關(guān)于“球槽模型”的研究與拓展

摘 要：對(duì)“球槽模型”中的幾個(gè)疑難問(wèn)題進(jìn)行定量分析，重點(diǎn)討論了小球的運(yùn)動(dòng)軌跡、小球的速度及其最大值、球槽之間的彈力及其最大值等問(wèn)題，并對(duì)該模型進(jìn)行拓展研究，以強(qiáng)化對(duì)模型的特點(diǎn)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，指出一道常見(jiàn)習(xí)題中數(shù)據(jù)的科學(xué)性錯(cuò)誤及可行的修改方法.

關(guān)鍵詞：球槽模型；運(yùn)動(dòng)軌跡；最大速度；最大彈力；橢圓擺模型

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）04-0111-05

“球槽模型”是高中物理中的經(jīng)典模型.如圖1所示，質(zhì)量為M的勻質(zhì)凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內(nèi)有一個(gè)半圓形的光滑軌道，圓的半徑為R.質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），初始時(shí)刻從圓軌道的右端點(diǎn)由靜止開始下滑，整個(gè)過(guò)程凹槽不翻轉(zhuǎn)，重力加速度為g.

了彈力的最大值位于凹槽最低點(diǎn)［3］；文獻(xiàn)[4]將小球視為剛體從而考慮小球在凹槽中做純滾動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)彈力最大值也存在臨界條件是小球和凹槽的質(zhì)量相等［4］.本文詳細(xì)地討論這些問(wèn)題，并對(duì)該模型進(jìn)行拓展研究，指出一道常見(jiàn)習(xí)題中數(shù)據(jù)的科學(xué)性錯(cuò)誤及可行的修改方法.

1 模型的研究

1.1 小球的運(yùn)動(dòng)軌跡

小球在凹槽中相對(duì)于凹槽做圓周運(yùn)動(dòng)，由于凹槽相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)，所以小球相對(duì)于地面并不是圓周運(yùn)動(dòng).為了求解小球相對(duì)于地面的軌跡方程，以初始時(shí)刻凹槽圓心的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標(biāo)系xOy，圓的直徑位于x軸上，如圖2所示.

設(shè)小球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中某時(shí)刻的坐標(biāo)為（x，y），則小球向左運(yùn)動(dòng)的水平位移為（R-x）.設(shè)凹槽向右運(yùn)動(dòng)的位移為x1，由水平方向的“人船模型”可得

凹槽移動(dòng)后的半圓形軌道方程為

（x-x1）2+y2＝R2，（y≤0）②

1.2 小球的最大速度

設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)相對(duì)于地面的速度為v1，凹槽的速度為v2，由系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒和系統(tǒng)的機(jī)械能守恒可得

聯(lián)立③④式解得

然而，從動(dòng)力學(xué)角度和能量轉(zhuǎn)化的角度做定性分析，都無(wú)法判斷小球的速度大小變化情況.小球的最大速度出現(xiàn)在什么位置？如何求解最大速度？這需要嚴(yán)格地定量推導(dǎo)和計(jì)算[5].

如圖3所示，不妨以小球相對(duì)于凹槽圓心轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ為自變量，小球相對(duì)于凹槽的速度v相沿圓弧的切線方向，相對(duì)于地面的速度為v1，凹槽的速度為v2，則滿足下列表達(dá)式

mv1x＝Mv2⑥

v相sinθ＝v1x+v2⑧

v21＝v21x+（v相cosθ）2⑨

聯(lián)立⑥⑦⑧⑨式解得

令g′（θ）≥0，則B14式中括號(hào)內(nèi)的式子大于等于0，化簡(jiǎn)可得

（k+1）（k+cos2θ）2≥3k（k+1）sin2θ-ksin4θ 15

1.3 球槽間最大彈力

一般情況下，如圖4所示，以地面為參考系，凹槽受到小球的彈力FN在水平方向的分力產(chǎn)生加速度a2，對(duì)凹槽在水平方向，由牛頓第二定律可得

FNcosθ＝Ma2 18

而凹槽的加速度可表示為

聯(lián)立11 12 18 19式解得

聯(lián)立18式消除加速度a2解得

2 模型的拓展

仔細(xì)考察可以發(fā)現(xiàn)，在“球槽模型”中并不限于特定的軌道約束，可以改為輕繩或輕桿連接，它們的特點(diǎn)和實(shí)質(zhì)相同.從小球運(yùn)動(dòng)的軌跡形狀來(lái)看，都可以稱為“橢圓擺模型”[7].

2.1 拓展一：球環(huán)模型

例1 （多選）如圖6所示，兩個(gè)小球A、B用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩連接，B球穿在光滑細(xì)桿上.初始時(shí)，細(xì)繩處于水平狀態(tài)，現(xiàn)將A、B由靜止釋放，兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)且mA＜mB，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g.下列說(shuō)法正確的是（" ）.

A.A球在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)

B.A球與B球同時(shí)達(dá)到最大速度

C.A球運(yùn)動(dòng)的最大速度大于B球運(yùn)動(dòng)的最大速度

D.A球向左運(yùn)動(dòng)的最大位移大于B球向右運(yùn)動(dòng)的最大位移

2.2 拓展二：球車模型

例2 （多選）如圖7所示，質(zhì)量為M的帶有四分之一光滑圓弧軌道的小車靜止置于光滑水平面上，圓弧的半徑為R（未知），一質(zhì)量為m的小球以速度v0水平?jīng)_上小車，恰好達(dá)到圓弧的頂端，此時(shí)M向前走了0.2R，接著小球又返回小車的左端.若M＝2m，重力加速度為g，則（" ）.

A.整個(gè)過(guò)程小車和小球組成系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能都守恒

解析 小車和小球組成系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但動(dòng)量不守恒，而是水平方向動(dòng)量守恒，在小球上升到最大高度的過(guò)程中有mv0＝（m+M）v 23

由水平方向動(dòng)量守恒可得mv0＝mvm+MvM，對(duì)時(shí)間t微元求和可得

mv0t＝mxm+MxM，v0t＝xm+0.4R 26

其中M向前走了xM＝0.2R，由幾何關(guān)系可得

xm＝xM+R＝1.2R 27

質(zhì)疑：這個(gè)問(wèn)題本質(zhì)上是橢圓擺模型的拓展，運(yùn)動(dòng)規(guī)律很復(fù)雜.當(dāng)小球達(dá)到圓弧的頂端時(shí)，小車的位移和小球的水平位移不是一個(gè)設(shè)定的數(shù)據(jù)，而需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)值模擬.圖8 球車模型的速度關(guān)系

如圖8所示，設(shè)小球相對(duì)于小車圓心轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，小球相對(duì)于小車的速度v相沿圓弧的切線方向，小車的速度為v，由系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得

聯(lián)立30 31式解得

利用計(jì)算機(jī)軟件求得小車和小球的水平位移分別為

由此可見(jiàn)，小車的位移約為0.674R，并不是題給條件0.2R，小球的水平位移約為1.674R，故本題的數(shù)據(jù)屬于隨意設(shè)定或捏造，犯了科學(xué)性錯(cuò)誤.為了防止出現(xiàn)錯(cuò)誤，可以將小車的位移設(shè)置成xM＝kR，那么26 27式將改為

v0t＝xm+2xM＝xm+2kR 32

xm＝xM+R＝kR+R 33

類似的問(wèn)題如圖9所示，質(zhì)量為M的小車靜止在光滑的水平軌道上，用一段不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)給小球以水平初速度v0，且恰好達(dá)到輕繩處于水平狀態(tài)，關(guān)于小球和小車的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，與上述拓展2的實(shí)質(zhì)相同，都屬于“橢圓擺模型”的拓展延伸.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文首先對(duì)“球槽模型”主要的研究文獻(xiàn)進(jìn)行綜述，指出已有研究的不足；然后對(duì)其中的幾個(gè)疑難問(wèn)題進(jìn)行定量分析，重點(diǎn)討論了小球的運(yùn)動(dòng)軌跡、小球的速度及其最大值、球槽之間的彈力及其最大值等問(wèn)題；最后對(duì)該模型進(jìn)行拓展研究，以強(qiáng)化對(duì)模型的特點(diǎn)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，并指出一道常見(jiàn)習(xí)題中數(shù)據(jù)的科學(xué)性錯(cuò)誤及可行的修改方法，為教學(xué)提供參考.

參考文獻(xiàn)：

［1］張燕怡.關(guān)于力學(xué)綜合常見(jiàn)模型“球槽問(wèn)題”的一點(diǎn)討論[J].物理教學(xué)探討，2017，35（4）：52-53，61.

[2] 陳向正，李力，張貴華.“球槽模型”的數(shù)理解析和一個(gè)錯(cuò)誤的澄清[J].物理教師，2018，39（5）：57-58.

[3] 馮得會(huì)，王猛.再議“球槽模型”最大值位置[J].物理教師，2023，44（8）：87-89.

[4] 李旭斌.“球槽模型”的壓力極值位置分析[J].物理教師，2022，43（12）：58-59.

[5] 段石峰.2023年高考湖南卷壓軸題“球槽模型”的溯源與拓展[J].物理教學(xué)，2023，45（09）：74-77.

[6] 劉存輝，劉海英，李萍，等.2023年高考物理湖南卷壓軸題的溯源及拓展[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2023，52（31）：59-63.

[7] 段石峰.2023年高考物理湖南卷第15題“橢圓擺模型”的研究[J].物理教師，2024，45（02）：90-93.