挖掘問題幾何本質(zhì)，揭秘試題命制背景

摘要本文通過極點(diǎn)極線以及調(diào)和點(diǎn)列的幾何性質(zhì)探究了一類圓錐曲線中的定值問題，并將其推廣至一般地圓錐曲線，揭示了該題的命制背景.

關(guān)鍵詞極點(diǎn)極線；調(diào)和點(diǎn)列；質(zhì)點(diǎn)幾何法

圓錐曲線具有非常豐富的幾何性質(zhì)，但在具體的求解過程中，學(xué)生們常常通過解析法進(jìn)行求解，多數(shù)教師也是以解析法進(jìn)行教學(xué).在某些情況下，應(yīng)用解析法進(jìn)行求解時(shí)，運(yùn)算量很大，且不能發(fā)現(xiàn)問題所蘊(yùn)含的命制背景.2024年全國甲卷第20題是一道以橢圓為背景的證明問題.該題的幾何背景豐富，解法多樣.若僅從解析法求解，則很難發(fā)現(xiàn)其中的幾何本質(zhì).本文通過多角度進(jìn)行了探究，最終將該模型推廣至一般的圓錐曲線.現(xiàn)將探究過程展示如下，以饗讀者.

一、試題及分析

題目已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（1，32）在C上，且MF⊥x軸.

（1）求C的方程；（2）如圖1，過點(diǎn)P（4，0）的直線交C于A，B兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MF于點(diǎn)Q.求證：AQ⊥y軸.

分析本題第（1）問的答案為x24+y23=1，過程略；在第（2）問中，涉及到的點(diǎn)、線等幾何要素較多，如何領(lǐng)悟其中的幾何關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)鼗玖縿t成為解決本題的關(guān)鍵.其次，本題可通過同一法將原命題進(jìn)行改編，然后證明其等價(jià)命題.現(xiàn)舉例如下：

如圖1，過點(diǎn)P（4，0）的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過A作y軸的垂線交直線MF于點(diǎn)Q，求證：直線BQ恒過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為線段FP的中點(diǎn).

二、解法呈現(xiàn)

視角一"選擇恰當(dāng)基本量，計(jì)算動(dòng)點(diǎn)軌跡

解法1（以點(diǎn)為基本量求解）設(shè)直線l的方程為x=my+4，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）.聯(lián)立直線l與橢圓的方程得（3m2+4）y2+24my+36=0.根據(jù)韋達(dá)定理得y1+y2=－24m3m2+4，y1y2=363m2+4，從而y1+y2=－2m3y1y2.

設(shè)直線BN的方程為x=x2－52y2y+52，其與直線MF的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，－32y2x2－52）.

結(jié)論AQ⊥y等價(jià)于點(diǎn)A與點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相等，即有y1=－32y2x2－52，等價(jià)于－32y2=（x2－52）y1，結(jié)合直線方程等價(jià)于－32y2=（my2+32）y1.等價(jià)于y1+y2=－2m3y1y2，與上述韋達(dá)定理所得方程相同，即可得結(jié)論成立.

評注該解法展示了兩個(gè)解題技巧，（1）以“y”為主變量，設(shè)直線方程為x=my+4，在代入消元的過程中可減少運(yùn)算量（一般當(dāng)直線所過的定點(diǎn)位于x軸時(shí)采用此方式都更優(yōu)）；（2）通過研究兩個(gè)表達(dá)式y(tǒng)1y2與y1+y2間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)消元的目的，避免了韋達(dá)定理的直接代入，簡化了運(yùn)算過程.

解法2（以斜率為基本量求解）要證AQ⊥y軸，等價(jià)于證明直線AQ的斜率k1=0.

可嘗試構(gòu)造調(diào)和點(diǎn)列形成調(diào)和線束，利用調(diào)和線束的斜率關(guān)系進(jìn)行求解.

如圖2，根據(jù)條件易知點(diǎn)P（4，0）與直線FM：x=1是關(guān)于橢圓C的一組極點(diǎn)與極線.根據(jù)極點(diǎn)與極線的幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P，T，B，A（注意到四點(diǎn)的順序，本質(zhì)上為點(diǎn)P，T調(diào)和分割線段AB）即為一組調(diào)和點(diǎn)列，直線束QP，QT，QB，QA即為一組調(diào)和線束.設(shè)其斜率分別為k4，k3，k2，k1.

又因?yàn)辄c(diǎn)N是PF的中點(diǎn)，得k2=2k4，其中直線QT的斜率不存在，可記為k3=∞，在后續(xù)的計(jì)算中可利用極限進(jìn)行運(yùn)算.

根據(jù)調(diào)和線束的斜率關(guān)系可得（k1+k2）（k3+k4）k1·k2+k3·k4=2［1］，代入條件得k1·k3－3k1·k4=－2k24，即k1=－2k24k3－3k4.根據(jù)k3的特殊性得k1=limk3→∞－2k24k3－3k4=0，由此得原問題成立.

評注"該解法探討四個(gè)斜率間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了試題所蘊(yùn)含的部分本質(zhì)，極大地降低了運(yùn)算量.且發(fā)現(xiàn)該問題僅與圓錐曲線的極點(diǎn)極線相關(guān)，據(jù)此可將該問題拓展至雙曲線與拋物線等其他圓錐曲線，具體的拓展結(jié)論可參見后文.

視角二"利用幾何視角，尋找平行關(guān)系

通過上述兩種證明方法以及對題干及圖象的理解觀察可發(fā)現(xiàn)，問題的本質(zhì)等價(jià)于證明直線AQ//x軸.為此，可將原問題轉(zhuǎn)化為證明平行關(guān)系.

解法3（構(gòu)建相似三角形，發(fā)現(xiàn)平行關(guān)系）為了應(yīng)用該方法，先證明如下結(jié)論：如圖3，在ΔPFQ中，設(shè)PBBT=mn，且點(diǎn)N是PF的中點(diǎn)，則可得QBBN=2nm－n.

本文選擇向量法進(jìn)行證明.以QF，QP為基底，利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)可得QB=mm+nQT+nm+n·QP=λmm+nQF+nm+nQP，QN=12QF+12QP.

再由Q，B，N三點(diǎn)共線可得QB=μQN，即λmm+nQF+nm+nQP=μ2QF+μ2QP.根據(jù)平面向量的基本定理得λmm+n=μ2，

nm+n=μ2.

從而λ=nm，

μ=2nm+n， 即QBBN=2nm－n成立.

接下來證明ABBP=2nm－n.根據(jù)解法2知點(diǎn)P，T，B，A為調(diào)和點(diǎn)列，則得PBPA=TBTA.結(jié)合條件PBBT=mn，不妨設(shè)PB=m，BT=n，AT=x，代入上式即得mm+n+x=nx，即得x=mn+n2m－n.由此得ABBP=n+xm=2nm－n成立.則ΔABQ～ΔPBN，故AQ∥PN，即AQ∥x軸，原命題成立.

評注"該解法中使用的幾何特征主要有兩個(gè)，即點(diǎn)N是PF的中點(diǎn)以及一組調(diào)和點(diǎn)列P，T，B，A的幾何性質(zhì).據(jù)此，本文可將該問題拓展至一般圓錐曲線，以及所有的極點(diǎn)極線的結(jié)論中.

三、模型推廣

通過上述解法3可知，原問題的核心在于極點(diǎn)極線，而對于圓錐曲線有統(tǒng)一的極點(diǎn)極線定義及性質(zhì).筆者通過探究發(fā)現(xiàn)，可將原問題拓展至一般的圓錐曲線，以橢圓為例說明如下.

定理1如圖4，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），點(diǎn)P與直線QH是橢圓C的一組極點(diǎn)與極線.過點(diǎn)P作直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B.設(shè)點(diǎn)H為極線QH上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為PH的中點(diǎn)，連接NB與極線QH交于點(diǎn)Q，則有AQ//PH.

證明因?yàn)辄c(diǎn)P與直線QH是橢圓C的一組極點(diǎn)與極線，所以點(diǎn)P，T，B，A為調(diào)和點(diǎn)列.同上述解法3，設(shè)PBBT=mn可得ABBP=2nm－n.

接下來討論QBBN的值，各位讀者可參考上文進(jìn)行證明，但為了簡化運(yùn)算，本文質(zhì)點(diǎn)幾何法［3］證明.如圖5，現(xiàn)給各點(diǎn)賦予一個(gè)質(zhì)量：根據(jù)PBBT=mn，可設(shè)T的質(zhì)量為m，P的質(zhì)量為n；再由點(diǎn)N為PH的中點(diǎn)，可令點(diǎn)H的質(zhì)量為n.

根據(jù)質(zhì)量守恒，即可得點(diǎn)Q的質(zhì)量為m－n，點(diǎn)N的質(zhì)量為2n.考慮線段QN，根據(jù)兩端的質(zhì)量即可得QBBN=2nm－n.

由此即可得ΔABQ～ΔPBN，即可得AQ//PN成立，由此即可知，當(dāng)H為極線QH上的某個(gè)定點(diǎn)時(shí)，直線AQ的斜率也為定值，且該定值為PH的斜率.

特別地，當(dāng)點(diǎn)P位于x軸時(shí)，且選擇的點(diǎn)H也位于x軸時(shí)，對應(yīng)的直線AQ的斜率恒為0.原問題中的點(diǎn)P即為橢圓的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)H即為橢圓的右焦點(diǎn).

接下來，我們將該命題拓展至雙曲線與拋物線.

定理2如圖6，已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），點(diǎn)P與直線QH是雙曲線C的一組極點(diǎn)與極線.過點(diǎn)P作直線與雙曲線C交于點(diǎn)A，B.設(shè)點(diǎn)H為極線QH上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為PH的中點(diǎn)，連接NB與極線QH交于點(diǎn)Q，則有AQ//PH.

定理3如圖7，已知拋物線C：y2=2px（pgt;0），點(diǎn)P與直線QH是拋物線C的一組極點(diǎn)與極線.過點(diǎn)P作直線與拋物線C交于點(diǎn)A，B.設(shè)點(diǎn)H為極線QH上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為PH的中點(diǎn)，連接NB與極線QH交于點(diǎn)Q，則有AQ//PH.

證明過程與具體的曲線方程無關(guān)，都與定理1的方法相同，此處略.

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