2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷(三）

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）04-0081-11

第Ⅰ卷 （選擇題 共58分）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

A.-i" B.i" C.-1" D.1

3.若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），且點(diǎn)A（2，3），

B（0，-5）到它的距離相等，則l的方程為（" ）.

A.4x-y-2=0""" B.4x-y+2=0

C.x=1或4x-y-2=0D.4x-y+2=0或x=1

4.在等比數(shù)列an中，a1+an=82，a3·an-2=81，且前n項(xiàng)和Sn=121，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n等于（" ）.

A.3" B.4" C.5" D.6

5.某校為數(shù)學(xué)興趣小組購(gòu)買(mǎi)了一些數(shù)學(xué)特色專(zhuān)著：《數(shù)學(xué)的意義》《現(xiàn)代世界中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)問(wèn)題》，其數(shù)量分別為x，y，z（單位：本）.現(xiàn)了解到：

①xgt;ygt;zgt;0;②4zgt;x+y，則這些數(shù)學(xué)專(zhuān)著至少有（" ）.

A.9本" B.10本" C.11本" D.12本

6.六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖1所示，正八面體E-ABCD-F的棱長(zhǎng)為a，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（" ）.

②異面直線(xiàn)AE與BF所成的角為45°；

A.1個(gè)" B.2個(gè)" C.3個(gè)" D.4個(gè)

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題 6分，共計(jì) 18 分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)是符合題目要求的，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人.設(shè)第n次傳球后球在甲、乙、丙手中的概率依次為An，Bn，Cn，n∈N*，則下列結(jié)論正確的有（" ）.

10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（" ）.

A.若A=30°，b=4，a=3，則△ABC有兩解

C.若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），則ABC是等腰三角形

第Ⅱ卷（非選擇題共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2an-n，則a6=．

14.已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（pgt;0）的準(zhǔn)線(xiàn)l與x

三、解答題（本題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫(xiě)出文字說(shuō)明，說(shuō)明過(guò)程或演算步驟）

15.（本小題13分）仙人掌別名老鴉舌、神仙掌，這一獨(dú)特的仙人掌科草本植物，以其頑強(qiáng)的生命力和獨(dú)特的形態(tài)在自然界中獨(dú)樹(shù)一幟，以其形似并攏手指的手掌且?guī)в写痰奶卣鞫妹?仙人掌不僅具有極高的觀賞價(jià)值，還具有一定的藥用價(jià)值，被譽(yù)為“夜間氧吧”，其根莖深入土壤或者干燥的黃土中使其能夠吸收足夠多的水分進(jìn)行儲(chǔ)藏來(lái)提高生存能力，我國(guó)某農(nóng)業(yè)大學(xué)植物研究所相關(guān)人員為了解仙人掌的植株高度y（單位：cm），與其根莖長(zhǎng)度x（單位：cm）之間是否存在線(xiàn)性相關(guān)的關(guān)系，通過(guò)采樣和數(shù)據(jù)記錄得到如下數(shù)據(jù)（見(jiàn)表1）：

（1）由表1數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并說(shuō)明是否可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（若|r|gt;0.75，則可用線(xiàn)性回歸模型擬合，計(jì)算結(jié)果精確到（0.001）；

（2）求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程．

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為

（1）證明：平面A1B1C⊥平面ABB1A1;

（1）求直線(xiàn)AB和雙曲線(xiàn)C的方程;

（2）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)，M為線(xiàn)段AF2的中點(diǎn).求證：∠MTF2=∠TF1A.

（2）若g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)a，b（alt;b）．

（?。┳C明：mgt;e-1；

（ⅱ）證明：ablt;1．

19.（本小題17分）

已知（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*）.

（1）求a0+a1+a2+…+an;

（2）我們知道二項(xiàng)式（1+x）n的展開(kāi)式（1+x）n=

C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn，若等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得n（1+x）n-1=C1n+2C2nx+3C2nx2+…+nCnnxn-1，令x=1，得C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=

n·2n-1.利用此方法解答下列問(wèn)題：

①求a1+2a2+3a3+…+nan；

②求12a1+22a2+32a3+…+n2an．

參考答案

故選C.

所以sinAgt;2cosA.

所以tanAgt;2（cosAgt;0）或tanAlt;0（cosAlt;0）.

所以tanA=-3.

故選A.

3.根據(jù)題意，分情況討論可得：

（1）當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)A（2，3），B（0，-5）在所求直線(xiàn)的異側(cè)時(shí)，即過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)（1，-1）．此時(shí)直線(xiàn)的斜率不存在，即滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)方程為x=1.

（2）當(dāng)A（2，3），B（0，-5）在所求直線(xiàn)同側(cè)時(shí)，直線(xiàn)AB與所求的直線(xiàn)平行.

所以所求的直線(xiàn)斜率為kl=kAB=4.

所以直線(xiàn)方程為y-2=4（x-1）.

化簡(jiǎn)，得4x-y-2=0.

綜上，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)為4x-y-2=0或x=1.

故選C.

4.由等比數(shù)列的性質(zhì)可得

a1an=a3·an-2=81.

又a1+an=82，

所以a1和an是方程x2-82x+81=0的兩根，

解方程可得x=1或x=81.

若等比數(shù)列an單調(diào)遞增，則a1=1，an=81.

因?yàn)镾n=121，

解得q=3.

所以81=1×3n-1，解得n=5.

若等比數(shù)列an單調(diào)遞減，則

a1=81，an=1.

因?yàn)镾n=121，

綜上，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n等于5．

故選C.

5.由已知，①xgt;ygt;zgt;0，②4zgt;x+y，并且x，y，z∈N*，可得

4zgt;x+ygt;2y.

所以2zgt;ygt;z．

當(dāng)z=1時(shí)，2gt;ygt;1，不合條件；

當(dāng)z=2時(shí)，4gt;ygt;2，所以y=3，這時(shí)x≥4，

其中若x=4，則4z=8gt;7=x+y，滿(mǎn)足條件，這時(shí)x+y+z=9；

若x≥5，則4z=8≤x+y，不合條件；

當(dāng)z≥3時(shí)，一定有x+y+zgt;9．

綜上，這些數(shù)學(xué)專(zhuān)著至少有x+y+z=9（本）．

故選A.

6.由正八面體，則EF與AC垂直相交，且長(zhǎng)度相等，如圖3，設(shè)交點(diǎn)為O，則O即為正方形ABCD的中心.

由正八面體棱長(zhǎng)為a，

則八個(gè)面均為邊長(zhǎng)為a的正三角形.

則此八面體的表面積為

故①正確.

由EF與AC垂直相交，且長(zhǎng)度相等，

則四邊形AECF為正方形，AE∥FC.

則直線(xiàn)AE與BF所成的角，即為BF與CF所成的角.

在正△BCF中∠BFC=60°，

故異面直線(xiàn)AE與BF所成的角為60°，

故②錯(cuò)誤.

則外接球體積為

由題意可知O到各面的距離相等，設(shè)為h，由

VE-ABCD=VO-ABE+VO-BCE+VO-CDE+VO-ADE，

故③正確.

故④錯(cuò)誤.

綜上，正確的有①③，共2個(gè)，故選B.

7.如圖4，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得

|AF′|=|BF|，|BF′|=|AF|.

所以|AF′|+|AF|=|BF|+|AF|=6=2a，

解得a=3．

解得b≥2.

又因?yàn)閎lt;a，

所以2≤blt;3．

故選C.

因?yàn)閒（x+2）=2f（x），

對(duì)x1∈［-2，0］，x2∈［-2，1］，使得g（x2）=f（x1），所以f（x）在［-2，0］上的值域是g（x）在［-2，1］上的值域的子集.

當(dāng)agt;0時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，

g（x）在［-2，1］上的值域?yàn)椋?2a+1，a+1］，

當(dāng)alt;0時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，

g（x）在［-2，1］上的值域?yàn)椋踑+1，-2a+1］，

當(dāng)a=0時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，即g（x）=1，不符合題意.

故選D.

9.第一次傳球后到乙或丙手中，故A1=0.

故A正確.

第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個(gè)結(jié)果，它們等可能.3次傳球后球在乙手中的事件有：

甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個(gè)結(jié)果，

故B錯(cuò)誤.

第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4種結(jié)果，它們等可能，

所以2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個(gè)結(jié)果，

故C正確.

即Ak+2Ak+1=1，

故D正確．

故選ACD.

10.對(duì)于A，因?yàn)锳=30°，b=4，a=3，

由正弦定理可得

因?yàn)閎gt;a，所以B有兩解，即△ABC有兩解.

所以A正確.

設(shè)CD=x，CB=2x，在△BCD中，由余弦定理得

在△BCD中，可得

在△ABC中，由余弦定理可得

所以△ABC的面積為

所以B正確.

對(duì)于C，由（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）·

sin（A+B），

可得（a2+b2）（sinAcosB-cosAsinB）=

（a2-b2）（sinAcosB+cosAsinB），

整理，得2a2sinBcosA=2b2sinAcosB.

由正弦定理，得

sin2AsinBcosA=sin2BsinAcosB.

可得sin2A=sin2B.

因?yàn)锳，B∈（0，π），

可得2A=2B或2A=π-2B.

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

所以C不正確.

由正弦定理可得△BCD外接圓的直徑為

所以D正確．

故選ABD.

則x=1.

所以當(dāng)xgt;1時(shí)，f ′（x）lt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)xlt;1時(shí)，f ′（x）gt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增.

所以x=1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).

若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則

故A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B：若f（x）≤0恒成立等價(jià)于f（x）max≤0.

故B錯(cuò)誤.

設(shè)h（x）=ax2-2g（x），

則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

即h′（x）=2ax-2ex+2≤0.

令k（x）=xex-ex+1，

所以k′（x）=xexgt;0.

所以k（x）單調(diào)遞增.

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，xex-ex+1=0，

所以s（x）單調(diào)遞增，恒大于0.

所以a≤0，

故C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)間′（x）=ex-1，

故h（x）min=h（1）=1.

所以g（x）與h（x）必有交點(diǎn).

故D錯(cuò)誤.

故選AC.

12.n=1時(shí)，a1=1.

n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-（n-1）.

故an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1.

所以an=2an-1+1.

即an+1=2an-1+2.

所以an+1=2（an-1+1）.

即數(shù)列{an+1}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.

所以a6+1=2×25.

即a6=63．

故答案為63．

13.如圖6，分別取A1C1，AC的中點(diǎn)M，N，連接B1M，MN，MC，C1N，CB1.

由題意知B1M⊥側(cè)面ACC1A1，且四邊形MNCC1為正方形.

設(shè)MC，C1N的交點(diǎn)為H，CB1的中點(diǎn)為O，連接HO，則HO∥B1M.

所以HO⊥側(cè)面ACC1A1.

所以點(diǎn)P在以O(shè)為球心，OC為半徑的球面上.

又點(diǎn)P在側(cè)面ACC1A1內(nèi)，

所以點(diǎn)P的軌跡為側(cè)面ACC1A1內(nèi)以H為圓心，HC為半徑的一段圓弧.

因?yàn)檎叫蜯NCC1中，MC⊥C1N，

所以CC1=2，AC=4.

14.如圖7，過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別記為點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別記為點(diǎn)D，E．

因?yàn)閨BF|=4|AF|，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)上，

所以由y22=16y21，得2px2=16×2px1.

解得x2=16x1.

因此AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為

15.（1）根據(jù)題意可得

因?yàn)閨r|gt;0.75，所以可用線(xiàn)性回歸模型模擬.

故線(xiàn)性回歸方程為y=11.8x-55.4．

設(shè)平面A1B1C的法向量為n=（x0，y0，z0），則

設(shè)平面ABB1A1的法向量為

m=（x1，y1，z1），則

由于n·m=0，則平面A1B1C的法向量與平面ABB1A1法向量垂直.

則平面A1B1C⊥平面ABB1A1;

設(shè)平面PCD的法向量為p=（x2，y2，x2），則

設(shè)平面A1B1C與平面PCD的夾角為θ，則

即（a+3）2=（a+2）2+3，解出a=-1.

則點(diǎn)P到平面ABB1A1的距離為

17.（1）由題意，直線(xiàn)AB的方程為

由題意，△=24-8（2+a2）=0，

解得a2=1.

所以|TF2|2=4.

又∠F1F2T=∠TF2M，

所以△F1F2T∽△TF2M.

故∠MTF2=∠TF1A.

18.（1）由題意知f（x）=2ex-x2.

則f ′（x）=2ex-2x.

所以f ′（0）=2.

又f（0）=2，

所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y=2x+2．

則g′（x）=2ex-2mx-2xlnx-2．

令h′（x）=0，得x=1.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增，

所以h（x）min=h（1）=e-1．

由g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得方程g′（x）=0有兩個(gè)實(shí)根.即h（x）=m有兩個(gè)實(shí)根.

則mgt;e-1．

（ⅱ）由題意知a，b是方程g′（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，即h（a）=h（b）=m，且0lt;alt;1lt;b．

則當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，

故m（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

故m（x）gt;m（1）=0.

故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）gt;0.

故F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

故F（x）gt;F（1）=0.

由（?。┛芍猦（x）在（0，1）上單調(diào)遞減.

19.（1）對(duì)于（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，取x=1得

a0+a1+a2+…+an=（2-1）n=1.

（2）①對(duì)（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn兩邊求導(dǎo)得

2n（2x-1）n-1=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1.

取x=1，得

a1+2a2+3a3+…+nan=2n.

②將2n（2x-1）n-1=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1兩邊乘以x，得

2n（2x-1）n-1·x=a1x+2a2x2+3a3x3+…+nanxn，

兩邊求導(dǎo)得2n［2（n-1）（2x-1）n-2x+（2x-1）n-1］=a1+22a2x+32a3x2+…+n2anxn-1.

取x=1，得

12a1+22a2+32a3+…+n2an=4n2-2n.