔ)上，通過生活實際產(chǎn)生負(fù)數(shù)認(rèn)知的需求。常規(guī)教學(xué)一般通過引入“零下溫度”的概念，直接告知學(xué)生負(fù)數(shù)的存在，而不是引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)。教學(xué)中，教師可以同時呈現(xiàn)大量的實際情境，在“海拔”“溫度”“電梯樓層”等情境中設(shè)計問題表達，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和分析生活中有比“0”更小的數(shù)，從而引發(fā)主動認(rèn)知的需求。其主要特點是：以學(xué)生對自然數(shù)的理解和對比“0”更小的數(shù)的認(rèn)知沖突引發(fā)探索，代替“零下溫度”等內(nèi)容的直接告知。

2.設(shè)計“陷阱式”問題

設(shè)計“陷阱式”問題，主要指為學(xué)生設(shè)計的問題在臨近知識區(qū)和新知識之間存在相近、相似之處，打破學(xué)生直線的思維遷移。相近的場景及問題讓學(xué)生在思考中遭遇障礙及困惑，從而引導(dǎo)學(xué)生重新構(gòu)思問題解決的路徑，實現(xiàn)知識能力在更高維度的應(yīng)用拓展，常見于規(guī)律探究類的教學(xué)活動中。

例如，在“認(rèn)識3的倍數(shù)”教學(xué)中，首先，教師讓學(xué)生嘗試用已經(jīng)學(xué)過的判斷2、5的倍數(shù)的方法來尋找3的倍數(shù)并驗證，從而發(fā)現(xiàn)倍數(shù)判斷方法不一致，進行方法的直接遷移是不行的。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生使用10×10的方格表示1～100的數(shù)，對2、3、5的倍數(shù)涂色，完成規(guī)律探索。其主要特點是：通過“反向遷移”來促使學(xué)生另辟蹊徑，生成“不能只看個位”的認(rèn)知動機。

3.設(shè)計“不合理”問題

“不合理”主要指教師指導(dǎo)學(xué)生解決實際問題時，設(shè)計非常規(guī)性、非公平性的問題情境，激發(fā)學(xué)生“公平性競爭（游戲）”的意識，從而引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生探究動機，在教學(xué)問題解決、數(shù)據(jù)統(tǒng)計、綜合與實踐探索等內(nèi)容時適用。

例如，在“認(rèn)識平均數(shù)”單元教學(xué)中，教師在教材提供的投籃比賽的素材基礎(chǔ)上，邀請學(xué)生當(dāng)“小裁判”，判定投籃命中率。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，單人比賽只需要比較投中個數(shù)的多少即可，但是，在團體比賽中每隊參賽人數(shù)不同的情況下，通過求和來比較存在“不合理”性，從而產(chǎn)生公平判斷的現(xiàn)實需求。其主要特點是：以游戲或活動的公平性、合理性為切入點，自然激發(fā)學(xué)生對平均數(shù)的需求，以數(shù)學(xué)的美學(xué)本質(zhì)喚醒學(xué)生的理性思考。

（二）素材累積：將觀察分析作為形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的節(jié)點

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動產(chǎn)生的經(jīng)驗的累積，而經(jīng)驗的累積依賴于豐富素材的感知與積累。為此，教師需要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的感知活動，學(xué)生通過充分的體驗和多層的思考，形成并提升主動發(fā)現(xiàn)的意識和能力。

1.提供“同類型”素材

提供同類型的素材，“觸類旁通、舉一反三”，讓學(xué)生積累感知、比較與加工的經(jīng)驗，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成發(fā)現(xiàn)的最基本方式。在分析、比較、概括等學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)共通，提取數(shù)學(xué)概念與規(guī)律。

例如，在“乘法的交換律和結(jié)合律”教學(xué)中，教材在加法交換律和結(jié)合律的基礎(chǔ)上進行延伸，知識結(jié)構(gòu)相同，學(xué)習(xí)過程可以自然遷移累積。在學(xué)習(xí)了加法交換律和結(jié)合律之后，教師可以讓學(xué)生在與加法完全相同的框架下，自行舉例對比，并以“小老師”的視角，自己出題，形成同框架知識的積累。其主要特點是：在教學(xué)框架完全相同或近乎相同的知識時，將多項素材進行對比，放手讓學(xué)生比較、分析和驗證。

2.提供“遞進式”素材

“從淺入深、由易到難”，遞進式的素材積累注重數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性，在處理難度較深或關(guān)聯(lián)較多的知識類型時，采取層層相扣的遞進式感知方式。在教學(xué)中，教師可以梳理本課知識點相關(guān)的“前知”，進行有效的鋪墊和滲透，促進學(xué)生認(rèn)知自然遷移。

例如，在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”一課中，教師關(guān)聯(lián)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的通分”和“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的知識點，引導(dǎo)學(xué)生探究算理。學(xué)生通過“圖示表征”的方式，具象地表達通分的過程，從1/3和1/4圖示的基礎(chǔ)上，進一步表征1/3和1/4相加的過程，形成對3個不同層次的知識點的“一圖”表示。其主要特點是：通過數(shù)形結(jié)合的圖示表征，學(xué)生線性地呈現(xiàn)關(guān)聯(lián)遞進的知識鏈，由淺入深地提取關(guān)鍵要素。

3.提供“逆向式”素材

“更換角度、逆向思考”的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性。在教學(xué)方式上采取逆向推理的形式，如“逆運算”“倒推法”的教學(xué)，是在學(xué)生正向思考難度過大或過于復(fù)雜的情況下，轉(zhuǎn)換思路從后往前看，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維進行思考的一種教學(xué)方式。

例如，在“解稍復(fù)雜的方程”教學(xué)中，通過“逆運算”轉(zhuǎn)換的方法，來解決未知數(shù)在“減數(shù)”或“除數(shù)”位上的方程。未知數(shù)在“減數(shù)”或“除數(shù)”位上的方程，一直是解方程中錯誤率最高的部分。教師由“5-3=2”可以看成“3+2=5”，引導(dǎo)學(xué)生思考“5-（）=2”的逆運算是什么，從而形成問題轉(zhuǎn)化的視角。其主要特點是：通過“逆運算”轉(zhuǎn)換的方法，學(xué)生反向思考，化繁為簡，從而發(fā)現(xiàn)共通之處。

（三）操作驗證：將策略應(yīng)用作為構(gòu)建數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的落點

小學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)偏向于具象認(rèn)知，驗證推理及分類歸納等方法是小學(xué)生認(rèn)知發(fā)現(xiàn)的主要路徑。因此，教師要構(gòu)建運用演繹、歸納、類比等不同思維的教學(xué)模型，讓學(xué)生從知識的感知過渡到知識的歸納，從而形成完整的發(fā)現(xiàn)過程。

1.進行“猜想—檢驗”

經(jīng)歷由引發(fā)猜想到嘗試驗證的數(shù)學(xué)探究過程是驗證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)最為基本的方式。學(xué)生根據(jù)已知的一般規(guī)律或者明確的某一同類概念，對所學(xué)習(xí)內(nèi)容進行猜想，通過正向舉例驗證或反向舉例排除的方式進行驗證。

例如，“三角形的內(nèi)角和”具備典型的“猜想－檢驗”結(jié)構(gòu)，3個角度數(shù)的和是180度是容易觀察的結(jié)果，但為什么等于180度卻不易感知。教師可以設(shè)計先“舉例驗證”再“推理驗證”的步驟，從常用的2個三角尺來引出三角形的內(nèi)角和為180度，進而引導(dǎo)學(xué)生提出“是否所有三角形的內(nèi)角和都是180度”的猜想并設(shè)計驗證。其主要特點是：由簡單可得，到提出猜想、檢驗、再猜想、再檢驗，經(jīng)過兩個層次的驗證，形成完整的思維過程。

2.進行“分類—歸納”

分類是人類的一種基本能力，由分類到歸納是一種從特殊到一般的思考過程。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，分類就是提取相同屬性，區(qū)分不同屬性的過程。在這個過程中形成或感知分類標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)歸納的重要途徑，也是產(chǎn)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最為常見的一種方式。

例如，在“三角形的分類”中，教師出示不同種類的三角形，先讓學(xué)生根據(jù)直觀分類，初步感知分類標(biāo)準(zhǔn)，測量后再分類。通過兩次分類，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了分類規(guī)則。第一次分類是根據(jù)直觀感受，在未明確“按角分”“按邊分”的基礎(chǔ)上，經(jīng)過討論初步感知分類的標(biāo)準(zhǔn)。第二次則在提出標(biāo)準(zhǔn)的情況下，測量數(shù)據(jù)并分類，屬于驗證分類。其主要特點是：由感知到驗證，主動提煉關(guān)鍵要素。

3.進行“類比—提取”

類比注重的是學(xué)生在臨近知識區(qū)域之間的推理探究能力，是在分類歸納的基礎(chǔ)上，相近知識屬性之間實現(xiàn)遷移，主要體現(xiàn)的是從特殊到特殊的思考路徑。學(xué)生形成“類比—提取”的數(shù)學(xué)探究能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從被動轉(zhuǎn)向主動的重要步驟。

例如，在“分?jǐn)?shù)的約分、通分”教學(xué)中，教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生探索分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與商不變規(guī)律的類比，分?jǐn)?shù)約分、通分與商不變規(guī)律應(yīng)用的類比。如“1/2=2/4”與“2÷1=4÷2”有什么異同，用了什么規(guī)律。其主要特點是：學(xué)生感受分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)與商不變規(guī)律的一致性，主觀提取要素，形成數(shù)學(xué)概念的類比累積。

認(rèn)知結(jié)構(gòu)視域下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)摒棄唯結(jié)果的教學(xué)觀念，教師不應(yīng)以單一的知識向下傳遞作為教學(xué)目的。課堂教學(xué)中要充分考慮學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)性思維的建構(gòu)與提升，設(shè)計基本環(huán)節(jié)，并選擇合適的教學(xué)模型，充分激活數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主動發(fā)現(xiàn)的視角與能力，讓學(xué)生在有猜想、有解析、有驗證的邏輯建構(gòu)中習(xí)得有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)知識，在有結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)過程中形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]王翠.以結(jié)構(gòu)化教學(xué)化數(shù)學(xué)知識為數(shù)學(xué)素養(yǎng)[J].江蘇教育，2022（89）：71-72.

[2]趙榮華，曹慧.創(chuàng)設(shè)情境任務(wù)：營造小學(xué)數(shù)學(xué)連“境”成“脈”的學(xué)場[J].江蘇教育研究，2024（12）：99-103.

[3]張定強，馮敏.學(xué)會發(fā)現(xiàn)：學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要議題[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（4）：4-6.

[4]陸立海.深度體驗：開啟兒童數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”的密碼[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（19）：3-5.

[5]邱秋華.學(xué)習(xí)力與生活力的關(guān)系[J].基礎(chǔ)教育研究，2020（24）：6-7.

[6]戴艷玲.行為數(shù)學(xué)：培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)“三力”的教學(xué)轉(zhuǎn)向[J].江蘇教育，2020（1）：42-46.

責(zé)任編輯：殷偉