y=ax與y=logax交點(diǎn)個(gè)數(shù)的解法探究

摘 要：文章針對(duì)y=ax與y=logax的交點(diǎn)問(wèn)題，給出了差函數(shù)，結(jié)合反函數(shù)與兩曲線相切；給出了換元法、取對(duì)法、同構(gòu)法、指數(shù)逼近法等多種解法.

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；交點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）04-0002-07

指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax是最基本、應(yīng)用最廣泛的函數(shù).兩函數(shù)的交點(diǎn)情況如下：

筆者通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題有多種解法，且各解法之間相互關(guān)聯(lián).這些解法可以從不同角度闡釋指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征和代數(shù)性質(zhì)，還可以為函數(shù)交點(diǎn)這一類問(wèn)題提供多種解題模板.

1 構(gòu)造差函數(shù)

令h（x）=ax-logax，則

令g（x）=xaxln2a-1，則

g′（x）=axln2a（1+xlna）.

當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，要使函數(shù)有交點(diǎn)，需x∈（0，1）.

對(duì)g（x）max分類討論.

g（x2）=0.相應(yīng)的，x∈（0，x1）時(shí)，h′（x）gt;0；x∈（x1，x2）時(shí)，h′（x）lt;0；x∈（x2，1）時(shí)，h′（x）gt;0.故h（x）在（0，x1）單調(diào)遞增，（x1，x2）單調(diào)遞減，（x2，1）單調(diào)遞增.

又x→0時(shí)，h（x）→-∞，

又h（1）=agt;0，故h（x）在（0，1）內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)y=ax與y=logax有三個(gè)交點(diǎn)[2].

agt;1的情形因過(guò)于復(fù)雜而難以討論.

簡(jiǎn)析 交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為差函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是處理

函數(shù)問(wèn)題的基本方法，其流程大致為：①構(gòu)造差函數(shù)h（x）；②求出h′（x），在本題中，需要對(duì)差函數(shù)無(wú)法確定符號(hào)的部分繼續(xù)使用導(dǎo)數(shù)處理；③結(jié)合二階或更高階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極限、端點(diǎn)、極值點(diǎn)、相關(guān)點(diǎn)等處的值，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)行判斷，得到差函數(shù)的增減情況；④利用極限、端點(diǎn)、極值點(diǎn)、相關(guān)點(diǎn)等處的值，結(jié)合根的存在性判定定理，得出差函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和大致區(qū)間.在尋找相關(guān)點(diǎn)、判定多個(gè)值正負(fù)時(shí)，依舊要反復(fù)用到上述流程.無(wú)法確切得到某些區(qū)間和零點(diǎn)時(shí)，我們還需“隱”零點(diǎn).只要隱零點(diǎn)范圍估算合理，并不影響對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷.

2 利用反函數(shù)與兩曲線相切等函數(shù)性質(zhì)

兩曲線相切：若兩條曲線有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處有相同的切線，稱這兩條曲線在該點(diǎn)處相切，該切線為這兩條曲線的公切線.若公切線“切過(guò)”兩條曲線，并且兩條曲線在切點(diǎn)附近分布在切線兩側(cè)，我們稱這種相切為“異側(cè)切過(guò)”.若兩條曲線在切點(diǎn)附近分布在曲線的同一側(cè)，我們稱這種相切為“同側(cè)切過(guò)”.

反函數(shù)：一般來(lái)說(shuō)，設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈A）的值域是B.若能找到一個(gè)函數(shù)g（y）在每一處g（y）都等于x，這樣的函數(shù)x=g（y）（y∈B）叫做函數(shù)y=f（x）（x∈A）的反函數(shù)，記作x=f-1（y）.反函數(shù)x=f-1（y）的定義域、值域分別是函數(shù)y=f（x）的值域、定義域.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.點(diǎn)（m，n）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為（n，m）.顯然，y=ax與y=logax為一對(duì)反函數(shù).

當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，y=ax與y=logax有交點(diǎn)，則交點(diǎn)在x∈（0，1）上.先考慮臨界情況，即y=ax與y=logax只有一個(gè)的交點(diǎn)且為切點(diǎn).顯然.此時(shí)y=ax與y=logax同側(cè)切過(guò)，且切點(diǎn)在直線y=x上，此時(shí)公切線斜率為-1.

簡(jiǎn)析 本解利用函數(shù)的凹凸性、反函數(shù)等性質(zhì)，兩曲線相切的有關(guān)知識(shí)，快速“鎖定”了切點(diǎn)、公切線斜率.再?gòu)呐R界情況出發(fā)，結(jié)合底數(shù)變化對(duì)指對(duì)函數(shù)的影響，討論了不同的交點(diǎn)情況.利用反函數(shù)、兩曲線相切等性質(zhì)，我們還能得到交點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)函數(shù)的理解更加透徹.

3 換元法

令f（x）=ax-logax，當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，對(duì)應(yīng)的x∈（0，1）.

令a=e-t（tgt;0），則

下面對(duì)t分情況進(jìn)行討論.

①當(dāng)0lt;t≤e時(shí)，即e-e≤alt;1時(shí)，φ（x）≥0，故h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又x→0時(shí)，h（x）→-∞；h（1）=1gt;0.即e-e≤alt;1時(shí)，兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn).

又h（1）=1gt;0，故h（x）在（0，x1），（x1，x2），（x2，1）各有一個(gè)零點(diǎn).即0lt;alt;e-e時(shí)，兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn).

4 換元法結(jié)合切線界定

①當(dāng)-me≥m2，即m≥-e，e-e≤alt;1時(shí)，f ′（x）≥0，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.x→0時(shí)，f（x）→-∞；f（1）=agt;0.故此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)，即y=ax與y=logax有一個(gè)交點(diǎn).

②當(dāng)-melt;m2，即mlt;-e，0lt;alt;e-e時(shí)，設(shè)

y=e-mx與y=m2x交于M（x1，y1），N（x2，y2），（x1lt;x2）.故x∈（0，x1）時(shí)，f ′（x）gt;0；x∈（x1，x2）時(shí)，f ′（x）lt;0；x∈（x2，1）時(shí)，f ′（x）gt;0，故f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，1）上單調(diào)遞增.下面證明f（x1）gt;0，f（x2）lt;0.

證f（x1）gt;0，f（x2）lt;0.故當(dāng)0lt;alt;e-e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上有三個(gè)零點(diǎn)，即y=ax與y=logax有三個(gè)交點(diǎn).

簡(jiǎn)析 y=ax與y=logax求導(dǎo)相對(duì)復(fù)雜，使用et換元，能夠使求導(dǎo)變得容易.解法3和解法4，是對(duì)解法1的改進(jìn).在換元后，解法3遵循流程，逐步討論，屬于基本方法.解法4利用指數(shù)函數(shù)的切線，迅速完成了對(duì)參數(shù)m的討論.而對(duì)于f（x1）和f（x2）正負(fù)的討論，先找到零點(diǎn)x3，再利用f ′（x3）lt;0界定了x3范圍.充分利用了已求得信息和圖象特點(diǎn)，使得解答變得簡(jiǎn)潔.

5 取對(duì)數(shù)

①當(dāng)lna+e≥0時(shí)，即e-e≤alt;1時(shí)，g′（x）min≥0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，g（x）在（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)，即y=ax與y=logax只有一個(gè)交點(diǎn).

6 同構(gòu)

y=ax與y=logax有交點(diǎn)，即ax=logax有解.即ax·lna=lnx.即有ax·xlna=xlnx，即exlna·xlna=elnx·lnx.

當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，需0lt;xlt;1.此時(shí)，lnxlt;0，

xlnalt;0.令g（t）=tet（tlt;0），則g′（t）=（t+1）et.令g′（t）gt;0，則-1lt;tlt;0；令g′（t）lt;0，則tlt;-1.故g（t）在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增.

交點(diǎn)，記為（x1，y1），（x2，y2）（x1lt;x2）.

簡(jiǎn)析 本解中，對(duì)于0lt;alt;1的情形，由于同構(gòu)函數(shù)在相關(guān)區(qū)間上不單調(diào)，我們需要利用交點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合極值點(diǎn)偏移和不等式等性質(zhì)，最終完成了關(guān)于不同交點(diǎn)情況下a范圍的討論.在本題中，還可以利用ax·lnax=xlnx，將同構(gòu)函數(shù)轉(zhuǎn)化為g（t）=tlnt.

7 指數(shù)擬合逼近

①當(dāng)a∈（0，e-e）時(shí)，y=ax與y=logax有三個(gè)交點(diǎn)，其中一組關(guān)于直線y=x對(duì)稱，另一個(gè)在y=x上.

③當(dāng)a∈（e-e，1）時(shí)，y=ax與y=logax有一個(gè)交點(diǎn).

8 結(jié)束語(yǔ)

在處理函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題中，我們需要數(shù)形結(jié)合，以“形”覓“數(shù)”，以“數(shù)”論“形”；關(guān)注基本概念，如單調(diào)性、極值、最值等；掌握基本方法，如函數(shù)求導(dǎo)、零點(diǎn)判定等；熟悉常見(jiàn)技巧，如指數(shù)取對(duì)、極限情況；洞悉函數(shù)特征，如反函數(shù)、公切線；發(fā)掘問(wèn)題本質(zhì)，如自然對(duì)數(shù)底數(shù)e的由來(lái).多視角觀察問(wèn)題，多角度思考問(wèn)題，多途徑解決問(wèn)題，在多種解法中，逐步達(dá)到對(duì)知識(shí)的深度理解.

參考文獻(xiàn)：

［1］宗敏.對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的再探討[J].考試周刊，2010（03）：80.

[2] 祝廣文.介紹一種不超綱的證法：再談指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2019（20）：62-64.