優(yōu)化運算 彰顯素養(yǎng)

摘 要：數(shù)學(xué)運算是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，是獲取數(shù)學(xué)知識、有效參與數(shù)學(xué)活動、積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗的基本要求.文章以“向量法求解立體幾何探索性問題”為例，從明晰運算對象、探究運算邏輯、巧妙設(shè)置參數(shù)、優(yōu)化運算思路、提升運算素養(yǎng)等環(huán)節(jié)開展教學(xué)實踐，實現(xiàn)從提升解題技能向發(fā)展運算素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變.

關(guān)鍵詞：運算素養(yǎng)；優(yōu)化運算；立體幾何；向量法

中圖分類號：G632"" 文獻標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0045-04

良好的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果等[1].優(yōu)化運算是指在具體情境中，能夠綜合考慮問題的特點、運算的復(fù)雜性和個人計算能力等因素，選擇最合理、最簡潔的運算策略.

高中數(shù)學(xué)課程將立體幾何分為兩個部分，必修中的“立體幾何初步”和選擇性必修中的“空間向量與立體幾何”，第一部分綜合法注重邏輯推理能力、幾何直觀能力和空間想象能力，也是我們研究立體幾何的基礎(chǔ)；第二部分引入空間向量，為解決立體幾何問題提供了新的視角.將幾何問題代數(shù)化，從而降低了思維的難度，只要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，無需刻意了解圖形的所有細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)，無需進行復(fù)雜的作圖與說理，通過向量的運算性質(zhì)就能進行幾何關(guān)系的判斷，在證明幾何元素的位置關(guān)系、計算角度和距離時優(yōu)勢明顯.

1 向量法求解立體幾何探索性問題的實踐策略

用向量法求解立體幾何中的探索性問題是從代數(shù)的角度研究幾何問題，避免不了代數(shù)運算.如何進行有效地運算并優(yōu)化運算，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)值得研究.

1.1 明晰運算對象

立體幾何探索性問題中，我們的運算對象是幾何圖形的基本元素和基本關(guān)系.向量集數(shù)與形于一體，既是數(shù)的運算，也是圖形的運算，所以用向量法解決幾何問題，要以對立體圖形的組成要素及其形狀、位置關(guān)系的分析為基礎(chǔ)，選擇適當(dāng)?shù)幕祝⒗没妆硎境鱿鄳?yīng)的幾何元素和基本關(guān)系，才能使計算與圖形特征融為一體[2].

1.2 探究運算邏輯

運算邏輯是我們解題的關(guān)鍵，它指的是如何利用向量的運算性質(zhì)來求解幾何問題，建立空間向量與立體圖形的聯(lián)系，實際上就是向量基本定理的應(yīng)用，它反映了空間向量在立體幾何中應(yīng)用的本質(zhì).明確運算對象后，以圖形結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，運用向量的基本概念和運算性質(zhì)，將復(fù)雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為更容易處理的代數(shù)關(guān)系.

1.3 巧妙設(shè)置參數(shù)

一個問題中的設(shè)參方式是多樣的，合適的設(shè)參方式也需要解題經(jīng)驗和智慧的積累.綜合設(shè)參后計算量的大小做出最優(yōu)的選擇，不僅凸顯了向量法在解決立體幾何探索性問題中的獨特優(yōu)勢，也豐富了數(shù)學(xué)思維體系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

例如，在解決“線段上是否存在點滿足特定要求”這類問題時，我們可以根據(jù)動點所在線段的位置來選擇合適的設(shè)參方式.如果動點所在的直線與坐標(biāo)軸平行，一般直接設(shè)點求點；反之，當(dāng)動點既不在坐標(biāo)軸上，也不在坐標(biāo)平面內(nèi)時，可以根據(jù)三點共線的條件，利用向量共線定理a=λbb≠0引入?yún)?shù)搭建橋梁，將相關(guān)的點或者目標(biāo)向量坐標(biāo)用參數(shù)表示[3].

1.4 優(yōu)化運算思路

以向量法求解立體幾何探索性問題為例，把握“設(shè)而不求”的方法，在解題過程中體會其內(nèi)涵.在具體應(yīng)用中，根據(jù)已知條件考慮表示相關(guān)點坐標(biāo)難易程度、計算量大小等因素選擇表示點坐標(biāo)的最優(yōu)方式.實際上，在很多立體幾何探索性問題中，動點坐標(biāo)的參數(shù)表示并不是最終目的，而是表示出與動點相關(guān)的向量坐標(biāo)，所以在實際操作中，我們往往可以不寫出動點坐標(biāo)的參數(shù)表示，而是利用向量的線性運算直接寫出和動點相關(guān)向量的坐標(biāo)參數(shù)表示.這種運算思維不僅簡化了解題過程，而且極大地提高了解題效率[4].

1.5 提升運算素養(yǎng)

在解題過程中，鼓勵學(xué)生采用一種探究的態(tài)度，通過對比和實踐，綜合考慮問題的特點、運算的復(fù)雜性以及個人的計算能力，從而選擇最合理、最簡潔的運算策略.這種以提高數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)方法，有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成系統(tǒng)的思維模式，提升運用數(shù)學(xué)知識和技能解決實際問題的能力，從而在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上得到全面的提升.

2 教學(xué)實踐與案例分析

解決這類問題的突破口是在線段上探尋一點滿足特定條件時，如何選擇合適的設(shè)參方式表達和動點相關(guān)的目標(biāo)向量，實則選擇的本質(zhì)都是從優(yōu)化數(shù)學(xué)運算的角度出發(fā).

解析 設(shè)O是AD的中點，連接OP，OB，

所以O(shè)P⊥平面ABCD.

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，

所以△ABD是等邊三角形.所以O(shè)B⊥AD.

故OA，OB，OP兩兩垂直.

設(shè)平面BDM的法向量為n=x，y，z，

思路點撥

在解決立體幾何問題時，運算能力的體現(xiàn)不僅在于計算的準(zhǔn)確性，還在于優(yōu)化算理和深刻理解“設(shè)而不求”的本質(zhì).

例2 "如圖3，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，DC=AD=PD=1，AB=2，E為線段PA上一點，點F在邊AB上，且CF⊥BD.

解析 由題意可得DA，DC，DP兩兩垂直，以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖4所示，則D0，0，0，A1，0，0，B1，2，0，C0，1，0，P0，0，1.

設(shè)點F1，t，0，t∈0，2，

設(shè)平面PFC的法向量為n=x，y，z，

令x=1，則y=2，z=2，即n=1，2，2.

設(shè)EF與平面PFC所成角為θ，

思路點撥

在本題中，我們面臨兩處探索性問題，分別是點F的位置和點E的位置.在設(shè)定參數(shù)時，考慮動點所在直線與坐標(biāo)軸的關(guān)系，選擇合適的設(shè)參方式.動點F所在的邊AB與y軸平行，則直接設(shè)動點F的坐標(biāo)為1，t，0，t∈0，2，根據(jù)動點滿足的CF⊥BD這個條件，等價

3 結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)課程致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，其中運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，對運算對象的理解、運算方向的明確、運算方法的選擇、運算程序的設(shè)計以及運算法則的掌握等方面都提出了更高的要求，這些都是培養(yǎng)運算思維的關(guān)鍵.運算素養(yǎng)的提升不僅僅是通過記憶和重復(fù)練習(xí)來實現(xiàn)，更重要的是通過深入理解運算背后的數(shù)學(xué)原理和邏輯關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和問題解決能力.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

［2］ 章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數(shù)運算刻畫規(guī)律：“空間向量與立體幾何”內(nèi)容分析與教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)通報，2021，60（06）：1-6.

［3］ 陶治國.立體幾何中基于向量法的坐標(biāo)求解算法研究[J].數(shù)理天地，2024（01）：17-18.

［4］ 孫平.巧用向量法解一類立體幾何中的探索性問題[J].中學(xué)生數(shù)理化，2024（02）：34-37.

［5］ 苗興振.例談立體幾何探究問題中的引參法[J].高中數(shù)理化，2023（01）：67-69.