基于多項式混沌展開的船舶避碰魯棒軌跡規(guī)劃

摘 要：現(xiàn)有的船舶避碰軌跡規(guī)劃大部分是以精確的運動模型和環(huán)境信息為前提，難以應(yīng)對實際環(huán)境中存在的多種不確定海況因素，并導(dǎo)致規(guī)劃出的軌跡安全可靠性降低。針對以上問題，提出一種基于多項式混沌展開法的船舶魯棒軌跡規(guī)劃方法，將船舶水動力學(xué)模型中的水動力系數(shù)視為不確定性參數(shù)，以碰撞危險度及舵角控制量為目標(biāo)函數(shù)，建立船舶軌跡規(guī)劃的最優(yōu)控制模型，并使用遺傳算法求得控制量與優(yōu)化后的軌跡。仿真實驗結(jié)果表明，優(yōu)化后的軌跡最小距離以及最大會遇距離均提升10%～20%，平均碰撞危險度降低10%，實驗結(jié)果表明考慮不確定性的船舶軌跡規(guī)劃更加安全可靠。

關(guān)鍵詞： 船舶避碰; 多項式混沌展開; 碰撞危險度; 最優(yōu)控制; 遺傳算法

中圖分類號： U 675

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ADOI：10.12305/j.issn.1001 506X.2025.02.28

Robust trajectory planning for ship collision avoidance based on

polynomial chaotic expansion

QI Xinyu， ZHANG Zhi*， SHANG Xiaobing， ZHANG Yiqiong， JIANG Lichao， ZHOU Yuexin

（School of Intelligent Science and Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract：Most of the existing ship collision avoidance trajectory planning is based on accurate motion mo dels and environmental information， which makes it difficult to cope with various uncertain sea conditions in the actual environment and leads to a decrease in the safety and reliability of the planned trajectory. A robust trajectory planning method for ships based on polynomial chaotic expansion method is proposed to address the above issues. The hydrodynamic coefficients in the ship hydrodynamic model are considered as uncertain parameters， and the collision risk and rudder angle control variables are used as objective functions to establish the optimal control model for ship trajectory planning. Genetic algorithm is used to obtain the control variables and optimized trajectory. The experimental results show that the minimum distance and maximum encounter distance of the optimized trajectory are increased by 10%-20%， and the average collision risk is reduced by 10%. The experimental results prove that the ship trajectory considering uncertainty is more safer and reliable.

Keywords：ship collision avoidance; polynomial chaotic expansion; collision risk; optimal control; genetic algorithm

0 引 言

海洋運輸是國際貿(mào)易中至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，其中船舶的安全航行是海洋運輸?shù)闹刂兄?。根?jù)歐洲海事安全局（European Maritime Safety Agency， EMSA）數(shù)據(jù)顯示，2014—2021年期間，EMSA收到海上事故報告總數(shù)為21 173起，其中55%的事故發(fā)生在內(nèi)水，24.5%事故的發(fā)生原因為船舶碰撞，59.6%的事故原因為人的活動^［1-4］。由此可見，船舶避碰軌跡規(guī)劃問題對于船舶的安全航行而言尤為重要。

常見的船舶軌跡規(guī)劃使用如蟻群算法^［5］、粒子群優(yōu)化算法^［6］、人工勢場法^［7］、遺傳算法^［8］、快速搜索隨機樹法^［9］等方法規(guī)劃出路徑，船舶跟蹤規(guī)劃生成的路徑，生成航行軌跡^［10-11］。然而，相較于平靜的水面，實際海況中的風(fēng)浪流存在不確定性，機理模型更加復(fù)雜，具有強非線性、強耦合性的特點，難以采用數(shù)學(xué)方程準(zhǔn)確表示。特別地，海浪干擾力尤為復(fù)雜，在建模過程中需要同時考慮一階的高頻干擾力和二階的低頻干擾力^［12］。目前，針對風(fēng)浪流的機理研究不夠成熟，缺乏簡潔可靠的建模方法。因此，風(fēng)浪流建模的不確定性會導(dǎo)致現(xiàn)有的精確船舶運動模型的可靠性降低，造成船舶無法按照預(yù)定的軌跡航行，存在航行的安全性問題。

船舶動力學(xué)建模需要考慮升力、阻力、剛性力、流體慣性力等水動力的作用。然而，動態(tài)的海洋環(huán)境致使船舶的水動力產(chǎn)生劇烈變化，導(dǎo)致水動力參數(shù)的估計存在不確定性，嚴(yán)重影響船舶運動模型的精度，不利于保障船舶的航行安全^［13］。因此，船舶在建模過程中需要考慮水動力參數(shù)不確定性的影響。針對不確定性問題，可以選擇適宜的方法將其量化。不確定性量化是一種定量評估系統(tǒng)不確定性的方法，其已被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，美國航空航天局已將其視為航空航天領(lǐng)域的共性問題^［14-15］。針對不確定性量化的具體方法，大多數(shù)研究都試圖找到盡可能逼近不確定性變量真實分布的理論與計算方法^［16］。蒙特卡羅法是一種通過大量采樣系統(tǒng)樣本進(jìn)行演化計算、得出系統(tǒng)概率分布特征的方法^［17］。Halder等^［18］使用皮爾森算子改進(jìn)傳統(tǒng)的蒙特卡羅法，大幅提升其在模擬高階系統(tǒng)的不確定性時的效率。隨機配點法是一種結(jié)合伽遼金映射以及蒙特卡羅法的方法^［19-20］，Jia等^［21］使用隨機配點法分析非線性系統(tǒng)中的矩，證明隨機配點法效率優(yōu)于蒙特卡羅法。響應(yīng)面法通過擬合輸入與輸出，獲得一個廣義的多項式模型，并將其替代原系統(tǒng)模型^［22］。Luo等^［23］采用重要性采樣法與拉定超立方采樣法對輸入與輸出進(jìn)行采樣，在一定程度上改進(jìn)了相應(yīng)面法的代表性與準(zhǔn)確性。多項式混沌展開法在參數(shù)空間中將狀態(tài)變量進(jìn)行多項式展開，并保留有限階數(shù)，通過伽遼金映射的方法獲得展開式系數(shù)的方程組，從而求出展開式系數(shù)，獲得精確解^［24-25］。Hosder等^［26］為了解決傳統(tǒng)侵入式多項式混沌展開法必須對原系統(tǒng)進(jìn)行改寫的弊端，提出非侵入式多項式混沌方法，將系統(tǒng)視為黑箱模型，利用相關(guān)公式、根據(jù)采樣的估值擬合多項式系數(shù)。與其他方法相比，多項式混沌展開法具有能夠處理大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)、擬合效果好、易于構(gòu)建等優(yōu)勢。

船舶在航行過程中，如若會遇其他船舶，需要經(jīng)歷來船信息采集、會遇態(tài)勢判斷及碰撞危險度評價、避讓動作及避讓時機選擇、復(fù)航動作及復(fù)航時機選擇等階段，以完成避讓行為^［27］。本文主要針對船舶會遇態(tài)勢判斷及碰撞危險度評價、避讓動作及避讓時機選擇進(jìn)行研究，在考慮航行中不確定性因素的基礎(chǔ)上，完成船舶避碰階段的軌跡規(guī)劃。

本文提出一種基于多項式混沌展開法的船舶魯棒軌跡規(guī)劃方法。通過建立船舶的水動力模型并引入船舶碰撞危險度模型^［28］，以舵角控制量為目標(biāo)函數(shù)，將船舶關(guān)于控制量和狀態(tài)量的泰勒展開式系數(shù)不確定性量化并建立最優(yōu)控制問題，最后使用遺傳算法求解舵角控制量以及軌跡，完成船舶避碰魯棒軌跡規(guī)劃。仿真實驗驗證了基于多項式混沌展開法的船舶魯棒軌跡規(guī)劃方法的有效性，在不同典型會遇態(tài)勢下，分別使用傳統(tǒng)遺傳算法與不確定性量化方法規(guī)劃軌跡，并進(jìn)行對比。實驗結(jié)果表明，基于多項式混沌展開法的船舶魯棒軌跡安全指標(biāo)更好，能有效優(yōu)化船舶軌跡，充分保證船舶的安全航行。

1 船舶水動力學(xué)模型及典型會遇的最優(yōu)控制問題

1.1 船舶水動力學(xué)模型

在船舶的軌跡規(guī)劃中，需要充分考慮船舶的運動學(xué)狀態(tài)以及船舶實際的操縱特性。由于大部分船舶在海上會遇其他船舶時，保持輪機轉(zhuǎn)速恒定，通過操縱舵角的方式來執(zhí)行航行避讓，所以需要建立可靠、穩(wěn)定的船舶運動模型。在水面運動的船舶模型一般可以忽略橫搖、縱搖以及垂蕩，僅考慮船舶的縱蕩、橫蕩以及艏搖。將船舶模型簡化為如圖1所示的三自由度模型。

將船體、船舵和螺旋槳視為一個整體^［29］，對如圖1所示的船舶三自由度模型進(jìn)行整體受力分析，可以得到船舶的整體型動力學(xué)方程為

m（u·－vr－xGr2）=X

m（v·+ur+xGr2）=Y

IZr·+mxG（v·+ur）=N（1）

式中：m為船舶的質(zhì)量;IZ為船舶繞重心垂直軸旋轉(zhuǎn)的慣性矩;xG為船舶的重心在y軸中線上的縱向坐標(biāo);X、Y、N分別表示船舶在縱蕩、橫蕩以及艏搖3個自由度上受到的水動力及力矩分量;u、v、r分別表示船舶在縱蕩、橫蕩以及艏搖方向上的速度。

進(jìn)一步地，對X、Y、N進(jìn)行討論。一般情況下，可認(rèn)為加速度的狀態(tài)量與流體的慣性力線性相關(guān)且與流體粘性力互不耦合。因此，可以忽略展開式中加速度與速度的交叉項。由于絕大多數(shù)船舶是左右對稱的，船艏方向的加速度并不會產(chǎn)生橫移力及轉(zhuǎn)艏力矩。同樣，橫移方向的加速度并不會產(chǎn)生前進(jìn)力。故流體慣性力可以近似表示為

x：Xu·u·

y：Yv·v·+Yr·r·

z：Nv·v·+Nr·r·（2）

式中：x、y、z分別表示縱蕩、橫蕩以及艏搖3個自由度上的流體慣性力;Xu·、Yv·、Yr·、Nv·以及Nr·為流體慣性力中關(guān)于其對應(yīng)加速度狀態(tài)的系數(shù)。同時，考慮剛體慣性力，將與加速度（u·，v·，r·）相關(guān)的項移至式（2）左端進(jìn)行合并，將其他項移至等式右端。一般情況下，船舶在固定工況航行時，可認(rèn)為推進(jìn)機構(gòu)中螺旋槳的轉(zhuǎn)速恒定。故可使用流體粘性力統(tǒng)一升力和阻力項分析流體力。假設(shè)在縱蕩、橫蕩以及艏搖3個自由度上，流體粘性力關(guān)于控制量和狀態(tài)量的泰勒展開式三階精度范圍分別為fu、fv、fr，則可以得到Abkowitz模型如下：

（m－Xu·）u·=fu（u，v，r，δ）

（m－Yv·）v·+（mxG－Yr·）r·=fv（u，v，r，δ）

（mxG－Nv·）v·+（IZ－Nr·）r·=fr（u，v，r，δ）（3）

式中：δ表示船舶舵角。

1.2 船舶典型會遇的最優(yōu)控制問題

船舶在進(jìn)行會遇軌跡規(guī)劃時，需要充分考慮本船與來船的距離，本船的偏航角等狀態(tài)信息，要求船舶能夠安全完成會遇并能夠完成復(fù)航。船舶在確定性環(huán)境下要完成安全會遇，必須考慮船舶的水動力學(xué)特性以及其自身的物理條件限制，同時期望在船舶的會遇過程中能量消耗最低且危險度最小。綜合分析以上過程，其中包含了最優(yōu)控制問題的約束函數(shù)、邊界條件以及目標(biāo)函數(shù)，因此可以將船舶的會遇軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽顑?yōu)控制問題，具體過程如下。

1.2.1 問題約束

由于船舶在會遇時一般遵循操舵不操車的原則，因此將船舶的舵角作為控制量。船舶在海上航行時，需要遵循國際海上避碰規(guī)則，所以需要對控制量（即船舶的舵角）進(jìn)行約束。由國際海上避碰規(guī)則可知，在典型會遇態(tài)勢中，當(dāng)本船處于對遇以及右舷交叉相遇的態(tài)勢時，本船具有避讓責(zé)任，并且建議船舶進(jìn)行向右轉(zhuǎn)向避碰，達(dá)到從來船的左舷或船尾通過的效果。然而，在一些情況緊急的大角度右舷交叉態(tài)勢中，國際海上避碰規(guī)則允許船舶進(jìn)行向左轉(zhuǎn)向避讓從而獲得足夠的安全距離，因此控制量的約束如下所示：

0≤δ（t）≤δmax， 355°lt;θT≤360°或0°lt;θT≤67.5°

－δmax≤δ（t）≤δmax， 其他（4）

式中：δ（t）為船舶的舵角控制量;δmax為船舶一側(cè)的最大舵角;θT為來船的相對方位。

除此之外，還需要對船舶施加狀態(tài)量約束，在船舶的避碰過程中，需要考慮船舶的安全問題以及復(fù)航問題。首先，在船舶的避碰過程中，需要確保船舶的絕對安全，因此要求船舶之間的最小距離RT應(yīng)小于本船與來船船長的一半之和，以保證避讓結(jié)果的有效性^［30］，上述條件以公式描述如下：

RTgt;L+LT2（5）

式中：L表示本船長度;LT表示來船長度。為了防止由船舶出現(xiàn)過度避碰而導(dǎo)致的船舶在復(fù)航時損失過多航程的問題，對于船舶偏離路徑方向的偏航角y，需施加以下約束：

minlt;ylt;max（6）

式中：min、max分別表示偏航角的最小、最大值。通過設(shè)置式（4）～式（6）的狀態(tài)約束，從而保證船舶的安全避碰以及確保船舶在避碰之后以最小的航程損失復(fù)航。

1.2.2 問題目標(biāo)函數(shù)

船舶在避碰的過程中，主要需要考慮安全性以及經(jīng)濟性兩方面的因素。船舶在航行的過程中，不僅需要考慮船舶的航行姿態(tài)以及其與來船的距離，確保船舶的安全航行，還需要考慮航行過程中的經(jīng)濟因素。如果船舶過于頻繁地打舵或舵角變化過多，會造成航速流失、能源浪費等問題。因此，引入船舶危險度模型來表征船舶的安全性，同時考慮舵角變化量，盡可能少地改變舵角，結(jié)合安全性與經(jīng)濟性，設(shè)計船舶避碰最優(yōu)控制問題的目標(biāo)函數(shù)。綜上所述，可以將船舶避碰最優(yōu)控制問題的目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為如下形式：

J=∫^tft0（a1FCRI+a2Fδ）dt（7）

式中：t0表示起始時間;tf表示終止時間;Fδ表示控制量;a1表示碰撞危險度的權(quán)重;a2表示控制量的權(quán)重。在一般情況下，取a1+a2=1;FCRI表示危險度，其計算公式如下所示：

FCRI=λTε（8）

式中：λ=［λDCPA，λTCPA，λRt，λθt，λk］T。其中，λDCPA、λTCPA、λRt、λθt與λk分別為最近會遇距離、最近會遇時間、相對距離、相對方位以及相對速度的權(quán)重;ε=［εDCPA，εTCPA，εRt，εθt，εk］T，εDCPA、εTCPA、εRt、εθt與εk分別為最近會遇距離、最近會遇時間、相對距離、相對方位以及相對速度的隸屬度函數(shù)^［29］。

1.2.3 確定性最優(yōu)控制問題

綜合船舶的水動力學(xué)方程、式（4）～式（6）所示的約束條件以及式（7）所示的目標(biāo)函數(shù)，令狀態(tài)量x=［u，v，r，x，y，θ］T，所形成的確定性軌跡規(guī)劃問題為尋找到一個δ，使得

min J=∫^tft0（a1FCRI+a2Fδ）dt

s.t.x·=f（x，δ，p，t）

式（4）～式（6）

x（t0）=x0

x（tf）=xf（9）

式中：f代表船舶的水動力學(xué)方程;p表示船舶的3個自由度方向上的流體粘性力與狀態(tài)量和控制量的展開式系數(shù);x0、xf分別表示初始狀態(tài)量以及最終狀態(tài)量。為不失一般性，可以將式（9）的軌跡規(guī)劃問題改寫為一般的最優(yōu)控制問題，即尋找到一個u，使得

min， J（x，δ）=∫^tft0（G（x，δ））dt

s.t. x·=f（x，δ，p，t）

g（x，δ，p，t）≤0

b（x（t0），t0，x（tf），tf）=0（10）

式中：x∈R^nx代表狀態(tài)變量;u∈R^nu代表控制輸入;f：R^nx×R^nu×R→R^nx為船舶水動力學(xué)方程;g：R^nx×R^nu×R→R^nq為過程約束;G：R^nx×R^nu×R→R為目標(biāo)函數(shù);b∈R^nb為狀態(tài)變量。式（10）即為確定性的船舶軌跡規(guī)劃最優(yōu)控制問題。

2 魯棒軌跡規(guī)劃問題

2.1 魯棒最優(yōu)控制問題

船舶在水面航行時，多種不確定性因素會干擾船舶按照其規(guī)劃的軌跡正常航行，如若忽略這些不確定性因素的影響，極易產(chǎn)生危險。因此，量化這些不確定性因素對船舶的避碰軌跡規(guī)劃及后續(xù)軌跡跟蹤而言尤為重要。船舶在航行過程中的不確定性主要有海洋環(huán)境和天氣不確定性、航海安全和規(guī)劃不確定性、控制和操縱不確定性、船舶性能和狀態(tài)不確定性以及信息和感知不確定性，其中海洋環(huán)境和天氣的不確定性由于其影響范圍廣、難以預(yù)測和控制以及直接影響船舶性能的特性，往往對船舶的航行影響最為顯著。因此，量化不確定性對于船舶軌跡規(guī)劃而言至關(guān)重要。當(dāng)確定性船舶軌跡規(guī)劃考慮隨機不確定性時，可將用于描述不確定性的向量ξ代入式（10），從而得到不確定性船舶軌跡規(guī)劃問題：

min， J（x，δ）=∫^tft0（G（x（ξ），δ））dt

s.t. x·=f（x（ξ），δ，p（ξ），t）

g（x（ξ），δ，p（ξ），t）≤0

b（x（t0，ξ），t0，x（tf，ξ），tf）=0（11）

由于引入了隨機不確定性，此時最優(yōu)控制問題的目標(biāo)函數(shù)、狀態(tài)量、過程約束以及邊界條件均具有隨機性。在進(jìn)行不確定性分析時，可以將系統(tǒng)狀態(tài)視為隨機變量的函數(shù)。本文針對船舶在會遇時的避碰軌跡規(guī)劃問題，主要考慮3個自由度方向上的流體粘性力與狀態(tài)量和控制量的展開式系數(shù)的不確定性，這些系數(shù)有時不是確定的值，并且容易受到外部干擾。因此，上述不確定性可以表示為

x（ξx）=x-+Δx=x-+Cxξx

p（ξp）=p-+Δp=p-+Cpξp（12）

式中：ξx與ξp是相互獨立的隨機變量;Δx與Δp是關(guān)于船舶狀態(tài)量的標(biāo)稱量x-與流體粘性力與狀態(tài)量和控制量的展開式系數(shù)p-的不確定性向量;Cx與Cp是狀態(tài)與參數(shù)的尺度因子;代表哈達(dá)瑪積^［31］。

由于含有不確定性向量ξ，式（11）所示的最優(yōu)控制問題不能被直接求解，為了解決考慮不確定性的軌跡規(guī)劃問題，進(jìn)一步提出魯棒軌跡規(guī)劃來描述不確定性，即尋找到一個u，使得

min maxkg（J）=maxkg∫^tft0（G（x（ξ），δ））dt

s.t. x·=f（x（ξ），δ，p（ξ），t）

μ［gl（x（ξ），δ，p（ξ），t）］±kg·

σ［gl（x（ξ），δ，p（ξ），t）］≤0， l=1，2，…，ng

μ［bl（x（t0，ξ），t0，x（tf，ξ），tf）］±kg·

σ［bl（x（t0，ξ），t0，x（tf，ξ），tf）］≤τ， l=1，2，…，ng（13）

式中：μ（·）與σ（·）代表期望值與標(biāo)準(zhǔn)差;kg是過程約束的魯棒性水平;maxkg表示在kg的約束魯棒性水平下、目標(biāo)函數(shù)的最大值;τ為初始狀態(tài)與最終狀態(tài)的波動程度限制;ng為約束個數(shù)。式（13）即為一個在給定不確定性以及魯棒性水平的情況下，求解滿足隨機約束函數(shù)的最優(yōu)控制問題。

為了求解式（13）所示的魯棒軌跡規(guī)劃問題，需要對連續(xù)的狀態(tài)空間進(jìn)行離散化處理，使用歐拉法近似處理船舶的狀態(tài)變量，如下所示：

x（t+1）=x（t）+h·x·（t）（14）

式中：x（t）表示t時刻的船舶狀態(tài);h=tsim/step為時間分量，其中tsim為仿真時間，step為仿真步數(shù);x·（t）為t時刻船舶狀態(tài)量的導(dǎo)數(shù)。

在離散化后，系統(tǒng)的輸入由連續(xù)的控制變量變?yōu)榭刂谱兞啃蛄?，如下所示?/p>

u=［δ1，δ2，…，δstep］（15）

此時，魯棒軌跡規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)槊總€采樣時間點的目標(biāo)函數(shù)之和，如下所示：

maxkg（J）=maxkg∑tft=t0（G（x（t，ξ），u（t）））（16）

同樣地，魯棒軌跡規(guī)劃問題的過程約束變?yōu)槊總€采樣時間點的狀態(tài)變量均滿足條件約束，如下所示：

x·（t）=f（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）

μ［gl（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）］±kg·

σ［gl（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）］≤0， l=1，2，…，ng（17）

綜上所述，對式（13）的連續(xù)魯棒軌跡規(guī)劃問題進(jìn)行離散，獲得離散的魯棒軌跡規(guī)劃問題，即尋找到一個u，使得

min maxkg（J）=maxkg∑tft0（G（x（t，ξ），δ（t）））

s.t. x·（t）=f（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）

μ［gl（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）］±kg·

σ［gl（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）］≤0，l=1，2，…，ng

μ［bl（x（t0，ξ），t0，x（tf，ξ），tf）］±kg·

σ［bl（x（t0，ξ），t0，x（tf，ξ），tf）］≤ε， l=1，2，…，ng（18）

當(dāng)魯棒性水平kg確定后，針對船舶會遇避碰軌跡規(guī)劃問題，式（18）的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)樵诮o定的魯棒性水平內(nèi)，使得目標(biāo)函數(shù)的最大值最小，即綜合考量給定的魯棒性水平內(nèi)船舶軌跡的危險性與經(jīng)濟性。對于過程約束而言，使用不確定性量化方法求出狀態(tài)變量分布范圍的均值μg與方差σg之后，問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕袛嘣冢é蘥－kgσg，μg+kgσg）范圍內(nèi)的軌跡是否滿足約束條件;同樣地，使用不確定性量化方法求出邊界的均值μb與方差σb之后，問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕袛嘣冢é蘠－kgσb，μb+kgσb）范圍內(nèi)的軌跡起點與終點是否滿足約束條件。

2.2 求解均值μ與方差σ

在建立離散魯棒最優(yōu)控制問題模型后，要完成船舶避碰魯棒軌跡規(guī)劃，需要選用合適的方法來量化不確定性。不確定性量化不僅關(guān)注船舶航行誤差的均值和方差，同時還需考慮不確定性隨船舶動力學(xué)的概率分布規(guī)律。不確定性量化方法有多種，如蒙特卡羅法、隨機展開法、泰勒展開法、高斯法等。本文采用隨機展開法對整體型船舶水動力學(xué)模型中的泰勒展開式的系數(shù)進(jìn)行不確定量化。

隨機展開法的核心思想是將系統(tǒng)的響應(yīng)處理為一系列展開形式的隨機變量，進(jìn)而表征系統(tǒng)響應(yīng)的概率特征^［32］，其中研究和應(yīng)用最為廣泛的方法為多項式混沌展開法。多項式混沌展開法采用正交多項式作為基函數(shù)，對隨機變量進(jìn)行級數(shù)展開，在此基礎(chǔ)上建立輸入不確定性與輸出不確定性之間的非線性映射關(guān)系。對于船舶軌跡規(guī)劃中的某一時刻的狀態(tài)變量x而言，可將其視為輸出隨機變量，由多項式混沌展開法將其近似展開為

x=a0Γ0+∑+∞i1=1ai1Γ1（ξi1）+

∑+∞i1=1∑i1i2=1ai1i2Γ2（ξi1，ξi2）+…（19）

式中：a是待定的確定性展開系數(shù);Γ為Hermite多項式;ξ為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量。假設(shè)船舶3個自由度方向上的流體粘性力與狀態(tài)量和控制量的不確定展開式系數(shù)有多個，則多元n階Hermite多項式Γn（ξi1，ξi2，…，ξin）的定義如下所示：

Γn（ξi1，ξi2，…，ξin）=（-1）n·

nexp12ξTξξi1ξi2…ξinexp12ξTξ（20）

式中：ξ=［ξi1，ξi2，…，ξin］T是{ξi1，ξi2，…，ξin}中相互獨立的隨機變量。在實際應(yīng)用時，對式（19）進(jìn)行近似處理，忽略其高階項，采用有限階數(shù)展開式。展開式的維數(shù)d為ξ的個數(shù)，展開式的階次p為Γ的個數(shù)，則展開式系數(shù)的個數(shù)Np為

Np=（d+p）！d！p?。?（21）

由式（21）可以看出，展開式系數(shù)的個數(shù)會隨著ξ與Γ個數(shù)的增長呈指數(shù)增加。為了避免高維情況下出現(xiàn)維數(shù)災(zāi)難，通常將式（19）改寫為

x=∑Npi=0biΨi（ξ）（22）

式中：bi表示待定的確定性系數(shù);Ψi（ξ）表示一元i階Hermite多項式。

之后，需要求解多項式混沌展開法展開式中的確定性系數(shù)，進(jìn)而表征響應(yīng)的概率特征，常用的方法有最小二乘法以及Galerkin投影法，其中Galerkin投影法的核心思想是利用多項式的正交性，將展開式分別投影到各個基上，得到待求解的確定性數(shù)。如果已知d維p階多項式展開式的n個樣本點{ξ1，ξ2，…，ξn}及其對應(yīng)的響應(yīng){y1，y2，…，yn}，將其代入式（22），可以推出：

Ψ0（ξ0）Ψ1（ξ0）…ΨNp（ξ0）

Ψ0（ξ1）Ψ1（ξ1）…ΨNp（ξ1）

Ψ0（ξn）Ψ1（ξn）…ΨNp（ξn）

b0

b0

bNp=

x0

x1

xNp（23）

由式（23）可得，多項式混沌展開式待求解的確定性系數(shù)的最小二乘解為

b=（ATA）^－1ATX（24）

式中：

b=［b0，b1，…，bNp］T

X=［x0，x1，…，xNp］T（25）

A=Ψ0（ξ0）Ψ1（ξ0）…ΨNp（ξ0）

Ψ0（ξ1）Ψ1（ξ1）…ΨNp（ξ1）

Ψ0（ξn）Ψ1（ξn）…ΨNp（ξn）（26）

在展開式的系數(shù)確定后，根據(jù)式（22）可知，系統(tǒng)為一系列服從正態(tài)分布的隨機變量的多項式函數(shù)，從而可以獲得船舶軌跡分布的均值、方差等特征信息。均值與方差的計算如下所示：

μx=b0

σ2x=∑Pi=1b2i〈Ψ2i（ξ）〉（27）

針對本文而言，不確定性輸入為船舶3個自由度方向上的流體粘性力與狀態(tài)量、控制量的展開式系數(shù)，輸出為船舶的狀態(tài)變量。首先，通過對船舶水動力模型進(jìn)行機理分析及仿真實驗，可以得到流體粘性力與狀態(tài)量、控制量的展開式系數(shù)中對船舶軌跡影響較大的幾個系數(shù)，以這些系數(shù)為縱蕩方向的力關(guān)于縱蕩速度的系數(shù)Xu、橫蕩方向的力關(guān)于橫蕩速度的系數(shù)Yv與艏搖速度的系數(shù)Yr，以及艏搖方向力關(guān)于橫蕩速度的系數(shù)Nv，假設(shè)其服從如表1所示的正態(tài)分布。

之后，對這些系數(shù)進(jìn)行隨機抽樣，根據(jù)其分布特征隨機采樣獲得一組參數(shù)，將這些參數(shù)代入船舶的水動力學(xué)模型，此時只要給出舵角控制量，就可以獲得一組相應(yīng)的狀態(tài)變量，使用式（23）～式（27）的結(jié)論，即可求得船舶狀態(tài)變量的均值以及方差，根據(jù)魯棒水平kg得到船舶軌跡規(guī)劃的分布范圍。

2.3 使用遺傳算法求解魯棒軌跡規(guī)劃問題

由于本文針對船舶在典型會遇情況下的軌跡進(jìn)行研究，因此可以利用邊界來進(jìn)一步簡化魯棒軌跡規(guī)劃問題。通過分析軌跡的分布范圍可以得出結(jié)論，對于目標(biāo)函數(shù)而言，船舶碰撞危險度的最大值一定在船舶軌跡分布的邊界處。此外，對于過程約束而言，只要軌跡分布的邊界均滿足過程約束，那么所有范圍內(nèi)的軌跡同樣滿足過程約束;對于邊界條件，只要軌跡邊界的起點及終點滿足約束條件，所有范圍內(nèi)的軌跡也均滿足邊界條件。而當(dāng)魯棒性水平kg確定時，軌跡邊界也就隨之確定。因此，可以只考慮船舶的邊界，進(jìn)一步簡化式（18）所示的軌跡規(guī)劃問題，即尋找到一個u，使得

min maxkg（J）=maxkg∑tft0（Q-（t）），∑tft0（Q（t））

s.t. x·（t）=f（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）

μ［g（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）］±kg·

σ［g（x（t，ξ），u（t），p（ξ），t）］≤0， l=1，2，…，ng

μ［bl（x（t0，ξ），t0，x（tf，ξ），tf）］±kg·

σ［bl（x（t0，ξ），t0，x（tf，ξ），tf）］≤ε， l=1，2，…，ng（28）

式中：Q-（t）與Q（t）分別代表船舶規(guī)劃軌跡范圍的兩條邊界包絡(luò)線所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)。由于計算包絡(luò)線的目標(biāo)函數(shù)需要船舶的狀態(tài)信息，因此需要從船舶軌跡的兩條邊界包絡(luò)線反解船舶的狀態(tài)信息，具體包括船舶的速度與艏向角，如下所示：

V=V0， t=0

V=（x（t）－x（t－1））2+（y（t）－y（t－1））2h

=0， t=0

=arctany（t）－y（t－1）x（t）－x（t－1）， x（t）－x（t－1）gt;0

=π－arctany（t）－y（t－1）x（t）－x（t－1）， x（t）－x（t－1）lt;0

=0.5π， 其他（29）

最后，將目標(biāo)函數(shù)視為代價函數(shù)，將過程約束及邊界約束作為懲罰函數(shù)，使用遺傳算法對式（28）所示的確定性最優(yōu)控制問題進(jìn)行求解，從而獲得船舶安全航行的控制量以及軌跡，具體算法如圖2所示。首先，由遺傳算法給出隨機控制量，之后指定魯棒性水平kg，根據(jù)控制量，使用多項式混沌展開法量化船舶的不確定性以獲得船舶的軌跡分布范圍，并判斷船舶軌跡范圍是否滿足過程約束，最后計算求得船舶軌跡規(guī)劃范圍的兩條邊界包絡(luò)線所對應(yīng)的代價函數(shù)，以其最大值作為遺傳算法的代價函數(shù)，獲得局部最優(yōu)的避碰方案。

通過上述方法，可以將船舶的魯棒軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為確定性軌跡最優(yōu)控制問題，進(jìn)而借助遺傳算法得到船舶的安全避碰軌跡及舵角控制量。

3 仿真分析

在仿真實驗中，本船與來船均采用船長為21.75 m的小型民用實驗船模型，設(shè)本船的狀態(tài)變量為X=［u，v，r，x，y，］T，其中變量依次分別表示船舶的縱蕩速度、橫蕩速度、艏搖角速度、坐標(biāo)系橫坐標(biāo)、坐標(biāo)系縱坐標(biāo)以及艏向角。同樣，來船的狀態(tài)變量為XT=［uT，vT，rT，xT，yT，T］T。為了比較基于多項式混沌展開法的船舶魯棒軌跡規(guī)劃效果與傳統(tǒng)遺傳算法的規(guī)劃效果，在相同初始條件下分別采用兩種方法進(jìn)行實驗比較。

根據(jù)船舶國際海上避碰規(guī)則可知，在典型的會遇態(tài)勢中，本船在處于對遇、小角度右舷交叉、大角度右舷交叉以及追越4種典型態(tài)勢時，具有避讓義務(wù)。因此，針對本船具有避讓責(zé)任的4種典型會遇態(tài)勢進(jìn)行仿真實驗，假設(shè)來船沒有采取避讓動作，按照原本的速度持續(xù)航行，且本船與來船初始橫蕩速度與艏搖速度均為0，初始速度僅為縱蕩速度。進(jìn)行如表2所示的4種典型船舶會遇態(tài)勢仿真實驗。

其他仿真實驗參數(shù)如表3所示。

在對遇時，船舶的避碰軌跡、舵角控制量、船舶最近會遇距離、本船與來船相對距離以及危險度的仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3中，ship1 up與ship1 down為本船的兩條極限軌跡，ship1 det為本船不考慮不確定性的軌跡，ship1 uc為本船魯棒優(yōu)化后的軌跡，ship2為來船的軌跡。

圖4（a）中，u det為優(yōu)化前的舵角控制量，u uc為魯棒優(yōu)化后的舵角控制量。圖4（b）中，DCPA up與DCPA down為本船的兩條極限軌跡的最近會遇距離，DCPA det為優(yōu)化前本船軌跡的最近會遇距離，DCPA uc為魯棒優(yōu)化后本船軌跡的最近會遇距離。圖4（c）中，Rt up與Rt down為本船的兩條極限軌跡的相對距離，Rt det為優(yōu)化前本船軌跡的相對距離，Rt uc為魯棒優(yōu)化后本船軌跡的相對距離。在圖4（d）中，cri up與cri down為本船的兩條極限軌跡的碰撞危險度，cri det為優(yōu)化前本船軌跡的碰撞危險度，cri uc為魯棒優(yōu)化后本船軌跡的碰撞危險度。

在小角度右舷交叉的會遇態(tài)勢下，船舶的避碰軌跡、舵角控制量、船舶最近會遇距離、本船與來船相對距離以及危險度的仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5中，各圖注含義與圖3相同。圖6（a）～圖6（d）中，各圖注含義與圖4（a）～圖4（d）相同。

在大角度右舷交叉的會遇態(tài)勢下，船舶的避碰軌跡、舵角控制量、船舶最近會遇距離、本船與來船相對距離以及危險度的仿真結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7中，各圖注含義與圖3相同。圖8（a）～圖8（d）中，各圖注含義與圖4（a）～圖4（d）相同。

在追越的會遇態(tài)勢下，船舶的避碰軌跡、舵角控制量、船舶最近會遇距離、本船與來船相對距離以及危險度的仿真結(jié)果如圖9和圖10所示。

圖9中，各圖注含義與圖3相同。圖10（a）～圖10（d）中，各圖注含義與圖4（a）～圖4（d）相同。

為了分析基于遺傳算法的船舶避碰策略的避碰效果與優(yōu)化結(jié)果，根據(jù)不同態(tài)勢的避碰結(jié)果，取其最小相對距離RTmin、最近會遇距離的最大值DCPAmax以及危險度最大值FCRI作為避碰的評價指標(biāo)，結(jié)果如表4所示。

根據(jù)仿真結(jié)果，所提基于多項式混沌展開法的避碰軌跡可以有效地避開所有典型態(tài)勢下的來船，且與傳統(tǒng)遺傳算法對比，結(jié)果如下：

（1） 在最小距離方面，考慮不確定性的魯棒優(yōu)化后的軌跡均具有更大的最小距離，相比于傳統(tǒng)遺傳算法，魯棒優(yōu)化后的軌跡最小距離提升10%～20%。這意味著船舶采用魯棒優(yōu)化后的軌跡，在極限情況下，本船與來船的距離更遠(yuǎn)，更加安全。

（2） 在最近會遇距離方面，考慮不確定性的魯棒優(yōu)化的軌跡均具有更大的最大最近會遇距離，相對于傳統(tǒng)遺傳算法，魯棒優(yōu)化后的軌跡最大最近會遇距離提升10%～20%。這說明船舶采用魯棒優(yōu)化后的軌跡在未來航行時更加安全，與來船會遇的安全性更高。

（3） 在碰撞危險度方面，考慮不確定性的魯棒優(yōu)化的軌跡均具有更小的平均碰撞危險度，相對于傳統(tǒng)遺傳算法，魯棒優(yōu)化后的軌跡平均碰撞危險度降低10%。這說明在本船與來船的會遇過程中，采用魯棒優(yōu)化后的軌跡在整個會遇過程中危險度更低，更加安全。

綜上所述， 本文所提基于多項式混沌展開法的船舶魯棒軌跡規(guī)劃方法能夠有效地提升船舶的最小相對距離、最大最近會遇距離以及降低平均碰撞危險度，規(guī)劃出的軌跡更加安全可靠。

4 結(jié) 論

本文針對由不確定性引起的船舶運動模型精度低的問題，提出一種基于多項式混沌展開法的船舶魯棒軌跡規(guī)劃方法，該方法能夠考慮船舶水動力系數(shù)的不確定性，將船舶碰撞危險度及舵角控制量作為目標(biāo)函數(shù)，并使用多項式混沌展開法量化不確定性，從而解決船舶魯棒軌跡最優(yōu)控制問題，最終使用遺傳算法求得船舶舵角控制量以及規(guī)劃出的軌跡。經(jīng)過對典型會遇態(tài)勢進(jìn)行仿真實驗，證明該方法相較于傳統(tǒng)遺傳算法在避碰指標(biāo)方面均有所提升，規(guī)劃出的軌跡更加安全可靠。

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作者簡介

祁新宇（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向為不確定性量化、路徑規(guī)劃。

張 智（1981—），男，教授，博士，主要研究方向為人工智能、智能船舶。

尚曉兵（1992—），男，講師，博士，主要研究方向為復(fù)雜系統(tǒng)建模與仿真、不確定性量化。

張藝瓊（1998—），女，碩士研究生，主要研究方向為路徑規(guī)劃、機械臂。

姜立超（2000—），男，博士研究生，主要研究方向為船舶操縱運動預(yù)測。

周悅欣（2000—），女，碩士研究生，主要研究方向為機器人路徑規(guī)劃。