例談強(qiáng)基計(jì)劃測試中的幾類數(shù)列問題

摘要本文例談了強(qiáng)基計(jì)劃測試中的部分?jǐn)?shù)列問題，并歸納總結(jié)了這類問題的考查模式及求解策略.

關(guān)鍵詞強(qiáng)基計(jì)劃；數(shù)列

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干知識之一，包含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，形式多變，考查方式較為靈活.數(shù)列問題融計(jì)算與推理于一體，綜合性與靈活性都很強(qiáng)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因而是各高校強(qiáng)基計(jì)劃招生命題的熱點(diǎn)，本文摘選強(qiáng)基計(jì)劃測試中的部分?jǐn)?shù)列問題，通過典型問題歸納總結(jié)這類問題的考查模式及求解策略.

一、數(shù)列的通項(xiàng)、求和問題

強(qiáng)基計(jì)劃測試中的通項(xiàng)、求和問題通常不是單一的簡單應(yīng)用，難度高于高考.需要變形、討論、計(jì)算，除了常規(guī)的累加、累乘方法，較多的考查特征根、不動點(diǎn)等方法.

例1（2023年中科大強(qiáng)基試題）已知正整數(shù)數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1=b1=1，且{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列.數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn，若存在正整數(shù)k滿足ck=37，ck+2=307，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式.

解設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則an=1+（n－1）d，bn=qn－1，cn=1+（n－1）d+qn－1，ck=1+（k－1）d+qk－1，ck+2=1+（k+1）d+qk+1，所以（k－1）d+qk－1=36，

（k+1）d+qk+1=306， 首先易驗(yàn)證d=0和q=1時(shí)都不滿足條件.

若k=2，那么（36－d）3=306－3d，解得d=30，q=6，符合條件，此時(shí)an=30n－29；

當(dāng)k≥3時(shí)，依此qn≥2ngt;n，由糖水不等式有（k－1）d（k+1）d=k－1k+1≥12≥qk－1qk+1，37307=1+（k－1）d+qk－11+（k+1）d+qk+1gt;（k－1）d+qk－1（k+1）d+qk+1≥（k－1）+qk－1（k+1）+qk+1gt;2+qk－14+qk+1q≥3，307≥k+2+qk+1≥5+q4q≤4，當(dāng)q=3時(shí)，9［36－（k－1）d］=306－（k+1）dd=188k－10Z，不符合題意；

當(dāng)q=4時(shí)，16［36－（k－1）d］=306－（k+1）dd=27015k－17Z，不符合題意.

綜上所述，數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=an+bn=6n－1+30n－29.

例2（2021年中科大強(qiáng)基試題（廣東））設(shè)數(shù)列{an}滿足，a1=3，并且對任意正整數(shù)m，n均有a2m+n=2am+an+2m2+4mn，求{an}的通項(xiàng)公式.

解令m=1，得an+2=an+4n+8，即an+2－an=4n+8.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=a1+（a3－a1）+（a5－a3）+…+（an－an－2）（ngt;1）

=3+4×1+8+4×3+8+…+4（n－2）+8=n2+2n；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=a2+（a4－a2）+（a6－a4）+…+（an－an－2）=a2+4×2+8+4×4+8+…+4（n－2）+8.

令m=2，n=1，得a5=2a2+a1+16=35，所以a2=8，所以an=n2+2n.綜上，{an}的通項(xiàng)公式是an=n2+2n.

二、數(shù)列的遞推關(guān)系

強(qiáng)基計(jì)劃測試中的數(shù)列基本是以遞推的形式呈現(xiàn)，考查數(shù)列通項(xiàng)、求和及數(shù)列不等式等內(nèi)容，可通過化歸與轉(zhuǎn)化，化為常見問題處理.

例3（2023年山東大學(xué)強(qiáng)基試題）已知數(shù)列{an}滿足2Sn=an+1an，則a50是多少.

解當(dāng)n=1時(shí)，2S1=a1+1a1=2a1，解得a1=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn=an+1an=Sn－Sn－1+1Sn－Sn－1，整理得S2n－S2n－1=1，

所以{S2n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以S2n=n，則Sn=n，

所以n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=n－n－1，

且當(dāng)n=1時(shí)，a1=1也滿足上式，所以an=n－n－1，所以a5a=52-7.

例4（2022年北大強(qiáng)基試題）已知數(shù)列{an}滿足a1=12，an+1=14（3+an+31+2an），則a10最接近的整數(shù)為.

解令bn=1+2an，則b1=5且an=b2n－12，則b2n+1－12=143+b2n－12+3bn，整理得4b2n+1=b2n+6bn+9.由bngt;0得2bn+1=bn+3，則bn+1－3=12（bn－3），故{bn－3}是以2為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列.

所以bn－3=2·12n－1=12n－2，所以bn=12n－2+3gt;3，an=b2n－12gt;4.

另一方面，b10=1256+3lt;110+3+3=10，所以a10=b210－12lt;92，綜上所述，4lt;a10lt;92，所以a10最接近的整數(shù)為4.

三、數(shù)列與高斯函數(shù)

數(shù)列某一項(xiàng)或前多少項(xiàng)和，往往與具體的數(shù)相關(guān)，此時(shí)是與高斯取整最佳的結(jié)合.

例5（2023年上海交大強(qiáng)基試題）已知a1=14，an+1=a2n+an，求［∑2023k=11ak+1］.

解由an+1=a2n+an得an+1=an（an+1），則1an+1=1an－1an+1，所以1an+1=1an－1an+1，所以∑2023k=11ak+1=1a1－1a2024=4－1a2024.

又an+1gt;an，且a2=516，a3=105256gt;104256=1332，所以a4gt;1332+1691024=5851024gt;916，所以a5gt;225256gt;78，a6gt;4964+5664gt;1，所以a2024gt;1，故［∑2023k=11ak+1］=4.

例6（2022年北大強(qiáng)基試題）已知［x］表示不超過x的整數(shù)，如［1.2］=1，［－1.2］=－2.已知α=1+52，則［α12］=（）.

A.321B.322C.323D.以上都不對

解記an=1+52n+1－52n，則由其所對應(yīng)的特征根方程知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1+an且a1=1，從而依次可得a2=3，a3=4，a4=7，a5=11，a6=18，a7=29，a8=47，a9=76，a10=123，a11=199，a12=322，又a12=1+5212+1－5212=322，1－5212∈（0，1），所以α12=322－1－5212∈（321，322），所以［α12］=321.故選A.

四、數(shù)列極限

數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，強(qiáng)基計(jì)劃測試能很好的體現(xiàn)出區(qū)分度，發(fā)掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，深受命題者青睞.

例7（2023年浙大強(qiáng)基試題）已知數(shù)列{an}滿足a1=12，an+1=an（1－2）n+1an+2+1（n∈N），則limn→∞nan= .

解令p=1－2，q=1+2，則1p+q=a1，1an+1－qan=pn+1①.

當(dāng)n≥2時(shí)，1an－qan－1=pn，那么pan－pqan－1=pn+1②.

兩式相減得1an+1－pan=q（1an－pan－1），所以數(shù)列{1an+1－pan}是公比為q的等比數(shù)列，則1an+1－pan=（1a2－pa1）qn－1=qn+1③.

由①③得an=p－qpn+1－qn+1=22（1+2）n+1－（1－2）n+1.

易知（1－2）n+1≥－（2－1）n+1=－1（2+1）n+1gt;－12gt;－12（1+2）n+1，（1－2）n+1≤（2－1）n+1=1（2+1）n+1lt;12lt;12（1+2）n+1，所以（1+2）·n3（1+2）42lt;nanlt;（1+2）n1+242.

又因?yàn)楫?dāng)agt;0時(shí)，limn→+∞na=1，所以limn→+∞nan=2+1.

例8（2022年清華強(qiáng)基試題） 已知數(shù)列{an}、{bn}滿足b1=2a1=4，an+1=－an－2bn，bn+1=6（an+bn），求limn→+∞anbn= .

解由an+1=－an－2bn，得到bn=－12（an+1+an），故bn+1=－12（an+2+an+1）.

代入bn+1=6（an+bn），得到－12（an+2+an+1）=6［an－12（an+1+an）］，化簡得an+2=5an+1－6an.

其特征方程為x2=5x－6，解得x1=2，x2=3，則可設(shè)an=A·2n+B·3n，結(jié)合a1=2以及a2=－a1－2b1=－10，解得A=8，B=－143，從而an=8×2n－143×3n，bn=－12（an+1+an）=－128×2n+1－143×3n+1－128×2n－143×3n=－12×2n+283×3n.

于是limn→+∞anbn=limn→+∞8×2n－143×3n－12×2n+283×3n=－143283=－12.

五、數(shù)列中的最值

數(shù)列最值可以是通項(xiàng)的最值、和的最值，也可以是參數(shù)的最值，有規(guī)律的試題按常規(guī)方法求解，離散的問題，需要邏輯推理，奇思妙想.

例9（2024年蘭州大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測試試題）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an－13a2n，a1=1，求100a100的范圍.

解因?yàn)閍n+1=an－13a2nlt;an，所以數(shù)列{an}單調(diào)遞減，所以anlt;a1=1，且angt;0，所以an+1lt;an－13anan+1，所以an+1lt;3an3+an，所以1an+1gt;1an+13，

累加得1angt;1a1+n－13=n+23，所以anlt;3n+2，

所以an+1gt;an－13an·3n+2，所以an+1angt;n+1n+2，累乘得angt;2n+1，所以2n+1lt;anlt;3n+2，

所以200101lt;100a100lt;5017.

例10（2020年北大強(qiáng)基試題）數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=9且對任意n≥1，an+2=4an+1－3an－20，其前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的最大值等于（）.

A.28B.35C.47D.前三個(gè)答案都不對

解因?yàn)閍n+2=4an+1－3an－20，則an+2－an+1－10=3（an+1－an－10）故an+1－an=10－2×3n－1，則n≥3時(shí)，數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，可求得a3=13，a4=5，當(dāng)n≥5時(shí)，anlt;0，則Sn的最大值為S4=28，所以選A.

六、數(shù)列中的計(jì)數(shù)問題

數(shù)列中的計(jì)數(shù)問題因其對背景知識要求少，便于考察學(xué)生的分析推理能力，尋找合適的分類方式的過程，非?？简?yàn)我們對題目條件的理解和分析能力.

例11（2022年北大強(qiáng)基試題）已知數(shù)列{an}共5項(xiàng)，各項(xiàng)均為正整數(shù)，且|ak+1－ak|≤1（1≤k≤4），{an}中存在一項(xiàng)為3，可能的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.

解記bi=ai+1－ai（1≤i≤4），則bi∈{－1，0，1}.

設(shè)min{a1，a2，a3，a4，a5}=a，易知當(dāng)a，b1，b2，b3，b4確定時(shí)，數(shù)列{an}各項(xiàng)間的大小順序確定，因?yàn)閧an}各項(xiàng)為正整數(shù)且存在一項(xiàng)為3，則a∈{1，2，3}.

又由于bi∈{－1，0，1}（1≤i≤4）且a∈{1，2，3}，則這樣的數(shù)列共34×3=243個(gè)，其中不符合題設(shè)條件的數(shù)列各項(xiàng)均為1或2，這樣的數(shù)列有25=32個(gè).綜上所述.符合要求的數(shù)列共有243－32=211個(gè).

七、數(shù)列與數(shù)論

質(zhì)數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)、整除和同余、完全平方數(shù)、不定方程、余數(shù)、整除、數(shù)位是最基礎(chǔ)的數(shù)論問題，它們與數(shù)列之間聯(lián)系的密切.

例12（2023年北大強(qiáng)基試題）數(shù)列{an}滿足a1=52，an+1=a2n－2，則［a2023］除以7的余數(shù)為（）.

A.1B.2C.4D.以上都不對

解由an+1=a2n－2，a1gt;2，易得angt;2，設(shè)an=tn+1tn，t1=2，則tn+1+1tn+1=t2n+1t2n.

因?yàn)閠ngt;1，所以tn+1=t2n，從而tn=22n－1，故an=22n－1+122n－1，所以a2023=222022+1222022，所以［a2023］=222022.

考慮到22022≡1（mod3），所以222022≡2（mod7）.故選B.

例13（2020年北大強(qiáng)基試題）整數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=4，且對任意n≥2有a2n－an+1an－1=2n－1，則a2020的個(gè)位數(shù)字是（）.

A.8B.4C.2D.前三個(gè)答案都不對

解因?yàn)閍2n－an+1an－1=2n－1，所以a2n+1－anan+2=2n，因此2a2n－2an－1an+1=a2n+1－anan+2，則2an+an+2an+1=2an－1+an+1an=2a1+a3a2.

因?yàn)閍22=a1a3+2，a1=1，a2=4，則a3=14，故2an+an－2an+1=2an－1+an－1an=2a1+a3a2=4，所以an+1=4an－2an，欲求個(gè)位數(shù)字，則需要讓an模10.

其結(jié)果為1，4，4，8，4，0，2，8，8，6，8，0，4，6，6，2，6，0，8，2，2，4，2，0，6，4，4，8，4，0，從a2開始周期為24，又2019=4×504+3，則a2020的個(gè)位數(shù)字是8，所以選A.

例14（2024年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃）已知斐波那契數(shù)列{Fn}滿足F1=F2=1，F(xiàn)n=Fn－1+Fn－2（n≥2），求F1958的個(gè)位數(shù).

解采用枚舉法列舉出前70項(xiàng)的個(gè)位數(shù)如下表：

F1=1F2=1F3=2F4=3F5=5F6=8F7=3F8=1F9=4F10=5

F11=9F12=4F13=3F14=7F15=0F16=7F17=7F18=4F19=1F20=5

F21=6F22=1F23=7F24 "= 8F25=5F26=3F27=8F2 8 "= 1F29=9F30=0

F31=9F32=9F33=8F3 4 "= 7F35=5F36=2F37=7F38=9F39=6F40=5

F41=1F42=6F43=7F44=3F45=0F46=3F47=3F48=6F49=9F50=5

F51=4F52=9F53=3F54=2F55=5F56=7F57=2F58=9F59=1F60=0

F61=1F62=1F63=2F64=3F65=5F66=8F67=3F68=1F69=4F70=5

所以斐波那契數(shù)列個(gè)位數(shù)是以60為周期循環(huán)數(shù)列，因?yàn)?958=32×60+38，

所以F1958的個(gè)位數(shù)與F38的個(gè)位數(shù)相同，即F1958的個(gè)位數(shù)是9．