2024年北京大學強基計劃數(shù)學試題及其詳解

摘 要：2024年北京大學強基計劃數(shù)學試題包括函數(shù)與方程1道，三角函數(shù)6道，立體幾何1道，平面解析幾何1道，計數(shù)原理2道，平面幾何3道，整數(shù)性質6道.試題整體難度比2023年北京大學強基計劃數(shù)學試題簡單，但較高考數(shù)學試題的難度增加了很多.文章給出了試題及其詳解.

關鍵詞：2024年；北京大學；強基計劃；數(shù)學試題；整數(shù)性質

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0014-07

2024年北京大學強基計劃筆試時間是2024年6月30日9：00-11：00，本文將給出其中的數(shù)學試題（以下簡稱試題）及其詳解.

試題共20道（都是單項選擇題）：包括函數(shù)與方程1道（即第7題，且要用到導數(shù)），三角函數(shù)6道（其中第2，6題是三角函數(shù)；第13，14，15，19題涉及解三角形），立體幾何1道（即第9題），平面解析幾何1道（即第10題），計數(shù)原理2道（即第3，5題），平面幾何3道（即第16，17，18題），整數(shù)性質6道（即第1，4，8，11，12，20題）.

1 試題

A.0 B.1 C.2 D.以上答案都不對

（2）sin36°-sin3114°+sin3126°=（" ）.

D.以上答案都不對

（3）若在1，2，3，…，8的排列中沒有出現(xiàn)12，23，34，…，78中的任意一個，則這樣的排列個數(shù)是（" ）.

A.16 687 B.16 787 C.16 887

D.以上答案都不對

（4）數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第2 024項被5除所得的余數(shù)是（" ）.

A.0 B.2 C.4 D.以上答案都不對

（5）若a1，a2，a3，a4∈1，2，3，10lt;a1a2a3a4lt;20，則四元有序數(shù)組（a1，a2，a3，a4）的組數(shù)是（" ）.

A.20 B.25 C.30 D.以上答案都不對

（6）方程2cosx=sinx（0lt;x≤2π）解的個數(shù)是（" ）.

A.0 B.1 C.2 D.以上答案都不對

A.0 B.1 C.2 D.以上答案都不對

（8）方程x2-13［x］+11=0的實根個數(shù)是（" ）.

A.3 B.4 C.5 D.以上答案都不對

A.3 B.4 C.5 D.以上答案都不對

（11）設正整數(shù)n的各位數(shù)字之和是S（n）.若

S（n+1）與S（n）均為5的倍數(shù)，則n的最小值是（" ）.

A.499 B.4 999 C.49 999 D.以上答案都不對

A.（0，1 000）"" B.（1 000，2 000）

C.（2 000，3 000） D.以上答案都不對

（13）在△ABC中，cosAcosBcosC的最小值或下確界是（" ）.

（14）在△ABC中，設角A，B，C的對邊長分別是

A.AD2lt;2DC·DB" B.AD2=2DC·DB

C.AD2gt;2DC·DB D.以上答案都不對（16）已知點O在△ABC外，且∠BOC=2∠BAC，兩條線段OC，AB交于點D，OB=OC=3，OD=2，則BD·AD=（" ）.

A.5 B.6 C.7 D.以上答案都不對

（17）在△ABC中，點D在邊BC上.若AD平分∠BAC，且ΔADC的內心與△ABC的外心重合，則∠C的大小是（" ）.

（18）在△ABC中，點D在邊BC上.若AD平分∠BAC，且AB=AD=3，CD=2，則△ABC的周長是（" ）.

A.10.5 B.11.5 C.12.5 D.以上答案都不對

（19）在△ABC中，y=2sinA+sinB+sinC取到最大值的充要條件是（" ）.

D.以上答案都不對

2 試題的詳解

由22 022-1=（3+1）1 011-1及二項式定理可得3|22 022-1，由22 022-1=（7+1）674-1及二項式定理得7|22 022-1.

（2）C.由sin（2×18°）=cos（3×18°），得

2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°.

即2sin18°=4cos218°-3=1-（2sin18°）2.

即（2sin18°）2+（2sin18°）-1=0.

設a=sin6°，b=-sin114°，c=sin126°，α=6°，可得a+b+c=sinα+sin（α-120°）+sin（α+120°）=0.

（3）A.記有限集合T的元素個數(shù)是|T|.

在1，2，3，…，8的所有排列中，設Ai（i=1，2，…，7）為包含連續(xù)的（i，i+1）的排列組成的集合.

再由容斥原理可得

即在1，2，3，…，8的所有排列中至少出現(xiàn)過12，23，34，…，78之一的排列個數(shù)是23 633個，所以所求答案是8！-23 633=16 687.

（5）B.由題設得乘積a1a2a3a4的質因數(shù)只可能是2，3，進而可得a1a2a3a4=12，16或18，再得四元無序數(shù)組（a1，a2，a3，a4）是（1，2，2，3），（1，2，3，3）或（2，2，2，2），分別得四元有序數(shù)組（a1，a2，a3，a4）的組數(shù)是C24A22=12，C24A22=12，1，故答案是25.

④當πl(wèi)t;x≤2π時，2cosxgt;0≥sinx，原方程解的個數(shù)是0.

綜上所述，可得原方程解的個數(shù)是2.

（7）D.易知原方程有三個實根-1，0，1.

（9）B.設該單位正方體的長、寬、高被切成長度分別是a和1-a，b和1-b，c和1-c的兩段，這里的a，b，c∈（0，1）.

可得8個小長方體的體積分別是abc，ab（1-c），a（1-b）c，a（1-b）（1-c），（1-a）bc，（1-a）·b（1-c），（1-a）（1-b）c，（1-a）（1-b）（1-c）.

abc≤ab（1-c）≤a（1-b）c≤（1-a）bc.

即a（1-b）（1-c）≤（1-a）b（1-c）≤（1-a）·

（1-b）c≤（1-a）（1-b）（1-c）.

由均值不等式可得

當a=0.25，b=c=0.45時，可得8個小長方體的體積分別是0.050625，0.061875，0.061875，

0.075625，0.151875，0.185625，0.185625，

0.226875，

綜上所述，可得所求最小值是4.

在△F1PF2中，由余弦定理的推論，得

所以△F1PF2的面積為

所以S（n）=am+am-1+…+ak+1+9k，

S（n+1）=am+am-1+…+ak+1+1.

再由S（n+1）與S（n）均為5的倍數(shù)，可得S（n）-S（n+1）=9k-1為5的倍數(shù)，再得k+1為5的倍數(shù)，所以正整數(shù)k≥4.

當k=4時，S（n+1）=am+am-1+…+ak+1+1為5的倍數(shù)，可得nmin=49 999.

還可檢驗當n=49 999時滿足題設，所以所求n的最小值是49 999.

（12）D.設n=ak…a2a1.因為是求最大“好數(shù)”所在的區(qū)間，所以可先考慮k≥3的情形.

所以最大“好數(shù)”是3570，進而可得答案是D.

所以0lt;cosAcosBlt;1.

再由-1lt;cosClt;0，可得

cosAcosBcosCgt;-cosAcosBgt;-1.

當A→0+，B→0+，C→π-時，

cosAcosBcosC→（-1）+.

綜上所述，可得cosAcosBcosC的最小值不存在，但下確界是-1.

所以3bcsinA=a2=b2+c2-2bccosA.

所以AD2gt;2DC·DB.

（16）A.如圖1所示，由題設“點O在△ABC外，且∠BOC=2∠BAC，OB=OC”可得點O是△ABC的外心.再由兩條線段OC，AB有交點可得兩點O，A在線段BC的同側.

如圖1所示，延長CO交△ABC的外接圓于點E，由相交弦定理可得

BD·AD=ED·CD=（OE+OD）（OC-OD）=OC2-OD2=32-22=5.

（17）D.如圖2所示，設題設中的內心與外心均為點O（即圖2中的點E也即點F），可得

∠ACF=∠BCF.

由OA=OB=OC，可得ΔOAC與ΔOBC均為等腰三角形，所以∠AOC=∠BOC，再得ΔAOC≌ΔBOC（邊角邊）.所以AC=BC.所以∠ABC=∠BAC.

所以∠BAC=2∠ACB.

由余弦定理可得

即2x3+5x2-36x+36=0.

即（x+6）（x-2）（2x-3）=0.

解得x=1.5或2（x=-6舍去）.

若x=2，得AB=AD=AC=3，這不可能！所以x=1.5，y=4，進而可求得△ABC的周長是10.5.

（20）C.由題設可求得

②假設n=k時結論成立，即

所以當n=k+1時，

3 結束語

北京大學強基計劃（其前身是北京大學自主招生及北約自主招生）于2020年正式實施，截至目前共實施了五年（2020—2024年），其筆試試題規(guī)律性較強，詳見文獻[1-7].

參考文獻：

［1］甘超一.2022年北京大學強基計劃數(shù)學試題及其詳解[J].數(shù)理化解題研究，2023（19）：101-107.

[2] 甘志國.2020年北京大學“強基計劃”數(shù)學試題及其詳解[J].數(shù)學通訊，2021（03）：53-58.

[3] 甘志國.2018年北京大學自主招生試題[J].數(shù)理天地（高中版），2020（08）：20-24.

[4] 甘志國.2019年北京大學自主招生數(shù)學試題（部分）及其詳解[J].數(shù)理化解題研究，2019（22）：30-32.

[5] 甘志國，張榮華.2017年北京大學自主招生數(shù)學試題及其參考答案[J].高中數(shù)理化，2018（03）：19-23.

[6] 甘志國.2016年北京大學博雅計劃自主招生數(shù)學試題及解答[J].中學數(shù)學雜志，2016（11）：59-62.

[7] 甘志國.談一道2010年北京大學自主招生數(shù)學試題[J].數(shù)學通訊，2011（10上）：56-58.