2025年高考數(shù)學模擬卷（二）

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0072-09

（適合新課標Ⅱ卷省份：甘肅、山西、遼寧、吉林、黑龍江、廣西、海南、重慶、貴州、云南、新疆）

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．若z=1-i，則|z3-z|=（" ）.

2．若向量a=（2，1），b=（3，4），則向量a在向量b上的投影向量為（" ）.

4．下列說法正確的是（" ）.

A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率可能是0.2

B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是4

C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是27

D.若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為4，則數(shù)據(jù)

2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的標準差是4

7．直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為等腰直角三角形，AA1=4，AB=AC=6，D為線段BC的中點，E為棱B1C1上靠近點B1的三等分點，則直線DE與平面ACC1A1所成角的正弦值為（" ）.

8．已知函數(shù)f（x）=xlnx，若0lt;x1lt;x2，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（" ）.

（1）x2f（x1）lt;x1f（x2）

（2）x1+f（x1）lt;x2+f（x2）

（4）當lnxgt;-1時，x1f（x1）+x2f（x2）gt;2x2f（x1）

A.1" B.2" C.3" D.4

二、多項選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得 6 分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）

11．已知f（x）=x3-3x+2，則（" ）.

A.f（x）有三個零點

B.f（-10）+f（10）=4

C.當x∈（-2，+∞）時，f（x）≥0

D.曲線y=f（x）存在兩條過點（-2，0）的切線

第Ⅱ卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）

14．如圖1是一個3×3的九宮格，小方格內(nèi)的坐標表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標，重新調(diào)整位置，使得每行、每列各三個向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為．

四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+2ax（a∈R）.

（1）當a=e時，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若g（x）=f（x）-2x2，不等式g（x）≥-1在［1，+∞）上存在實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.

17．如圖2，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=3AA1=2A1B1=6，AA1⊥平面ABCD.

（1）證明：BD⊥平面ACC1A1.

（2）求直線DD1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

18．圖像識別是人工智能領(lǐng)域的一個重要研究方向.某中學人工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識別性別的程序.在對該程序的一輪測試中，小組同學輸入了500張不同的人臉照片作為測試樣本，獲得數(shù)據(jù)見表1（單位：張）：

該程序?qū)γ繌堈掌淖R別都是獨立的.

（1）現(xiàn)從這500張人臉照片中隨機抽取，

①若抽取一張，求識別結(jié)果正確的概率；

②若抽取一張男性照片和一張女性照片，求至少有一張照片無法被成功識別（含無法識別或識別錯誤）的概率；

（2）為處理無法識別的照片，該小組同學提出上述程序修改的三個方案：

方案一：將無法識別的照片全部判定為女性；

方案二：將無法識別的照片全部判定為男性；

方案三：將無法識別的照片隨機判定為男性或女性（即判定為男性或女性概率均為50%）.

現(xiàn)從若干張不同人臉照片（其中男性、女性照片數(shù)量之比為1∶1）中隨機抽取一張，分別用方案一、方案二、方案三進行識別，其識別正確的概率估計值分別記為p1，p2，p3，試比較p1，p2，p3的大小.（假設(shè)用頻率估計概率，結(jié)論不要求證明）

（1）若點E，F(xiàn)的縱坐標分別為y1，y2，用y1，y2和p表示點C的坐標.

（2）證明：直線AB與拋物線Γ相切；

參考答案

1．由z=1-i，

可得z3=（1-i）3=-2-2i.

故選C.

2．a(chǎn)在b上的投影向量

故選A.

所以只需2alt;（x2+lnx）min.

設(shè)f（x）=x2+lnx，x∈［1，2］，

則f（x）在［1，2］上單調(diào)遞增.

所以f（x）min=1.

故選A.

故選D.

則

|AB|=3m，因此|BF|=m+3m=8.

所以|AF|=m=2.

故選B.

故選D.

因為x軸⊥平面ACC1A1，則可取平面ACC1A1的一個法向量為n=（1，0，0），

則

故選C.

所以當0lt;x1lt;x2時，g（x1）lt;g（x2）.

（2）錯誤.令g（x）=f（x）+x=xlnx+x，

所以g′（x）=lnx+2.

所以x∈（e-2，+∞）時，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（0，e-2）時，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減.

所以x1+f（x1）與x2+f（x2）無法比較大小.

（3）錯誤.因為f ′（x）=lnx+1，

所以x∈（e-1，+∞）時，f ′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（0，e-1）時，f （x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減.

所以無法確定f（x1），f（x2）的大小，故（3）錯誤.

（4）正確.因為lnxgt;-1時，f ′（x）=lnx+1gt;0，所以f（x）單調(diào)遞增.又因為（1）正確，

所以

x1·f（x1）+x2·f（x2）-2x2f（x1）gt;x1·f（x1）+x2·f（x2）-x1f（x2）-x2f（x1）

=x1［f（x1）-f（x2）］+x2［f（x2）-f（x1）］

=（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］gt;0.

故選B.

對于A，如圖6，記△AF1F2的內(nèi)切圓在邊AF1，AF2，F(xiàn)1F2上的切點分別為P，Q，R，

則|AP|=|AQ|，|PF1|=|RF1|，|QF2|=|RF2|，|AF1|-|AF2|=

|PF1|-|QF2|=|RF1|-|RF2|=2a，

令點R（t，0），則t+c-（c-t）=2a，解得t=a，而MR⊥x軸，則點M的橫坐標為a，同理點N的橫坐標為a，因此MN始終垂直于x軸，A正確.

對于C，D，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則∠OF2N=

在△MF2N中，

故選ABC.

11．對于選項A，易知x∈R，因為f（x）=x3-

3x+2，則f ′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）.

由f ′（x）gt;0，得到xlt;-1或xgt;1；由f ′（x）lt;0，得到-1lt;xlt;1，所以f（x）=x3-3x+2的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）.

又x→-∞時，f（x）→-∞，f（-1）=-1+3+2=4，f（1）=1-3+2=0，

x→+∞時，f（x）→+∞，其圖象如圖7.

由圖7知，f（x）只有2個零點，A錯誤.

對于選項B，因為f（10）+f（-10）=103-3×10+2+（-10）3-3×（-10）+2=4，B正確.

對于選項C，由選項A知，f（x）在區(qū)間（-2，-1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減，區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.

又f（-2）=（-2）3-3×（-2）+2=0，f（1）=1-3+2=0，f（-1）=4，C正確.

對于選項D，因為點（-2，0）在曲線上，

故選BCD.

12．因為an+an+1=3，所以S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）=3n.

解得k=18.

故答案為18．

故答案為-4.

14．

如圖8，首先對3×3的九宮格每個位置標注數(shù)字，

第一步先排（0，0），一共9個位置，因此有C19種排法，

根據(jù)對稱性知，（0，0）所在的行和列只能排（1，1），

（-1，-1），（1，-1），（-1，1），

不妨設(shè)（0，0）在1位置.

第二步排2位置，則從（1，1），（-1，-1），（1，-1），（-1，1）選一個，因此有C14種排法，

則3位置的數(shù)也定下來了.

第三步排4位置，則從（1，1），（-1，-1），（1，-1），（-1，1）剩余的兩個中挑一個，因此有C12種排法，

接著排7位置，7位置是（1，1），（-1，-1），（1，-1），（-1，1）中剩余的最后一個，

相當于（0，0）所在的行和列都定下來了，

則使得每行、每列各三個向量的和為零向量，其他四個位置的向量排法是唯一的，

因此按分步乘法計數(shù)原理知，C19×C14×C12=72（種），

因此共有72種排法.

故答案為72.

16．（1）當a=e時，f（x）=lnx+2ex（xgt;0），則

所以f（1）=2e，f ′（1）=1+2e.

故在（1，f（1））處切線方程為

（1+2e）x-y-1=0.

當a≥0時，f ′（x）gt;0，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）原條件等價于g（x）=lnx-2x2+2ax≥-1在［1，+∞）上存在實數(shù)解.

［1，+∞）上存在實數(shù)解.

17．（1）因為底面ABCD是正方形，

所以AC⊥BD.

又因為AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以AA1⊥BD.

因為AA1∩AC=A，且AA1，AC平面ACC1A1，

所以BD⊥平面ACC1A1.

（2）因為AA1⊥平面ABCD，AB，AD平面ABCD，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AD.

又底面ABCD是正方形，AB⊥AD，

故AB，AD，AA1兩兩垂直.

以AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖9所示的空間直角坐標系，

則A（0，0，0），B（6，0，0），B1（3，0，2），C（6，6，0），D（0，6，0），D1（0，3，2）.

設(shè)平面BCC1B1的法向量為m=（x1，y1，z1），

則

解得y1=0.

令x1=2，則z1=3，故m=（2，0，3）.

設(shè)直線DD1與平面BCC1B1所成的角為θ，則

設(shè)平面AD1P的法向量為n=（x2，y2，z2），

則

令y2=-6，則z2=9，x2=λ.

故n=（λ，-6，9）.

18．（1）①若A表示抽到男性，B表示抽到女性，M表示識別為男性，F(xiàn)表示識別為女性.

所以抽取一張，識別結(jié)果正確的概率

所以p2gt;p3gt;p1.

19．（1）因為點E，F(xiàn)的縱坐標分別為y1，y2，