例談?dòng)脤?dǎo)數(shù)處理含參函數(shù)單調(diào)性策略

摘 要：用導(dǎo)數(shù)處理含參函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題是歷年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)，里面涵蓋了多種數(shù)學(xué)思想方法.文章詳細(xì)闡述利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性的類(lèi)型以及一般策略.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；含參函數(shù)；單調(diào)性；分類(lèi)討論

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）04-0052-03

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，因?yàn)閰?shù)的不確定性，從而導(dǎo)致導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)不確定，繼而原函數(shù)的單調(diào)性不確定，所以常常對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論以便確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào).討論的關(guān)鍵是化不確定為確定，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的式子的類(lèi)型及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)找到討論節(jié)點(diǎn)，具體可參考以下步驟［1］：

（1）明確原函數(shù)的定義域；

（2）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行通分、因式分解等變形，判斷導(dǎo)函數(shù)各個(gè)部分的符號(hào)，找到影響導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)鍵部分，將其設(shè)為一個(gè)函數(shù)，例如設(shè)為

g（x），以下把g（x）記為“導(dǎo)后有效部分”；

（3）對(duì)“導(dǎo)后有效部分g（x）”在定義域上的符號(hào)進(jìn)行分析，具體操作如下：

①導(dǎo)后有效部分g（x）是什么類(lèi)型函數(shù)；

②導(dǎo)后有效部分g（x）=0是否有根，有幾個(gè)根，根的大小是否確定；

③對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，明確根的大小，再結(jié)合函數(shù)g（x）的類(lèi)型，畫(huà)出

g（x）大致簡(jiǎn)圖；

④根據(jù)原函數(shù)的定義域確定以上的分類(lèi)是否需要細(xì)分，結(jié)合g（x）大致簡(jiǎn)圖，直觀得出在不同區(qū)間上的符號(hào).

1 “導(dǎo)后有效部分g（x）” 為“一次型”

例1 設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（agt;-1），求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)-1lt;a≤0時(shí)，f ′（x）lt;0恒成立，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，+∞），無(wú)增區(qū)間；

評(píng)注 此題中的“一次型”，即導(dǎo)函數(shù)的分子呈現(xiàn)自變量最高次項(xiàng)為一次的代數(shù)形式，在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，部分學(xué)生會(huì)分三種情況處理，即a=0，agt;0，-1lt;alt;0，實(shí)則是走入了初高中銜接階段處理含參不等式的誤區(qū).在用導(dǎo)數(shù)處理含參函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，主要是討論導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)與0的大小關(guān)系，而非不同的不等式結(jié)構(gòu)，在解題策略上應(yīng)該先寫(xiě)其大小關(guān)系是恒成立的情況.

2 “導(dǎo)后有效部分g（x）”為類(lèi)“一次型”

例2 已知函數(shù)f（x）=ex-ax，其中a∈R，討論函數(shù)f（x）在［0，1］上的單調(diào)性.

解析 （1）由f（x）=ex-ax，得f ′（x）=ex-a.因?yàn)閤∈［0，1］，所以ex∈［1，e］，當(dāng)a≤1時(shí)，f ′（x）=

ex-a≥0，f（x）在［0，1］上單調(diào)遞增，當(dāng)1lt;alt;e時(shí)，令f ′（x）=ex-a≥0，解得x≥lna，即f（x）在［lna，1］上單調(diào)遞增.令f′（x）=ex-alt;0，解得xlt;lna，即f（x）在0，lna上單調(diào)遞減.當(dāng)a≥e時(shí)，f′（x）=ex-a≤0，f （x）在［0，1］上單調(diào)遞減.

評(píng)注 此題中的“類(lèi)一次型”非數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語(yǔ)，可解釋為通分后分子上導(dǎo)函數(shù)含參，但參數(shù)不影響導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，一般是一個(gè)單調(diào)的基本初等函數(shù)加上參數(shù)，我們可以根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性分析出導(dǎo)函數(shù)和0的大小關(guān)系，從而確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).

3 “導(dǎo)后有效部分g（x）”為二次型且能分解因式

評(píng)注 此題中的“二次型”，即導(dǎo)函數(shù)分子呈現(xiàn)自變量最高次項(xiàng)為二次的代數(shù)形式，且能因式分解.在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，①根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)（即二次函數(shù)的開(kāi)口）通常分三類(lèi)a=0，agt;0，alt;0進(jìn)行第一次分類(lèi)討論；②開(kāi)口確定后根據(jù)方程的兩根的位置關(guān)系進(jìn)行第二次討論；③畫(huà)好草圖以后再對(duì)根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行第三次討論，從而判斷其導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào).

4 “導(dǎo)后有效部分g（x）”為類(lèi)二次型能分解因式

例4 （2017年新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，討論f（x）的單調(diào)性.

解析 由f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，得

f ′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（2ex+1）（aex-1）.

因?yàn)閑2xgt;0，exgt;0，所以當(dāng)a≤0時(shí)，f ′（x）lt;0，所以f（x）在R上單調(diào)遞減.

評(píng)注 此題中的“類(lèi)二次型”不是數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語(yǔ)，也不嚴(yán)謹(jǐn)，但在講解此類(lèi)問(wèn)題中，用“類(lèi)二次型”的表述能讓大多數(shù)學(xué)生接受并理解.導(dǎo)函數(shù)f ′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1進(jìn)行因式分解得ex的二次函數(shù)型，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的恒正性，要首先考慮恒成立情況，即a≤0，導(dǎo)數(shù)恒負(fù)，繼而確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).

5 “導(dǎo)后有效部分g（x）”為二次型但不能分解因式

數(shù)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解析 函數(shù)f（x）的定義式為（0，+∞），

令g（x）=ax2+（2a+2）x+a，則方程ax2+（2a+2）x+a=0的根的判別式△=8a+4.

（1）當(dāng)a≥0時(shí)，g（x）gt;0在（0，+∞）上恒成立，所f ′（x）gt;0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

當(dāng)0lt;xlt;x1時(shí)，g（x）lt;0，f ′（x）lt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x1lt;xlt;x2，g（x）gt;0，f ′（x）gt;0，函數(shù)

f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)xgt;x2時(shí)，g（x）lt;0，f ′（x）lt;0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

評(píng)注 此類(lèi)問(wèn)題只需要通過(guò)對(duì)判別式△的符號(hào)進(jìn)行討論.①若△lt;0，則方程沒(méi)有實(shí)根，接下來(lái)判斷二次函數(shù)的開(kāi)口是否確定，不確定時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)開(kāi)口和△lt;0，畫(huà)出導(dǎo)后有效部分g（x）的草圖，直觀看出g（x）的符號(hào)；②若△=0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，下面的處理同①；③若△gt;0，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，記為x1，x2，接下來(lái)判斷二次函數(shù)的開(kāi)口是否確定，不確定時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)開(kāi)口方向和兩個(gè)實(shí)根，畫(huà)出導(dǎo)后有效部分g（x）的草圖，直觀看出g（x）的符號(hào).最后加入定義域確定以上的分類(lèi)是否需要細(xì)分，畫(huà)出g（x）的草圖明確各個(gè)分類(lèi)在定義域內(nèi)的符號(hào).

6 “導(dǎo)后有效部分g（x）”為求導(dǎo)型

當(dāng)-1lt;xlt;0時(shí)，g（x）gt;g（0）=0，

所以f ′（x）gt;0，所以f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增．

當(dāng)xgt;0時(shí)，g（x）lt;g（0）=0，f ′（x）lt;0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）.

評(píng)注 此類(lèi)問(wèn)題難點(diǎn)在于要對(duì)原函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)而判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，其次還要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行試根，寫(xiě)出極值點(diǎn)，判斷其與0的大小關(guān)系，進(jìn)而寫(xiě)出原函數(shù)的單調(diào)性.

7 結(jié)束語(yǔ)

含參問(wèn)題是一種綜合題型，該題型的考查目的是訓(xùn)練和檢查學(xué)生的邏輯推理能力和分析能力.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)處理含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，則是一類(lèi)常見(jiàn)的探索性問(wèn)題.參數(shù)問(wèn)題形式多種多樣，技巧性也強(qiáng)，方法更是靈活多變，所以面對(duì)某些“含參函數(shù)”題目要知道解決的策略多種多樣，我們要不斷提升自己的數(shù)學(xué)思維，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 嚴(yán)厚飛.利用導(dǎo)數(shù)求解含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的策略[J].高考，2018（35）：192.