巧解拋體運動射程相關(guān)問題

摘 要：文章從常見的“平地”拋出物體射程最大的問題出發(fā)，推廣至向“坡上”拋和向“坡下”拋，得出“當(dāng)物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線拋出時，射程最大”這一普適結(jié)論.除了最大射程對應(yīng)唯一拋射角之外，其他任意射程都可以通過兩種不同的拋射角來實現(xiàn)，兩個拋射方向關(guān)于斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線對稱.

關(guān)鍵詞：拋體運動；角平分線；射程最大

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0107-04

拋體運動是一種典型的勻變速曲線運動，其中沿平（斜）面的拋體運動是物理競賽知識體系的基礎(chǔ).通過對斜拋運動中最大射程問題進(jìn)行分析，得出結(jié)論：不論向“坡上”拋還是向“坡下”拋，當(dāng)物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線拋出時，射程最大.

1 經(jīng)典原題

從水平面上以相等的速度大小v拋出一物體，不計空氣阻力，試求拋體的最大射程和相應(yīng)的拋射角[1].

解 如圖1所示，在拋射平面（豎直平面）內(nèi)分別取水平方向和豎直方向為x軸和y軸方向，建立直角坐標(biāo)系Oxy，那么拋體運動的分量方程為

欲求拋射體的射程L，可從方程②中取y=0時的x值，得到

從L的表達(dá)式易得最大射程和相應(yīng)的拋射角分別為

即當(dāng)物體沿水平面與豎直向上方向所成夾角的角平分線拋出時，射程最大.實際上向“坡下”拋還是向“坡上”拋仍然有類似的規(guī)律，只不過應(yīng)修改成當(dāng)物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線拋出時，射程最大.現(xiàn)就一般情況進(jìn)行證明.

2 模型推廣

現(xiàn)在討論向“坡上”、向“坡下”拋擲物體的最大射程問題[2].如圖2和圖3所示，令直角坐標(biāo)的x軸和y軸分別指向沿斜面向上（或向下）和垂直于斜面向上方向，沿坐標(biāo)軸方向分解物體的速度和加速度，此時x軸和y軸方向的運動均為勻變速直線運動，它們在x軸和y軸方向的分運動方程分別為

vx=vcosθ±（gsinφ）t⑤

vy=vsinθ-（gcosφ）t⑥

方程⑤⑦中，正號為向“坡下”拋，負(fù)號為向“坡上”拋.

在圖2中，欲求沿斜坡方向拋射體的射程L，可從方程⑧中取y=0時的x值，得到

對⑨式中含有θ的因子cos（θ+φ）sinθ作積化和差變換

L取最大值

相應(yīng)的拋射角為

同理，在圖3中欲求沿斜坡方向拋射體的射程L，可從方程⑧中取y=0時的x值，得到

同樣作積化和差處理后得到

相應(yīng)的拋射角為

3 得出結(jié)論

當(dāng)物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線向“坡上”拋出時，相應(yīng)的拋射角為

當(dāng)物體沿斜面與豎直向上方向所成夾角的角平分線向“坡下”拋出時，相應(yīng)的拋射角為

由此還可反推，當(dāng)射程x一定時，拋射方向沿斜面與豎直方向所成夾角的角平分線時，速度最小.即沿水平面斜上拋v2min=gx，向坡上拋時v2min =

評析 運動的分解是解決曲線運動問題的常用方法，其核心在于建立合適的坐標(biāo)系，將一個復(fù)雜的曲線運動分解成兩個簡單直線運動來討論.合適的坐標(biāo)系的建立可以起到化繁為簡、事半功倍的效果.在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生按需建立坐標(biāo)系，從而提升學(xué)生解題能力和思維品質(zhì).4 軟件驗證

在GeoGebra軟件中，我們設(shè)定了重力加速度為g=9.8 m/s2，并考慮了一系列初速度均為5 m/s的拋射運動，這些運動的拋射方向與x軸正方向的夾角從5°變化到85°，每次增加5°通過繪制這些拋射運動的軌跡（拋物線），我們得到了一個拋物線組合圖像[3].

觀察這個圖像（圖4），我們可以發(fā)現(xiàn)一個顯著的特點：當(dāng)兩個拋射的方向是關(guān)于45°這條角平分線對稱時，它們的射程是相等的.進(jìn)一步地，圖像還表明，在所有可能的拋射方向中，沿著45°這條角平分線方向拋出的物體，在水平面上能夠達(dá)到的最大射程是最大的.

現(xiàn)在我們?nèi)⌒泵鎯A角為30°，向坡上拋，其余設(shè)定同上.由圖5可知，當(dāng)兩個拋射方向關(guān)于角平分線60° 線對稱時斜面上的射程相等，且沿角平分線60°線方向拋出落在傾角為30°的斜面上射程最大.

現(xiàn)在我們?nèi)⌒泵鎯A角為30°，向坡下拋，其余設(shè)定同上.由圖6可知，當(dāng)兩個拋射方向關(guān)于角平分線30° 線對稱時斜面上的射程相等，且沿角平分線60°線方向拋出落在傾角為30°的斜面上射程最大.

由三種情形的圖像可得除了最大射程對應(yīng)的唯一拋射角之外，其他任意射程都可以通過兩種不同的拋射角來實現(xiàn)，兩個拋射方向關(guān)于斜面與豎直方向所成夾角的角平分線對稱.

下面我們以向坡上拋為例進(jìn)行理論分析，通過前面的分析已得

5 具體應(yīng)用

在傾角α=30°的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽，如圖7所示，運動員從坡上方A點開始下滑，到起跳點O時借助設(shè)備和技巧，保持在該點的速率不變而以與水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上B點，坡上OB兩點距離L為此項運動的記錄.已知A點高于O點h=50 m，g取10 m/s2，忽略各種阻力、摩擦，求最遠(yuǎn)可跳多少米？此時起跳角為多大[4]？

5.1 常規(guī)解法

建立如圖8所示的直角坐標(biāo)系，將初速度和加速度沿x軸和y軸方向正交分解：

x軸方向上的初速度和加速度分別為

vx0=v0cos（θ+α），ax=gsinα

y軸方向上的初速度和加速度分別為vy0=v0sin（θ+α），ay=g

cosα

故在x軸和y軸方向上的位移方程為

運動員落到斜面上時，y=0.

利用三角函數(shù)關(guān)系

當(dāng)2θ+α=90°，即θ=30°，L取最大值.

評析 以上解法雖然根據(jù)題圖靈活地建立了坐標(biāo)系，運用了運動的正交分解方法，利用已知的物理定律或原理，將因變量與影響它的一個或多個物理量（即自變量）之間建立起明確的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后運用數(shù)學(xué)方法求函數(shù)的極值，但運算較復(fù)雜，耗時長且很難保證正確率.

5.2 巧解

6 結(jié)束語

本文從運動的合成與分解出發(fā)，得到相關(guān)結(jié)論，并加以剖析，歸納便于學(xué)生應(yīng)用的處理方法，以期對學(xué)生在求解這類試題有所幫助.分析此類拋體運動的問題有利于開闊學(xué)生眼界、提升學(xué)科素養(yǎng)，是高階思維能力培養(yǎng)的難得素材.當(dāng)然，解答這題對于學(xué)習(xí)物理競賽的學(xué)生而言，就是必備的能力了.

參考文獻(xiàn)：

［1］程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽教程：力學(xué)篇[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013.

［2］ 蔣玉兵.斜拋運動的幾個有趣結(jié)論[J].物理之友，2018，34（09）：26，30.

［3］ 殷仁勇.物理奧賽拋體問題的處理與運用[J].物理教師，2019，40（11）：95-97.

［4］ 黃國超.由一競賽試題談對斜拋運動的處理[J].物理教師，2009，30（02）：60.