一類非線性約束下單自由度碰撞系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性

關(guān)鍵詞：非線性約束；分岔；多參數(shù)協(xié)同；吸引子共存

0 引言

由于加工水平的影響，在機(jī)械設(shè)備中都會(huì)存在間隙及約束，在使用過(guò)程中設(shè)備內(nèi)部相互作用導(dǎo)致碰撞振動(dòng)，對(duì)機(jī)械設(shè)備的正常使用造成損害，這種現(xiàn)象的持續(xù)發(fā)生會(huì)影響使用壽命。因此，研究含間隙與約束的非線性動(dòng)力學(xué)行為具有重要應(yīng)用價(jià)值。國(guó)內(nèi)外有大量學(xué)者對(duì)碰振系統(tǒng)進(jìn)行了各種研究。羅冠煒等［1］研究了兩自由度含間隙振動(dòng)系統(tǒng)的對(duì)稱周期碰撞運(yùn)動(dòng)，分析了不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性與局部分岔，通過(guò)數(shù)值仿真揭示了系統(tǒng)的全局分岔過(guò)程，包括叉式、倍化與奇異性分岔。吳少培等［2］研究了一種基于“接觸-分離”兩狀態(tài)的含間隙運(yùn)動(dòng)副動(dòng)力學(xué)模型，給出了運(yùn)動(dòng)副接觸與分離的條件，得到了系統(tǒng)Poincaré映射的線性化矩陣，發(fā)現(xiàn)了柔性桿件振幅跳躍時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，引發(fā)鞍結(jié)分岔，在通向混沌的過(guò)程中系統(tǒng)出現(xiàn)叉式和倍化分岔，倍化分岔序列因擦邊分岔的出現(xiàn)而中斷，最終通過(guò)Feigenbaum倍周期序列達(dá)到混沌狀態(tài)。朱喜鋒等［3-4］研究了彈性和剛性約束的含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在低頻中的動(dòng)力學(xué)特性，揭示了隨著激振頻率的降低，p/1運(yùn)動(dòng)中碰撞次數(shù)p因擦邊分岔而不斷增加，當(dāng)碰撞次數(shù)足夠大時(shí)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)轭澟鲞\(yùn)動(dòng)，描述了1/1周期運(yùn)動(dòng)到顫碰運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)變規(guī)律。何波等［5］240-246設(shè)計(jì)了一種拉伸式準(zhǔn)零剛度隔振器，采用正負(fù)剛度并聯(lián)原理對(duì)低頻隔振進(jìn)行處理，確定了使系統(tǒng)在平衡位置實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的參數(shù)條件，研究了系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧力作用下的幅頻響應(yīng)和多穩(wěn)態(tài)區(qū)域。李國(guó)芳等［6-10］通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性、系統(tǒng)的穩(wěn)定性、多吸引子共存，混沌控制等問(wèn)題進(jìn)行了研究。DAI等［11］105234對(duì)比了線性約束與準(zhǔn)零剛度非線性約束的沖擊振子的振動(dòng)傳遞和功率流特性，通過(guò)應(yīng)用諧波平衡近似和數(shù)值積分方法，獲得了系統(tǒng)在諧波激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。這一研究為了解線性和非線性約束對(duì)振動(dòng)傳遞中剛度和阻尼特性的影響提供了有益的參考，提出了幾類新型非線性約束，為本文研究提供了參考約束模型。

目前，大多數(shù)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于同時(shí)含有非線性項(xiàng)、非線性約束以及間隙的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的顫碰運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)遷規(guī)律的研究較少?？紤]非線性項(xiàng)及非線性約束使得該研究更加貼合實(shí)際情況，本文通過(guò)建立單自由度含非線性項(xiàng)以及非線性約束的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)Poincaré映射方法以及胞映射法，分析了該碰撞振動(dòng)系統(tǒng)各周期運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律，吸引子共存現(xiàn)象以及間隙對(duì)周期共存區(qū)的影響。

1 力學(xué)模型

首先，建立了一類單自由度含單側(cè)非線性約束振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型，如圖1所示；其次，分析其運(yùn)動(dòng)過(guò)程，建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，最后利用數(shù)值仿真討論單自由度含單側(cè)非線性約束振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

質(zhì)量為M的物塊通過(guò)非線性彈簧和非線性阻尼連接固定在墻面上，非線性彈簧的線性與非線性系數(shù)分別為K1、K2，非線性阻尼的線性與非線性系數(shù)分別為C1、C2。物塊受到簡(jiǎn)諧激振力Psin（ΩT+τ），僅沿水平方向做直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)激振小時(shí)屬于簡(jiǎn)單線性振子，激振力較大時(shí)，物塊位移等于B時(shí)，物塊M1與非線性約束開始發(fā)生碰撞。

與線性約束相比，該非線性約束多一對(duì)剛度為Kv的橫向彈簧，且剛度系數(shù)為Kh的彈簧與阻尼系數(shù)為Ch的阻尼器耦合，可忽略它們的質(zhì)量，并連接在一起，如圖2所示。文獻(xiàn)［5］240-246、文獻(xiàn)［11］105234中將這種非線性約束用于隔振器中，與線性約束進(jìn)行了對(duì)比。文獻(xiàn)［5］240-246中關(guān)于該約束得到的結(jié)論如下：該非線性約束比線性約束起始隔振頻率降低50%左右，實(shí)現(xiàn)低頻隔振，隔振性能更優(yōu)。文獻(xiàn)［11］105234關(guān)于該約束得到的結(jié)論如下：該非線性約束便于在峰值頻率附近調(diào)節(jié)力傳遞率和振動(dòng)功率的水平。彈性碰撞使簡(jiǎn)單的系統(tǒng)變成了具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的碰撞沖擊運(yùn)動(dòng)。橫向彈簧未變形長(zhǎng)度為l0，剛度系數(shù)為Kv。當(dāng)B點(diǎn)處于平衡位置時(shí)，彈簧進(jìn)行壓縮后其長(zhǎng)度變?yōu)閘。當(dāng)物塊位移大于間隙δ時(shí)，橫向約束開始變形。

結(jié)果表明，側(cè)向彈簧對(duì)的使用增加了1個(gè)線性項(xiàng)和1個(gè)非線性項(xiàng)，因此非線性約束可能具有所謂的準(zhǔn)零剛度（Quasi-zerostiffness）特性。

2 周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)域及擦邊分岔相互轉(zhuǎn)遷

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性由多個(gè)參數(shù)決定，其中頻率ω、間隙δ這兩個(gè)參數(shù)最為關(guān)鍵。基于多參數(shù)協(xié)同仿真法，選定激振頻率ω和間隙δ為分岔參數(shù)，得到系統(tǒng)在（ω，δ）協(xié)同變化下的雙參數(shù)域圖以及三維分岔圖如圖3所示。

以ω∈[0，3]，δ∈[0，1.5]為取樣范圍，通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算出（ω，δ）平面的雙參分岔圖，如圖3（a）所示。其中不同的p/n運(yùn)動(dòng)用不同的顏色表示，黑色區(qū)域?yàn)榛煦鐓^(qū)域，用Chaos標(biāo)識(shí)，未識(shí)別的運(yùn)動(dòng)用灰色表示。在圖3（a）的左下角區(qū)域，即低頻、小間隙工況下存在p/1周期運(yùn)動(dòng)組成的帶狀區(qū)域，直觀地表現(xiàn)出p/1周期運(yùn)動(dòng)隨著參數(shù)的改變轉(zhuǎn)遷為（p+1）/p周期運(yùn)動(dòng)。由圖3（a）可知，當(dāng)ωgt;1的中高頻區(qū)主要存在0/1、1/1、2/2、1/2等周期運(yùn)動(dòng)，而在低頻區(qū)主要以p/1周期運(yùn)動(dòng)為主，且p/1單周期多碰撞周期運(yùn)動(dòng)的碰撞次數(shù)p隨著頻率的遞減而增加。圖3（b）是三維分岔圖。由圖3（b）可以直觀地看出，激振頻率ω和間隙δ對(duì)物塊沖擊速度的影響。隨著激振頻率ω的減小，系統(tǒng)在間隙較小時(shí)呈現(xiàn)出豐富動(dòng)力學(xué)特性。因此，有必要研究小間隙工況對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響，故在第4節(jié)研究了間隙的改變對(duì)周期共存區(qū)的影響。

圖4（a）是以激振頻率ω為橫坐標(biāo)，物塊碰撞前速度x?1-為縱坐標(biāo)得到的單參數(shù)碰撞面分岔圖，圖4（b）是系統(tǒng)選定固定相位面作為Poincaré映射截面所得到的周期面分岔圖，其中間隙選擇δ=0.05。由圖4（a）可以觀察到，當(dāng)ω=0.9480時(shí)，物塊碰撞的1/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔，碰撞次數(shù)p加1變?yōu)?/1周期運(yùn)動(dòng)［圖5（a）］。圖5的所有運(yùn)動(dòng)相圖中紅色虛線代表間隙δ，用來(lái)觀察是否發(fā)生擦邊分岔，當(dāng)發(fā)生擦邊分岔時(shí)，在運(yùn)動(dòng)相圖中體現(xiàn)為最內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)相圖軌跡與紅色虛線相切，反之則表示發(fā)生的不是擦邊運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω減小至ω=0.6690、2/1周期運(yùn)動(dòng)時(shí)再次發(fā)生擦邊運(yùn)動(dòng)進(jìn)入3/1周期運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)相圖如圖5（b）所示。隨著ω減小至0.5685時(shí)，3/1周期運(yùn)動(dòng)會(huì)經(jīng)歷倍化分岔進(jìn)入6/2亞諧運(yùn)動(dòng)，圖5（c）為ω=0.5430時(shí)的6/2亞諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)相圖，之后6/2亞諧運(yùn)動(dòng)發(fā)生倍化分岔并經(jīng)歷一系列復(fù)雜運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)短暫混沌運(yùn)動(dòng)后隨即退出。當(dāng)ω減小至0.4350時(shí)進(jìn)入8/2亞諧運(yùn)動(dòng)。隨著ω的繼續(xù)減小8/2亞諧運(yùn)動(dòng)在ω=0.4270時(shí)發(fā)生逆倍化分岔進(jìn)入4/1周期運(yùn)動(dòng)，隨后4/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔，碰撞次數(shù)p加1進(jìn)入5/1周期運(yùn)動(dòng)，圖5（e）為4/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔時(shí)的運(yùn)動(dòng)相圖，圖5（f）為ω=0.3260時(shí)5/1周期運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)相圖，最終進(jìn)入顫碰。因此，隨著ω的減小，p/1運(yùn)動(dòng)通過(guò)擦邊、倍化、逆倍化最終進(jìn)入顫碰運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)遷規(guī)律如下，其中GBif為擦邊分岔，p?/1為顫碰運(yùn)動(dòng)：

3 相鄰基本周期多態(tài)共存區(qū)及吸引域

利用控制變量法以激振頻率ω為單一變量作為分岔圖參數(shù)，進(jìn)行增減速求解。圖6中紅色實(shí)線代表激振頻率ω增大時(shí)的分岔圖，藍(lán)色實(shí)線代表激振頻率ω減小時(shí)的分岔圖。圖6（a）、圖6（b）分別為增減速分岔圖，從圖6（c）、圖6（d）增減速對(duì)比圖中可以清晰地看出增減速分岔圖的分岔點(diǎn)的位置不同，以及增減速之間其他動(dòng)力學(xué)特性的區(qū)別。激振頻率ω減小時(shí)發(fā)生擦邊分岔，倍化分岔，逆倍化分岔，最終成為（p+1）/n周期運(yùn)動(dòng)。頻率ω增大時(shí)，發(fā)生鞍結(jié)分岔，由（p+1）/n周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為p/n周期運(yùn)動(dòng)。頻率ω變化導(dǎo)致相鄰周期運(yùn)動(dòng)不可逆，在相鄰的p/n運(yùn)動(dòng)和（p+1）/n運(yùn)動(dòng)之間會(huì)產(chǎn)生遲滯區(qū)域，因此對(duì)遲滯區(qū)域的研究極其具有意義。選取部分頻率區(qū)間作為研究對(duì)象得到該碰撞系統(tǒng)局部周期運(yùn)動(dòng)共存區(qū)的分岔圖，如圖7（a）～圖7（c），分別表示1/1周期運(yùn)動(dòng)與2/1周期運(yùn)動(dòng)的共存區(qū)域，2/1周期運(yùn)動(dòng)與3/1周期運(yùn)動(dòng)的共存區(qū)域，4/1周期運(yùn)動(dòng)與5/1周期運(yùn)動(dòng)的共存區(qū)域，從中可以發(fā)現(xiàn)，在每一個(gè)遲滯區(qū)內(nèi)存在多吸引子共存的現(xiàn)象。以4/1周期運(yùn)動(dòng)與5/1周期運(yùn)動(dòng)的共存區(qū)域?yàn)檠芯繉?duì)象，共存區(qū)在ω∈（0.3580，0.3655）的頻率區(qū)間內(nèi)。當(dāng)ω=0.3580時(shí)，5/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為4/1周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω減小至ω=0.3580時(shí)，4/1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生擦邊分岔轉(zhuǎn)遷為5/1周期運(yùn)動(dòng)。給定不同的初始狀態(tài)，系統(tǒng)在這兩種運(yùn)動(dòng)之間轉(zhuǎn)遷，但是不可逆。為了進(jìn)一步研究，圖8（a）給出了ω=0.6830時(shí)2/1和3/1周期運(yùn)動(dòng)共存吸引子相圖，圖8（b）為ω=0.3630時(shí)得到的4/1和5/1周期運(yùn)動(dòng)共存吸引子相圖，兩張運(yùn)動(dòng)相圖表明系統(tǒng)處于周期共存區(qū)，即使給定了相同分岔參數(shù)ω，由于初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同，系統(tǒng)所呈現(xiàn)的周期運(yùn)動(dòng)也不相同。

為進(jìn)一步研究周期共存區(qū)內(nèi)不同吸引域的分布，結(jié)合胞映射思想，選取初態(tài)域Ω=｛（x1，x?1）|-2lt;x1lt;1，-2lt;x?1lt;2｝并將其劃為400×400個(gè)狀態(tài)胞，對(duì)相平面進(jìn)行映射，可得共存區(qū)在映射過(guò)后的吸引域圖。圖8所示為初態(tài)域下4/1周期運(yùn)動(dòng)與5/1周期運(yùn)動(dòng)吸引子共存的演化過(guò)程，藍(lán)色代表4/1周期運(yùn)動(dòng)，紅色代表5/1周期運(yùn)動(dòng)。圖9（a）～圖9（f）表示系統(tǒng)的激振頻率ω分別為0.3590、0.3600、0.3610、0.3620、0.3625、0.3635時(shí)，4/1與5/1周期運(yùn)動(dòng)的吸引域分布圖。當(dāng)ω=0.3590時(shí)，紅色面積明顯大于藍(lán)色面積，5/1周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性大于4/1周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性；當(dāng)ω=0.3620時(shí)，兩種顏色的區(qū)域面積近似相等，說(shuō)明兩種周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性相同；當(dāng)ω=0.3635時(shí)，藍(lán)色區(qū)域面積明顯大于紅色區(qū)域面積，則說(shuō)明4/1周期運(yùn)動(dòng)更加穩(wěn)定。因此，在該初態(tài)域內(nèi)隨著ω的增大，4/1周期運(yùn)動(dòng)的分布區(qū)域會(huì)逐漸增大，即4/1周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性在此激振頻率的初態(tài)域范圍內(nèi)會(huì)逐漸增大。

4 間隙對(duì)周期共存影響

其他參數(shù)保持不變，改變參數(shù)δ，得到不同的碰撞面分岔圖。圖10（a）～圖10（c）中參數(shù)δ分別為0.05、0.10、0.15。選定ω∈（0.3，0.7）作為研究區(qū)間，得到該機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)在不同δ下的分岔圖，發(fā)現(xiàn)隨著間隙δ的增大，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性會(huì)發(fā)生變化，分岔圖中的周期共存區(qū)會(huì)提前出現(xiàn)。先以2/1周期運(yùn)動(dòng)與3/1周期運(yùn)動(dòng)共存區(qū)為研究對(duì)象，其中當(dāng)δ=0.05時(shí)共存區(qū)范圍為ω∈（0.9480，0.9915），當(dāng)δ=0.10時(shí)共存區(qū)范圍為ω∈（0.9290，0.9685），當(dāng)δ=0.15時(shí)共存區(qū)范圍為ω∈（0.9120，0.9465）。當(dāng)δ增大時(shí)，即在δ=0.10和δ=0.15時(shí)出現(xiàn)了3/1周期運(yùn)動(dòng)和4/1周期運(yùn)動(dòng)共存區(qū)，范圍分別為ω∈（0.4070，0.4125）和ω∈（0.3930，0.4000）。再以4/1周期運(yùn)動(dòng)與5/1周期運(yùn)動(dòng)共存為研究對(duì)象，當(dāng)δ=0.05時(shí)共存區(qū)范圍為ω∈（0.3580，0.3655），當(dāng)δ=0.10時(shí)共存區(qū)范圍為ω∈（0.3502，0.3575），當(dāng)δ=0.15時(shí)共存區(qū)范圍為ω∈（0.3450，0.3505）。綜上可知，改變間隙δ，其他參數(shù)不變，會(huì)使得部分頻率區(qū)間內(nèi)的系統(tǒng)的力學(xué)特性趨于簡(jiǎn)單，多態(tài)共存區(qū)的頻率范圍會(huì)提前出現(xiàn)，且范圍變小。

5 結(jié)論

建立了一類單自由度含單側(cè)非線性約束機(jī)械碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型，研究其不同運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷，得到如下結(jié)論：

1）選定其他基準(zhǔn)參數(shù)，隨著ω的減小，周期運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷主要通過(guò)擦邊分岔，隨著ω的增大，周期運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷主要通過(guò)鞍結(jié)分岔，并且其過(guò)渡區(qū)會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)。

2）擦邊分岔和鞍結(jié)分岔的發(fā)生位置不同，導(dǎo)致出現(xiàn)一個(gè)遲滯域，并且轉(zhuǎn)遷不可逆，會(huì)出現(xiàn)多態(tài)吸引子共存。且隨著ω的增大，p/1周期運(yùn)動(dòng)比（p+1）/1周期運(yùn)動(dòng)更加穩(wěn)定。

3）改變間隙δ，隨著間隙增大，多態(tài)共存區(qū)的頻率范圍會(huì)提前出現(xiàn)，且范圍變小，部分運(yùn)動(dòng)由復(fù)雜變簡(jiǎn)單。