Ding模范疇上的模型結(jié)構(gòu)

設(shè)R為有單位元的結(jié)合環(huán)，首先證明Ding投射維數(shù)有限的R-模范疇DP^lt;∞（R）和Ding內(nèi)射維數(shù)有限的R-模范疇DI^lt;∞（R）為冪等完備正合范疇，其次分別構(gòu)造DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）中的正合模型結(jié)構(gòu)，并證明這2個(gè)模型范疇的同倫范疇，分別三角等價(jià)于Ding投射模的穩(wěn)定范疇DP（R）和Ding內(nèi)射模的穩(wěn)定范疇DI（R）.

Ding投射模; Ding內(nèi)射模; 模型結(jié)構(gòu); 穩(wěn)定范疇

O154

A

0422-05

03.014

貫穿全文，所有環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，若無(wú)特別說(shuō)明，所有模均指左模.設(shè)R為環(huán)，用Mod（R）表示左R-模類，分別用P（R）（F（R）、I（R）、FI（R）、GP（R）、GI（R）、DP（R）、DI（R））表示投射（平坦、內(nèi)射、FP-內(nèi)射、Gorenstein投射、Gorenstein內(nèi)射、Ding投射、Ding內(nèi)射）模類，分別用pdRM（fdRM、idRM、FP-idRM）表示R-模M的投射（平坦、內(nèi)射、FP-內(nèi)射）維數(shù)，分別用P^lt;∞（R）（F^lt;∞（R）、I^lt;∞（R）、FI^lt;∞（R）GP^lt;∞（R）、GI^lt;∞（R）、DP^lt;∞（R）、DI^lt;∞（R））表示投射（平坦、內(nèi)射、FP-內(nèi)射、Gorenstein投射、Gorenstein內(nèi)射、Ding投射、Ding內(nèi)射）維數(shù)有限的模類.

1967年，Quillen^[1]提出了模型范疇的概念.一個(gè)Abel范疇A上的模型結(jié)構(gòu)是指滿足一些性質(zhì)的3類態(tài)射，分別稱為（平凡）余纖維化、（平凡）纖維化和弱等價(jià).一個(gè)模型范疇是指具有模型結(jié)構(gòu)的雙完備范疇.2002年，Hovey^[2]發(fā)現(xiàn)Abel范疇A上的模型結(jié)構(gòu)與A中對(duì)象類的三元組（C，W，F(xiàn)）有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中W為thick類（W對(duì)直和項(xiàng)封閉且W中任意短正合列滿足2-out-of-3性質(zhì)），（C∩W，F(xiàn)）和（C，W∩F）為A中的完備余撓對(duì).將滿足上述2個(gè)條件的三元組（C，W，F(xiàn)）稱為A中的Hovey三元組.一個(gè)范疇A上的模型結(jié)構(gòu)可以由Hovey三元組（C，W，F(xiàn)）決定，其中，C為余纖維對(duì)象類，F(xiàn)為纖維對(duì)象類，W為平凡對(duì)象類，其模型結(jié)構(gòu)中的（平凡）余纖維化是單態(tài)射且余核為（平凡）余纖維對(duì)象，（平凡）纖維化是滿態(tài)射且核為（平凡）纖維對(duì)象，弱等價(jià)是可分解為平凡余纖維化和平凡纖維化復(fù)合的態(tài)射.如果完備余撓對(duì)（C∩W，F(xiàn)）和（C，W∩F）還是遺傳的，則稱（C，W，F(xiàn)）為遺傳Hovey三元組.2011年，Gillespie^[3]定義了正合范疇上的模型結(jié)構(gòu)，證明了在（弱）冪等完備正合范疇A上的模型結(jié)構(gòu)與A中的Hovey三元組（C，W，F(xiàn)）一一對(duì)應(yīng).

稱雙邊諾特且左右自內(nèi)射維數(shù)有限的環(huán)為Gorenstein環(huán).2002年，Hovey^[2]在Gorenstein環(huán)R上構(gòu)造了Mod（R）中的2種模型結(jié)構(gòu)（GP（R），P^lt;∞（R），Mod（R））和（Mod（R），I^lt;∞（R），GI（R））.稱雙邊凝聚且左右自FP-內(nèi)射維數(shù)有限的環(huán)為Ding-Chen環(huán).2010年，Gillespie^[4]在Ding-Chen環(huán)R上構(gòu)造了Mod（R）中的2種模型結(jié)構(gòu)（DP（R），F(xiàn)^lt;∞（R），Mod（R））和（Mod（R），F(xiàn)I^lt;∞（R），DI（R））.由文獻(xiàn)[5]知，當(dāng)R為Gorenstein環(huán)時(shí)，Mod（R）=GP^lt;∞（R）=GI^lt;∞（R），所以Gorenstein環(huán)R上Mod（R）中的2種模型結(jié)構(gòu)可以分別轉(zhuǎn)化為一般環(huán)R上冪等完備正合范疇GP^lt;∞（R）和GI^lt;∞（R）中的正合模型結(jié)構(gòu)（GP（R），P^lt;∞（R），GP^lt;∞（R））和（GI^lt;∞（R），I^lt;∞（R），GI（R）），參見(jiàn)文獻(xiàn)[6].眾所周知，凝聚環(huán)是諾特環(huán)的推廣，所以Ding-Chen環(huán)是Gorenstein環(huán)的推廣.但當(dāng)R為Ding-Chen環(huán)時(shí)，由文獻(xiàn)[7]知，Mod（R）=DP^lt;∞（R）=DI^lt;∞（R）不一定成立.

受以上研究的啟發(fā)，本文分別構(gòu)造了一般環(huán)R上DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）中的正合模型結(jié)構(gòu).證明了三元組（DP（R），F(xiàn)^lt;∞（R），DP^lt;∞（R））為冪等完備正合范疇DP^lt;∞（R）中的遺傳Hovey三元組，其模型范疇的同倫范疇三角等價(jià)于Ding投射模的穩(wěn)定范疇.證明了三元組（DI^lt;∞（R），F(xiàn)I^lt;∞（R），DI（R））為冪等完備正合范疇DI^lt;∞（R）中的遺傳Hovey三元組，其模型范疇的同倫范疇三角等價(jià)于Ding內(nèi)射模的穩(wěn)定范疇.

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1^[5]

設(shè)X、Y是R-模類.記

⊥Y={M∈Mod（R）|Ext1R（M，B）=0，B∈Y}，

X⊥={M∈Mod（R）|Ext1R（A，M）=0，A∈X}，

稱對(duì)子（X，Y）是余撓對(duì)，如果X⊥=Y且⊥Y=X.稱余撓對(duì)（X，Y）是完備的，如果對(duì)每個(gè)R-模M，存在短正合列

0→B→A→M→0

和

0→M→B′→A′→0，其中，B，B′∈Y，A，A′∈X.稱余撓對(duì)（X，Y）是遺傳的，如果對(duì)任意A∈X，B∈Y，有Ext^i≥1R（A，B）=0.

定義 2^[4]

1） 稱R-模M為Ding投射模，如果存在投射R-模的正合序列

P=…→P0→P1→P0→P1→…，

使得Mker（P0→P1）且對(duì)任意F∈F（R），序列HomR（P，F(xiàn)）仍正合.用DP（R）表示Ding投射R-模類.

2） 稱R-模N為Ding內(nèi)射模，如果存在內(nèi)射R-模的正合序列

I=…→I1→I0→I0→I1→…，

使得Nker（I0→I1）且對(duì)任意E∈FI（R），序列HomR（E，I）仍正合.用DI（R）表示Ding內(nèi)射R-模類.

引理 1^[8]

DP（R）和DI（R）關(guān)于直和項(xiàng)封閉.

引理 2^[9]

1） 設(shè)M為Ding投射模，則以下結(jié)論成立：

（i） 對(duì)任意平坦維數(shù)有限的R-模L，有

Ext^i≥1R（M，L）=0.

（ii） M為投射?；騠dRM=∞.

2） 設(shè)N為Ding內(nèi)射模，則以下結(jié)論成立：

（i） 對(duì)任意FP-內(nèi)射維數(shù)有限的R-模E，有Ext^i≥1R（E，N）=0.

（ii） N為內(nèi)射?；騀P-idRN=∞.

定義 3^[10]

1） 設(shè)M是任意R-模，M的Ding投射維數(shù)定義為

DpdRM=inf{n|存在正合列0→Gn→…→

G1→G0→M→0，其中Gi∈DP（R）}.

若不存在這樣的n，則記DpdRM=∞.用DP^lt;∞（R）表示Ding投射維數(shù)有限的R-模類.

2） 設(shè)N是任意R-模，N的Ding內(nèi)射維數(shù)定義為

DidRN=inf{n|存在正合列0→N→E0→E1→…→En→0，其中Ei∈DI（R）}.

若不存在這樣的n，則記DidRN=∞.用DI^lt;∞（R）表示Ding內(nèi)射維數(shù)有限的R-模類.

注 1

由于投射模是Ding投射模，因此

DpdRM≤pdRM.特別地，當(dāng)pdRMlt;∞時(shí)，等號(hào)成立.類似地，由于內(nèi)射模是Ding內(nèi)射模，因此DidRN≤idRN.特別地，當(dāng)idRNlt;∞時(shí)，等號(hào)成立.

定義 4^[11]

設(shè)X為R-模類，M為R-模.M的X-預(yù)覆蓋是一個(gè)R-同態(tài)φ：X→M，其中X∈X，使得對(duì)所有X′∈X，序列

HomR（X′，X）HomR（X′，φ）HomR（X′，M）→0

正合.（對(duì)偶地，可定義M的X-預(yù)包絡(luò)）.

引理 3^[11]

1） 設(shè)M為R-模.若DpdRM=nlt;∞，則M存在滿的DP-預(yù)覆蓋φ：GM，使得K=ker（φ）滿足pdRK=n－1.（如果n=0，則K=0）.

2） 設(shè)N為R-模.若DidRN=nlt;∞，則N存在單的DI-預(yù)包絡(luò)ψ：NH，使得L=coker（ψ）滿足idRL=n－1.（如果n=0，則L=0）.

引理 4

1） 設(shè)M為R-模，且DpdRMlt;∞，若M∈DP（R）⊥，則pdRM=DpdRM.

2）設(shè)N為R-模，且DidRNlt;∞，若N∈⊥DI（R），則idRN=DidRN.

證明

只證明1），2）的證明和1）類似.設(shè)DpdRM=n，則由引理3的1）可得短正合列

0→K→A′→M→0，

其中，A′∈DP（R），pdRK=n－1.因?yàn)锳′∈DP（R），所以由定義可得短正合列

0→A′→Q→A→0，

其中，Q∈P（R），A∈DP（R）.考慮下列推出圖：

00

0KA′M0

0KQH0

AA

00

由最中間一行可知

pdRH=pdRK+1=n，即H∈P^lt;∞（R）.又由假設(shè)可得Ext1R（A，M）=0，即短正合列

0→M→H→A→0

（1）

可裂，所以HMA.因?yàn)镻^lt;∞（R）對(duì)直和項(xiàng)封閉，所以pdRMlt;∞，因此pdRM=DpdRM.

2 主要結(jié)果

本節(jié)首先證明DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）為冪等完備正合范疇，其次構(gòu)造這2個(gè)范疇中的正合模型結(jié)構(gòu)，并且證明這2個(gè)模型范疇的同倫范疇，分別三角等價(jià)于Ding投射模的穩(wěn)定范疇和Ding內(nèi)射模的穩(wěn)定范疇.

引理 5

1） DP^lt;∞（R）∩F^lt;∞（R）=P^lt;∞（R）.

2） DI^lt;∞（R）∩FI^lt;∞（R）=I^lt;∞（R）.

證明

只證明1），2）的證明和1）類似.首先證明“”：設(shè)M∈DP^lt;∞（R）∩F^lt;∞（R），且DpdRM=n，則存在正合列

0→Kn→Pn－1→…→P1→P0→M→0，

其中，Pi∈P（R）（i=0，1，…，n－1），Kn∈DP（R）.因?yàn)閒dRMlt;∞，所以fdRKnlt;∞，則由引理2的1）（ii）知Kn∈P（R），因此pdRM≤n，故M∈P^lt;∞（R）.

其次證明“”：設(shè)M∈P^lt;∞（R），因?yàn)镻（R）DP（R）且P（R）F（R），所以DpdRM≤pdRM且fdRM≤pdRM，所以M∈DP^lt;∞（R）且M∈F^lt;∞（R），故M∈DP^lt;∞（R）∩F^lt;∞（R）.

注 2

稱A為Frobenius范疇，如果A是具有足夠多投射對(duì)象和足夠多內(nèi)射對(duì)象的正合范疇，并且投射對(duì)象和內(nèi)射對(duì)象一致.對(duì)任意的Frobenius范疇A，其穩(wěn)定范疇A為商范疇A/～，這里“～”的定義是：設(shè)f＼，g為范疇A中任意2個(gè)態(tài)射，若它們的差f－g可以通過(guò)投射-內(nèi)射對(duì)象分解，則f～g.由文獻(xiàn)[12]知，F(xiàn)robenius范疇的穩(wěn)定范疇可以作成三角范疇.因?yàn)镈P（R）（DI（R））為投射（內(nèi)射）可解類，所以DP（R）（DI（R））按照通常的正合結(jié)構(gòu)構(gòu)成正合范疇.

下面證明DP（R）（DI（R））為Frobenius范疇.

命題 1

1） DP（R）為Frobenius范疇，其投射-內(nèi)射對(duì)象為所有投射R-模.特別地，DP（R）的穩(wěn)定范疇DP（R）是三角范疇.

2） DI（R）為Frobenius范疇，其投射-內(nèi)射對(duì)象為所有內(nèi)射R-模.特別地，DI（R）的穩(wěn)定范疇DI（R）是三角范疇.

證明

只證明1），2）的證明和1）類似.取DP（R）中任意短正合列0→X→Y→Z→0.因?yàn)閷?duì)任意投射左R-模P，有

Ext1R（P，X）=0=Ext1R（Z，P），

所以由長(zhǎng)正合序列引理得

HomR（P，Y）→HomR（P，Z）→Ext1R（P，X）=0，

HomR（Y，P）→HomR（X，P）→Ext1R（Z，P）=0.

因此，投射R-模在DP（R）中既是投射對(duì)象又是內(nèi)射對(duì)象.對(duì)任意X∈DP（R），根據(jù)定義，存在R-模的短正合序列

0→X′→P′→X→0

和

0→X→P″→X″→0，其中，P′，P″∈P（R），X′，X″∈DP（R）.因此，正合范疇DP（R）具有足夠多的投射對(duì)象和足夠多的內(nèi)射對(duì)象，故DP（R）為Frobenius范疇，其穩(wěn)定范疇DP（R）是三角范疇.

引理 6

DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）為冪等完備正合范疇.

證明

首先由文獻(xiàn)[11]的命題2.3知，DP^lt;∞（R）對(duì)擴(kuò)張封閉，所以DP^lt;∞（R）為正合范疇.此外，由文獻(xiàn)[11]的定理2.3知，DP^lt;∞（R）對(duì)直和項(xiàng)封閉，所以DP^lt;∞（R）為冪等完備正合范疇.類似地，可證明DI^lt;∞（R）也為冪等完備正合范疇.

注 3

設(shè)A為具有正合模型結(jié)構(gòu)（C，W，F(xiàn)）的弱冪等完備正合范疇，根據(jù)文獻(xiàn)[3]的命題5.2（4）知，Acf=C∩F是Frobenius范疇，其投射-內(nèi)射對(duì)象為C∩W∩F.對(duì)任意對(duì)象M，N∈Acf，根據(jù)文獻(xiàn)[3]的命題4.4（5）知，任意2個(gè)態(tài)射f，g：M→N在A中同倫，當(dāng)且僅當(dāng)它們的差f－g可以通過(guò)

C∩W∩F分解.因此，結(jié)合注2知Acf/～=Acf，故Acf/～具有自然的三角結(jié)構(gòu).此外，根據(jù)文獻(xiàn)[13]的推論1.2.7及其定理1.2.10（i）知，包含Acf→A誘導(dǎo)了等價(jià)Acf/～→Ho（A），這里的Ho（A）為模型范疇A的同倫范疇（即，弱等價(jià)的局部化）.通過(guò)等價(jià)，同倫范疇Ho（A）具有三角結(jié)構(gòu).因此，等價(jià)

Ho（A）Acf/～是三角等價(jià).

下面通過(guò)Hovey對(duì)應(yīng)來(lái)構(gòu)造DP^lt;∞（R）和DI^lt;∞（R）中的正合模型結(jié)構(gòu).

定理 1

1） 設(shè)A=DP^lt;∞（R），則三元組（DP（R），F(xiàn)^lt;∞（R），DP^lt;∞（R））為冪等完備正合范疇A中的遺傳Hovey三元組，并且模型范疇A的同倫范疇三角等價(jià)于Ding投射模的穩(wěn)定范疇，即

Ho（A）DP（R）.

2） 設(shè)B=DI^lt;∞（R），則三元組（DI^lt;∞（R），F(xiàn)I^lt;∞（R），DI（R））為冪等完備正合范疇B中的遺傳Hovey三元組，并且模型范疇B的同倫范疇三角等價(jià)于Ding內(nèi)射模的穩(wěn)定范疇，即

Ho（B）DI（R）.

證明

只證明1），2）的證明和1）類似.顯然，F(xiàn)^lt;∞（R）為thick類，下面需要證明

（DP（R），F(xiàn)lt;∞（R）∩DPlt;∞（R））

和

（DP（R）∩Flt;∞（R），DPlt;∞（R））

為DP^lt;∞（R）中的完備遺傳余撓對(duì).

由引理5知

DP^lt;∞（R）∩F^lt;∞（R）=P^lt;∞（R）.

由引理2的1）（ii）知，若M∈DP（R）且fdRMlt;∞，則M∈P（R）.因此，只需證明（DP（R），P^lt;∞（R））和（P（R），DP^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的完備遺傳余撓對(duì).

首先證明（DP（R），P^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的完備遺傳余撓對(duì).由引理2的1）（i）知，對(duì)任意G∈DP（R），A∈P^lt;∞（R），有Ext^i≥1R（G，A）=0.因此，得到

DP（R）⊥P^lt;∞（R）

和

P^lt;∞（R）DP（R）⊥.下證DP（R）⊥P^lt;∞（R）.設(shè)M∈⊥P^lt;∞（R），因?yàn)镈pdRMlt;∞，所以由引理3知，存在短正合列

0→A→G→M→0，

（2）

其中，G∈DP（R），A∈P^lt;∞（R）.由假設(shè)可得

Ext1R（M，A）=0，所以短正合列（2）可裂，則GAM.又由引理1知，DP（R）對(duì)直和項(xiàng)封閉，故M∈DP（R）.所以得到

DP（R）=⊥P^lt;∞（R）.

下證P^lt;∞（R）DP（R）⊥.設(shè)M∈DP（R）⊥，因?yàn)镈pdR（M）lt;∞，所以由引理4知pdRM=DpdRM，則M∈P^lt;∞（R）.因此，得到P^lt;∞（R）=DP（R）⊥，故（DP（R），P^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的遺傳余撓對(duì).對(duì)任意M∈DP^lt;∞（R），由短正合列（1）和（2）的存在性可得余撓對(duì)（DP（R），P^lt;∞（R））的完備性.

其次證明（P（R），DP^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的完備遺傳余撓對(duì).因?yàn)閷?duì)任意P∈P（R），A∈DP^lt;∞（R），有Ext^i≥1R（P，A）=0，所以得到

DP^lt;∞（R）P（R）⊥

和

P（R）⊥DP^lt;∞（R）.

考慮在DP^lt;∞（R）內(nèi)，總有DP^lt;∞（R）P（R）⊥，故

DP^lt;∞（R）=P（R）⊥.

下證P（R）⊥DP^lt;∞（R）." 設(shè)M∈⊥DP^lt;∞（R），對(duì)M進(jìn)行投射分解，則存在短正合列

0→A→P→M→0，

（3）

其中，P∈P（R）.因?yàn)镸∈DP^lt;∞（R），所以由文獻(xiàn)[11]的命題2.3知A∈DP^lt;∞（R）.由假設(shè)可得Ext1R（M，A）=0，所以短正合列（3）可裂，則PAM，故M∈P（R）.因此，得到

P（R）=⊥DP^lt;∞（R），

故（P（R），DP^lt;∞（R））為DP^lt;∞（R）中的遺傳余撓對(duì).對(duì)任意M∈DP^lt;∞（R），存在短正合列

0→M→M→0→0且由短正合列（3）的存在性，所以得到余撓對(duì)（P（R），DP^lt;∞（R））的完備性.

因?yàn)?/p>

Acf=DP（R）∩DP^lt;∞（R）=

DP（R），

C∩W∩F=DP（R）∩F^lt;∞（R）∩

DP^lt;∞（R）=P（R），所以由命題1和注3得三角等價(jià)

Ho（A）DP（R）.

參考文獻(xiàn)

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Model Structures over Ding Module Categories

TANG Qiangling， ZHANG Chunxia

（School of Mathematical Sciences， Chongqing Normal University， Chongqing 401331）

Let R be an associative ring with identity. We first prove that the category of R modules of finite Ding projective dimension DP^lt;∞（R） and the category of R modules of finite Ding injective dimensionDI^lt;∞（R） are idempotent， complete and exact categories. Secondly， the exact model structures in these two categories are constructed， where the associated homotopy categories are triangulated equivalent to the stable category of Ding projective modules DP（R） and Ding injective modules DI（R）， respectively.

Ding projective module; Ding injective module; model structures; stable category

2020 MSC：18N40

（編輯 余 毅）