一道雙曲線離心率問(wèn)題的多視角探究

摘 要：文章從2024年全國(guó)九省聯(lián)考第8題入手，從七個(gè)不同的視角來(lái)探究雙曲線離心率的不同解法，并反思解題過(guò)程.引導(dǎo)學(xué)生理解離心率問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生在解題中的靈活應(yīng)變能力，使學(xué)生面對(duì)較復(fù)雜的離心率問(wèn)題時(shí)，能有規(guī)可循，靈活變通.

關(guān)鍵詞：雙曲線;離心率;解法探究

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）04-0021-04

離心率是解析幾何中的重要知識(shí)，涉及的知識(shí)面廣，切入的角度多樣，靈活多變，這類(lèi)問(wèn)題常考常新.近年高考及質(zhì)檢試題頻頻出現(xiàn)求解離心率的值或取值范圍問(wèn)題，難度較大且對(duì)計(jì)算能力要求較高，學(xué)生解決該類(lèi)問(wèn)題，存在較大困難[1].下面從2024年全國(guó)九省聯(lián)考第8題入手，通過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想等，探究問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，尋覓解題的切入點(diǎn)與突破口.

1 試題呈現(xiàn)

2 多解探究

視角1 利用焦半徑公式求解離心率.

解法1 如圖1，設(shè)A（-x0，y0），B（x0，y0），根據(jù)雙曲線焦半徑公式可知，

所以4c2=4a2+16a2+8a2.

即c2=7a2.

故選D.

點(diǎn)評(píng) 利用雙曲線焦半徑公式、題目中已知條件、點(diǎn)在雙曲線上建立方程組化簡(jiǎn)求解.

視角2 利用焦點(diǎn)三角形的面積求解

解法2 如圖1，|F1B|=2|F1A|，

BF1-BF2=2a，

解得F1A=2a.

即BF1=4a，BF2=2a.

所以∠AF2B=60°，∠F1BF2=120°.

故選D.

點(diǎn)評(píng) 利用雙曲線定義求出線段長(zhǎng)度，結(jié)合定義法及數(shù)量積求解角度，根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式建立方程求解離心率.

視角3 利用中線向量公式.

解法3 如圖2，因?yàn)镺為AB中點(diǎn)也是F1F2中點(diǎn)，

所以四邊形AF2BF1為平行四邊形.

所以|F1B|=|F2A|=2|F1A|.

又|F2A-F1A|=2a，

所以|F1A|=2a，|F2A|=4a.

所以∠AF2B=60°.

所以4c2=4a2+16a2+8a2.

所以c2=7a2.

故選D.

點(diǎn)評(píng) 利用雙曲線定義求出線段長(zhǎng)度，結(jié)合定義法及數(shù)量積求解角度，利用中線向量公式建立方程求解離心率.

視角4 利用中線長(zhǎng)公式.

解法4 由OF1=OF2，OA=OB，得四邊形AF1BF2為平行四邊形.

則AF1=BF2，BF1=AF2.

又BF1-BF2=2a，BF1=2BF2，

則BF2=2a，BF1=4a.

=|F2O|2-|OA|2（極化恒等式），

所以4a2=c2-|OA|2.

所以|OA|2=c2-4a2.

又由中線長(zhǎng)公式，得

4|OB|2+|F1F2|2=2（|BF1|2+|BF2|2）.

所以4（c2-4a2）+4c2=2（16a2+4a2）=40a2.

所以2c2-4a2=10a2.

所以c2=7a2.

所以e2=7.

解得e=7.

故選D.

點(diǎn)評(píng) 利用雙曲線定義求出線段長(zhǎng)度，結(jié)合極化恒等式求數(shù)量積，最后利用中線長(zhǎng)公式建立方程求解離心率.

視角5 利用雙曲線的定義+余弦定理.

解法5 如圖3，因?yàn)镺為AB中點(diǎn)也是F1F2中點(diǎn)，所以AF2BF1為平行四邊形.

所以|F1B|=|F2A|=2|F1A|.

又|F2A-F1A|=2a，

所以F1A=2a，F(xiàn)2A=4a.

=-2a·4acos∠F1AF2

=-8a2cos∠F1AF2

=4a2.

=AF21+AF22-2AF1·AF2·cos∠F1AF2

=28a2.

即4c2=28a2.

故選D.

點(diǎn)評(píng) 利用雙曲線定義求出線段長(zhǎng)度，結(jié)合定義法及數(shù)量積求解角度，在三角形中直接由余弦定理建立方程求解離心率.

解法6 如圖4，設(shè)|F1A|=t，則|F1B|=2t.

由雙曲線定義，得

|F1B|-|F2B|=|F1B|-|F2A|=2t-t=2a.

所以t=2a.

在△ABF2中，由余弦定理，得

|AB|2=|F2A|2+|F2B|2-2|F2A|·|F2B|·cos∠AF2B.

設(shè)∠BOF2=α，則∠BOF1=π-α.

在△BOF1中，由余弦定理，得

在△BOF2中，由余弦定理，得

兩式相加，得

20a2=2c2+ba2.

故選D.

點(diǎn)評(píng) 利用雙曲線定義求出線段長(zhǎng)度，結(jié)合定

視角6 雙曲線定義+余弦定理+直角三角形.

解法7 由于對(duì)稱性，四邊形AF1BF2為平行四邊形，2F1A=F1B.

因?yàn)镕2A-AF1=2a，設(shè)F1A=x，則

F2A=2a+x=F1B=2x.

所以x=2a.

所以△ABF1為直角三角形.

故選D.

點(diǎn)評(píng) 利用雙曲線定義求出線段長(zhǎng)度，結(jié)合定義法及數(shù)量積求解角度，通過(guò)數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化得到△ABF1為直角三角形，求得焦距長(zhǎng)度，再直接求離心率即可.

視角7 余弦定理+極化恒等式.

故選D.

點(diǎn)評(píng) 利用極化恒等式和定義法對(duì)數(shù)量積算兩次，再結(jié)合余弦定理建立方程求解離心率.

3 結(jié)束語(yǔ)

離心率是圓錐曲線中的一個(gè)重要概念，是對(duì)圓錐曲線形狀特征的一個(gè)重要的量化描述.雙曲線離心率問(wèn)題的求解一直是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是歷年高考和競(jìng)賽中比較常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題.雙曲線的離心率問(wèn)題，往往對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的要求較高，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)，也是形成數(shù)學(xué)能力的一個(gè)分化點(diǎn)與機(jī)遇.學(xué)生必須具備直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，通過(guò)多視角剖析，對(duì)試題深入觀察、比較、聯(lián)想、分析等，進(jìn)而找到簡(jiǎn)潔的解法和通法[2].雙曲線離心率涉及解析幾何、平面幾何、代數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，方法靈活.解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先從圖形出發(fā)，分析圖形特征，適時(shí)構(gòu)造直角三角形并借助勾股定理、三角形的中位線性質(zhì)定理、特殊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、正（余）弦定理、雙曲線的定義等知識(shí)靈活處理，從而抓住問(wèn)題的本質(zhì)，降低運(yùn)算量.

參考文獻(xiàn)：

［1］徐春生.例析雙曲線的離心率問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化，2022（11）：17-18.

[2] 王勇，張華麗.在新情境中探究雙曲線的離心率[J].數(shù)理天地，2023（07）：21-23.