某些多項式環(huán)的自同構群與可逆理想

域上的多項式環(huán)是非常重要且應用廣泛的整環(huán)，研究某類比較特殊的多項式環(huán)上的一些性質(zhì)，也是學者們一直在做的工作.設Fq是q個元素的有限域，對多項式環(huán)Fq+x2Fq[x]的自同構群與可逆理想這2個方面分別進行研究.對于多項式環(huán)Fq+x2Fq[x]的自同構群，證明Aut（Fq+x2Fq[x]）是階為q-1的循環(huán)群.對于多項式環(huán)Fq+x2Fq[x]的可逆理想，確定Pic（Fq+x2Fq[x]）的階數(shù)是q，并確定了環(huán)Fq+x2Fq[x]的理想一定是2-生成的.在此基礎上，對Fq+x2Fq[x]的理想進行分類討論，得出Fq+x2Fq[x]的可逆理想一定同構于（1+ax，x2），a∈Fq.

自同構群; 整環(huán)上的皮卡群; 可逆理想; 多項式環(huán)

O153.3

A

0417-05

03.013

整環(huán)R的所有可逆分式理想做成乘法群G（R），設P（R）表示 的一切非零主分式理想的集合，由分式理想的乘法知

（α）（β）=（αβ）， （α^-1）=（α）^-1.

因此，P（R）做成一個交換群，稱為G（R）的主分式理想子群.其商群Pic（R）=G（R）/P（R）稱為R的皮卡群，它是該環(huán)可逆分式理想的同構類做成的乘法群，由于在Dedekind整環(huán)中稱其為理想類群，在不引起歧義的情況下，也直接稱其為R的理想類群.特別地，當R是主理想整環(huán)時，Pic（R）是一階群.

域上多項式環(huán)作為一種應用廣泛的整環(huán)，研究某些多項式環(huán)的理想類群的類數(shù)是十分有意義的.同時，多項式環(huán)上自同構問題一直備受關注，能夠圓滿地解決某類環(huán)的自同構的構造問題、數(shù)量問題一直是學者們的研究目標.對于多項式環(huán)Z[X]和Q[X]的自同構群（Z、Q分別為整數(shù)環(huán)和有理數(shù)域），文獻[1]已經(jīng)證明

Aut（Z[X]）={

a1

b1

|a=±1，b∈Z}，

Aut（Q[X]）={a0

b1

|a∈Q*，b∈Q}.

理想類群的研究是代數(shù)及數(shù)論研究的中心問題之一.在文獻[2]中作者引入了CPH環(huán)，本文研究某類特殊的CPH環(huán)上的理想類群.文獻[3-6]從不同角度研究了理想類群.文獻[7-8]針對某類整環(huán)的理想類群的類數(shù)得出許多重要結論.設Fq是q個元素的有限域，多項式環(huán)Fq+x2Fq[x]是CPH整環(huán)，本文主要對其進行研究，確定環(huán)Fq+x2Fq[x]上的自同構群，并對環(huán)Fq+x2Fq[x]的理想類群的類數(shù)得出結論，同時討論其可逆理想與不可逆理想.

1 基本知識

定義 1.1^[9]

設R為環(huán)，I、J是R的理想，集合

I+J={a+b|a∈I，b∈J}，

IJ={∑ni=1xiyi|xi∈I，yi∈J}，

分別稱為理想I和J的和與積.

定理 1.2^[9]

設R為環(huán)，I、J是R的理想，則I與J的和與積都是R的理想.

設R是一個有單位元的交換環(huán)，x是R上的一個未定元.記R上的以x為未定元的一元多項式環(huán)為R[x]，記其中一次項系數(shù)為0的多項式子環(huán)為R+x2R[x].如果R是整環(huán)，那么R[x]也是整環(huán).稱由一個元素生成的群為循環(huán)群，在同構的意義下，循環(huán)群只有2類，整數(shù)加群（Z，+）以及模n的剩余類加群ZnZ.

定理 1.3^[10]

有限素域上的乘法群是循環(huán)群.

整環(huán)R與間的一個同構映射之下，2個零元相對應，2個單位元相對應.

2 多項式環(huán)Fq[x]與Fq+x2Fq[x]的自同構群

引理 2.1^[1，11]

如果群的元a的階是n，那么ar的階是nd，這里d是n和r的最大公因子.

引理 2.2

如果a生成一個階為n的循環(huán)群G，r是一個正整數(shù)，那么集合Gr={br|b∈G}是G的循環(huán)子群，Gr=（ar），且|Gr|=n（n，r）.

證明

由定義Gr={（ai）r|i=0，1，…，n-1}={（ar）i|i=0，1，…，n-1}.顯然Gr=（ar）.由引理 2.1|Gr|=|（ar）|=n（n，r）.

引理 2.3

如果a生成一個階為n的循環(huán)群G，b∈G，r是一個正整數(shù)，那么方程xr=br在G中的解的個數(shù)恰有d個，其中d=（n，r）為n與r的最大公因子.

證明

因為d=（n，r），所以存在整數(shù)u，v，使得d=un+vr.從而xd=x^un+vr=x^unx^vr=（x^r）v=（b^r）v=b^vr=b^unb^vr=b^un+vr=bd.于是（xb^-1）d=1.反過來，由于d|r，如果xd=bd，就會有xr=br，從而原方程的解的個數(shù)等價于方程yd=1的解的個數(shù).這里d|n.設（ai）d=1，則n|idid=nk對某個k成立.于是i=nkd，而ai=（aⁿd）k.于是看到aⁿd，a²ⁿd，a³ⁿd，…，a^dnd恰好就是方程yd=1的所有d個解.這說明原方程也恰有d個解.

2.1 多項式環(huán)Fq[x]的自同構群

設Fq是q元有限域，F(xiàn)q[x]是域上的多項式環(huán)，是Fq[x]上的一個自同構.由于自同構把0元映成0元，把單位元映成單位元，有（1）=1，可推出|Fq上為恒等映射.

定理 2.4

如果是Fq[x]上的一個自同構，那么存在a∈F*q，b∈Fq使得（x）=ax+b，相應的（f（x））=f（ax+b）.

證明

設（x）∈Fq[x]的次數(shù)為n，必然有n=1.因為若n=0，則（x）=a對某個a∈Fq成立，但（a）=a，這與為單射的定義矛盾.因是自同構，存在g（x）=d0+d1x+d2x2+…+dmxm∈Fq[x]，使得x=（g（x））=d0+d1（x）+d2（x）2+…+dm（x）m=g（（x））.若n≥2或者g（x）的次數(shù)大于1，g（（x））的次數(shù)一定大于或等于2，矛盾.所以n=1，g（x）的次數(shù)也等于1.于是存在a，b，c，d∈Fq使得（x）=ax+b，g（x）=cx+d，從而x=（g（x））=a（g（x））+b=a（cx+d）+b=acx+ad+b.故ac=1，a∈F*q，b=-ad ∈Fq.反過來，對任意的a∈F*q，b∈Fq，易見（f（x））=f（ax+b）（對任意的f（x）∈Fq[x]）是Fq[x]的一個自同構.

接下來，記由a∈F*q，b∈Fq所確定的Fq[x]的環(huán)自同構為a，b.

定理 2.5

如下映射是群同構.

φ：Aut（Fq[X]）→{ab

01

|a∈F*q，b∈Fq}，

φ（a，b）=ab

01，其中矩陣集合考慮按通常的乘法構成的群.

證明

首先φ是定義合理的.若a，b=c，d，則a，b（x）=c，d（x），即ax+b=cx+d，從而a=c，b=d.容易看出φ是一一映射.

a，bc，d（x）=acx+ad+b，φ（a，bc，d）=

acad+b

01，

φ（a，b）φ（c，d）=ab

01

cd

01

=acad+b

01，

所以φ（a，b）φ（c，d）=φ（a，bc，d），從而φ是群同構.

Aut（Fq[X]）不一定是循環(huán)群.例如

Aut（F3[x]）10

01，11

01，12

01，20

01，21

01，22

01.

其中

ord1001=1，

ord1101=3，

ord1201=3，

ord2001=2，

ord2101=2，

ord2201=2，

不存在元素的階為6，所以Aut（F3[x]）不是循環(huán)群.一般的，有結論Aut（Fq[X]）是階為q（q-1）的群.

2.2 多項式環(huán)Fq+x2Fq[x]的自同構群（Fq是q個元素的有限域）

引理 2.6

如果∈Aut（Fq+x2Fq[x]），那么存在a，b∈F*q，使得（x2）=ax2，（x3）=bx3，且a3=b2.

證明 不妨設

（x2）=a0+a2x2+a3x3+…+arxr，

（x3）=b0+b2x2+b3x3+…+bsxs，

其中r，s≥0，考察

（x6）=3（x2）=2（x3）a30+…+a3rx^3r=b20+…+b2sx2s，

于是，a30=b20，a3r=b2s，3r=2s，那么由（2，3）=1，有r=2k，s=3k對某個非負整數(shù)k成立.可以確定k=1，因為若k=0，則（x2）=a0=（a0）與為單射矛盾.因為是同構，存在g（x）=d0+d2x2+d3x3+…+dmxm∈Fq+x2Fq[x]，其中，d2，d3，…，dm不全為0，使得x2=（g（x））.如果k≥2，那么（g（x））的次數(shù)一定大于2，矛盾.因此k=1，從而

（x2）=a0+a2x2，

（x3）=b0+b2x2+b3x3.

這樣一來

（a0+a2x2）3=（b0+b2x2+b3x3）2，

那么必然有b0=b2=0，否則上述等式右邊存在x3、x5，而等式左邊不存在x3、x5，矛盾.又由a30=b20=0，可得a0=0.于是，記a=a2，b=b3便得到要的結果.

反過來，通過常規(guī)驗證，只要給定一對滿足a3=b2的F*q中的元素a、b，就可以構造一個Fq+x2Fq[x]的自同構，使得（x2）=ax2， （x3）=bx3.稱滿足方程a3=b2的一對元素a，b為方程的一個解.于是，有如下推論.

推論 2.7

Aut（Fq+x2Fq[x]）的階恰好就是方程a3=b2在F*q中的解的個數(shù).

證明

把xn的冪次n分解成6k+7、6k+2、6k+3、6k+4、6k+5、6k+6等6類，就會發(fā)現(xiàn)如上定義的是定義良好的.

設G是一個群，r是一個正整數(shù)，回顧一下定義：Gr={br|b∈G}.為了確定Fq+x2Fq[x]的自同構群的階，先證明如下引理.

引理 2.8

設G是一個n階循環(huán)群，s、t為2個正整數(shù)且t|n.如果（s，t）=1，那么Gs∩Gt=G^st.

證明

設g為群G的生成元，則Gs=（gs），Gt=（gt）.若有g^is=g^jt，則g^is-jt=1n|is-jtis-jt=nk對某個整數(shù)k成立.

于是is=jt+nk.因為t|n，所以t|ist|i（由于（s，t）=1）.從而i=tl對某個整數(shù)l成立.于是g^is=g^jt=g^stl.這說明Gs∩GtG^st.相反的包含關系是顯然的.

推論 2.9

設G是一個循環(huán)群.有G2∩G3=G⁶.

證明

設G的階為n.如果（2，n）=1且（3，n）=1，那么（6，n）=1.由引理 2.2，|G2|=|G3|=|G6|=n=|G|，這說明G2∩G3=G⁶=G.如果（2，n）≠1或者（3，n）≠1，那么2|n或者3|n，從而由引理 2.8，有G2∩G3=G⁶.

下面來確定Aut（Fq+x2Fq[x]）的階數(shù).

定理 2.10

設G是一個階為n的循環(huán)群.方程a3=b2在群G中恰有的n個解.

證明

若有群G中的一對元素a，b滿足a3=b2，則由推論 2.10，存在c∈G6，使得a3=b2=c.對每個c∈G6，由引理 2.3，滿足a3=c的a的個數(shù)為（3，n）個，滿足b2=c的b的個數(shù)為（2，n）個.又由于由引理 2.2，|G6|=n（6，n），所以a3=b2在群G中的解的個數(shù)為

|G6|（3，n）（2，n）=n（6，n）（3，n）（2，n）=n.

設Fq為q個元素的有限域，則F*q為q-1個元素的循環(huán)群，因此方程a3=b2在群F*q中恰有的q-1個解.于是有如下定理.

定理 2.11

Aut（Fq+x2Fq[x]）的階為q-1.

證明

考慮到F*q為q-1個元素的循環(huán)群，結論可由推論 2.7和定理 2.10直接得到.

接下來，記由F*p中的滿足a3=b2的一對元素a，b所確定的Fq+x2Fq[x]中的自同構為a，b.綜上所述，a，b（x2）=ax2，a，b（x3）=bx3.

定理 2.12

Aut（Fq+x2Fq[x]）是一個q-1階循環(huán)群.

證明

對于a，b，c，d∈Aut（Fq+x2Fq[x]），驗算可得

c，da，b（x2）=a，bc，d（x2）=acx2，c，da，b（x3）=a，bc，d（x3）=bdx3，

所以有c，da，b=a，bc，d=ac，bd，因此na，b=an，bn.任取a，b∈Aut（Fq+x2Fq[x]），由于a、b是循環(huán)群F*q=（g）中的元素，那么有a，b=gi，gj.易見1，1是Aut（Fq+x2Fq[x]）中的單位元.下面證明ord（g2，g3）=q-1.記ord（g2，g3）=d，則（g2，g3）d=g^2d，g^3d=1，1.推出g^2d=g^3d=1q-1|2d，且q-1|3d，所以q-1|d.

反過來的整除關系顯然，因為元素的階整除群的階.綜上所述Aut（Fq+x2Fq[x]）是以g2，g3為生成元的循環(huán)群.

3 多項式環(huán)Fq+x2Fq[x]中的可逆理想

設R是一個整環(huán)，其商域為K.k1，k2，…，kn為K中有限個元素，記以這有限個元素生成的R-模為（k1，k2，…，kn）.一個分式理想I可逆，是指存在另一個分式理想J，使得IJ=R.可逆分式理想一定是有限生成的R模.文獻[12]對可逆分式理想的生成元個數(shù)進行了討論.以下均設Fq是q個元素的有限域.

引理 3.1

設R=Fq+x2Fq[x]，若2個Fq上的多項式f（x），g（x）在Fq[x]上互素，那么對于大于或等于2的正整數(shù)n，有xn∈（f（x），g（x））.

證明

因為Fq[x]為主理想整環(huán)且f（x），g（x）在Fq[x]上互素，所以存在u（x），v（x）∈Fq[x]使得

u（x）f（x）+v（x）g（x）=1

xnu（x）f（x）+xnv（x）g（x）=xn， n≥2，

因為xnu（x）∈R，xnv（x）∈R，所以xn=xnu（x）f（x）+xnv（x）g（x）∈（f（x），g（x））.

以下引理是文獻[13]命題 3.1的特殊情形.

引理 3.2

環(huán)Fq+x2Fq[x]中的每個理想都是由2個元素生成的，即對于環(huán)Fq+x2Fq[x]中的任意理想I，可寫作I=（f（x），g（x）），其中f（x），g（x）∈Fq+x2Fq[x].

接下來，討論R=Fq+x2Fq[x]的理想類群Pic（R）的階數(shù)，為此，

引用文獻[8]中的如下公式：

#Pic（O）=hK#（OK/）*[O*K：O*]#（O/）*，

其中，OK是O在商域中的整閉包，#指代其后群中的元素個數(shù)，hK是指OK的類數(shù)，指代導子理想，即=（OK：O），X*表示環(huán)X中的可逆元素構成的乘法群.

定理 3.3

環(huán)R=Fq+x2Fq[x]的理想類群Pic（R）的階數(shù)為q.

證明

記O=Fq+x2Fq[x]，記其在商域中的整閉包為OK，則OK=Fq[x].這是一個主理想整環(huán)，于是hK=1.易見=（OK：O）=x2Fq[x].從而OK/=Fq[x]x2Fq[x]={a+bx|a，b∈Fq}.由于冪零，可見#（OK/）*）=q（q-1）.又易見O/Fq，有#（O/）*=q-1.由于2個多項式環(huán)的可逆元都是非零常數(shù)項多項式，[O*K：O*]=1，所以

#Pic（Fq+x2Fq[x]）=#Pic（O）=hK#（OK/）*[O*K：O*]#（O/）*=1q（q-1）1（q-1）=q.

定理 3.4

Fq+x2Fq[x]的不可逆理想同構于（1，x），可逆理想同構于（1+ax，x2），其中a∈Fq.

證明

由引理 3.2，可設（f（x），g（x））是Fq+x2Fq[x]的任意一個理想.在同構的意義下，通過提取最大公因子，不妨設f（x），g（x）∈Fq[x]互素.可設

f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，

g（x）=b0+b1x+b2x2+…+bmxm.

易見a0、b0不能同時為零.由于生成元乘以可逆元的變化，以及某個生成元加上另一個生成元的倍數(shù)這樣的變化都是可逆變化，而且依然保持生成元之間互素的關系.不妨設a0=1，b0=0.由引理 3.1，x2，x3∈（f（x），g（x））.于是（f（x），g（x））=（f（x），g（x），x2，x3）=（1+a1x，b1x，x2，x3）.若b1=0，則（f（x），g（x））=（1+a1x，x2，x3）=（1+a1x，x2）.若b1≠0，則可設b1=1，于是（f（x），g（x））=（1+a1x，x，x2，x3）=（1，x）.由于（1+a1x，x2）（1-a1x，x2）=（1），有（1+a1x，x2）是可逆分式理想.但是（1，x）2=（1，x），這說明（1，x）的任何冪次都不會是主分式理想，所以（1，x）一定不可逆，否則由于環(huán)

Fq+x2Fq[x]的類數(shù)有限（等于q），（1，x）的q次冪就一定會成為主分式理想.

從以上定理可見Fq+x2Fq[x]的可逆理想同構于（1+ax，x2），其中a∈Fq.隨著a取q個不同的值，恰好就得到了這個環(huán)的理想類群的q個等價類.

參考文獻

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Automorphism Groups and Invertible Ideals of Certain Polynomial Domains

CHEN Zhili， HU Kui

（College of Science， Southwest University of Science and Technology， Mianyang 621010， Sichuan）

Polynomial domains over fields are very important and widely used domains， and studying some properties on some particular class of polynomial domains is also the work that many scholars have always been doing. Let Fq be the finite field of q elements. In this paper， the automorphism group and invertible ideals of the polynomial domain Fq+x2Fq[x] are studied. For the automorphism group of the polynomial domain Fq+x2Fq[x]， this paper proves that Aut（Fq+x2Fq[x]） is a cyclic group of order q-1. For invertible ideals of the polynomial domain Fq+x2Fq[x]， it is proved that the order of Pic（Fq+x2Fq[x]） is q， and it is also determined that every ideal of the domain Fq+x2Fq[x] must be 2-generated. On this basis， ideals of the domain Fq+x2Fq[x] are classified， and it is concluded that any invertible ideal of Fq+x2Fq[x] must be isomorphic to （1+ax，x2）， a∈Fq.

automorphism groups; Picard groups; invertible ideals; polynomial domains

2020 MSC：13F20； 13G05（編輯 陶志寧）