踐行“理解”滲透“本質(zhì)”

摘要本文以一道涉及最值問題的模考題的解法教學(xué)為例，闡述了解題從問題表征入手的基本原理和利用基本不等式解題的教學(xué)過程.

關(guān)鍵詞一題多解；基本不等式

基本不等式是高考考查的重點內(nèi)容之一.利用基本不等式求最值的方法眾多如減元、換元、湊配等，這類題經(jīng)常出現(xiàn)在單選題和填空題，難度較大，學(xué)生在實際求解時不知如何下手.章建躍博士一再指出數(shù)學(xué)教學(xué)要基于“三個理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué).它是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的基石，也是數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證.理解數(shù)學(xué)就要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).下面以一道2025屆南通市九月調(diào)研試題第14題為例談?wù)劵静坏仁角笞钪档谋举|(zhì)特征及常用的方法.

1.問題呈現(xiàn)

題目已知3a=2+3b，則2a－b的最小值為.

題中式子結(jié)構(gòu)簡單，是兩個正實數(shù)通過加、減、乘、除和開方四種基本運算，產(chǎn)生了算數(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的內(nèi)在關(guān)系.基本不等式的本質(zhì)是什么？它是研究兩個正數(shù)的和a+b與積ab的不等關(guān)系，利用基本不等式解決問題，實際上就是兩個正數(shù)和與積的轉(zhuǎn)化過程，即“積化和”或者“和化積”的轉(zhuǎn)化過程.

2.解法探究

交流 先請大家說說，你初次見到此題一些想法和思考.

先讓幾個學(xué)生交流一下自己一些不成熟的思考和想法，然后在教師引導(dǎo)下逐步深入，需要關(guān)注學(xué)生的思維起點和知識結(jié)構(gòu)，再通過教師的逐步引導(dǎo)，深入探究出自然合理的解法.學(xué)生都表示知道要用基本不等式，中間需要一些變形和知識鋪墊，結(jié)合基本不等式求最值的一些常用方法，由此得到以下6種解法：

解法1因為3a=2+3b，所以32a－b=3a23b=2+3b23b=32b+4·3b+43b=3b+43b+4≥23b·43b+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)3b=43b，即b = log3 2時取等號，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法2因為3a=2+3b，由基本不等式得3a=2+3b≥22·3b，當(dāng)且僅當(dāng)2=3b，即b=log32時取等號，所以3a2≥4·2·3b=8·3b，所以32a3b≥8，所以32a－b≥8，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法3因為3a=2+3b，令3a=λ3bλgt;1，所以λ3b=2+3b，所以3b=2λ－1，3a=2λλ－1，所以32a－b=3a23b=2λ2λ－1=2λ－1+2λ－1+4≥24+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時取等號，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法4因為3a=2+3b，所以3a－3b=2，令3a+3b=tt≥2，所以3a=t+22，3b=t－22，所以32a－b=32a3b=t2+4t+42t－2=t－22+8t－2+162t－2=t－22+8t－2+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)t－22=8t－2，即t=6時取等號，所以2a－b≥log38，故2a－b的最小值為log38.

解法5因為3a=2+3b，所以3a－3b=2，兩邊平方得3a－3b2=4，所以32a－2·3a·3b+32b=4，所以32a－2·3a·3b+32b3b=43b，所以32a－b=43b+3a－3b+3a=43b+3a+2=43b+3b+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)3b=43b，即b=b=log32時取等號，所以2a－b的最小值為log38.

解法6因為3a+（－3b）=2，所以3a、1、－3b成等差數(shù)列.設(shè)公差為d（dlt;－1），所以3a=1－d，－3b=1+d，所以a=log3（1－d），b=log3（－1－d ），所以

2a－b=2log3（1－d）－log3（－1－d）=log3（1－d）2－1－d=log3（（－1－d）+4－1－d+4）≥log38，當(dāng)且僅當(dāng)d=－3時等號成立，所以2a－b的最小值為log38.

追問1以上我們是利用基本不等式求最值常用的方法求出結(jié)果，還有其它解法嗎？

“還有其它解法？”這不經(jīng)意的一問，學(xué)生感到很驚訝，這也引起大家探究問題的興趣，大家你一言我一語討論起來，一致認(rèn)為，借助二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值的方法.

解法7因為3a=2+3b，所以3a2－3b2=1，即3b－2a=3b32a=3b3a2=3b3a2×3a2－3b2=12·3b－a－12·3b－a2.令3b－a=ttgt;0，所以32a－b=13b－2a=2t－t2=2－t－122+14≥8，當(dāng)且僅當(dāng)t=12時取等號，所以2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

解法8令2a－b=t，即b=2a－t，因為3a=2+3b，所以3a=2+32a3t，所以13t=13a－2·（13a）2，所以3t=113a－2·（13a）2=1－2（13a－14）2+18≥8，所以t≥log38，即2a－b≥log38，所以2a－b的最小值為log38.

追問2還有其它解法嗎？聽到這一句，多數(shù)學(xué)生很吃驚，連忙讓大家想一想，在講求最值專題時說過這樣一句話：“沒有辦法的辦法是 ”.請大家把補(bǔ)充完整，哦！大家齊聲說是“求導(dǎo)??！”

解法9由3a=2+3b得a=log3（2+3b），所以2a－b=2log3（2+3b）－b=2·ln（2+3b）ln3－b.令f（x）=2ln3·ln（3x+2）－x，求導(dǎo)f′（x）=2ln3·3x·ln33x+2－1=2·3x－3x－23x+2，令f′（x）=0，解得x=b=log32，所以f（x）在（－∞，b=log32）上單調(diào)遞減，在（b=log32，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）有最小值為f（b=log32）=2ln3·ln4－b=log32=log38，所以2a－b的最小值為log38.

到此，以為解題結(jié)束，突然一個學(xué)生急忙站了起來說：“老師，我還有一種方法”，我是利用換元，結(jié)合三角函數(shù)的有界限，由此得到：

解法10因為3a=2+3b，所以3a2－3b2=1.令3a=x2（x≠0），3b=y2（y≠0），則x22－y22=1（x≠0，y≠0）.令x=2cosθ，y=2sinθcosθ（θ≠kπ+π且θ≠kπ+π2，k∈Z），則3a=2cos2θ，3b=2sin2θcos2θ，所以32a－b=4cos4θ×cos2θ2sin2θ=8sin22θ≥8，當(dāng)且僅當(dāng)sin22θ=1時取等號，所以2a－b≥log38，.所以2a－b的最小值為log38

你真是太棒了，想到如此巧妙方法！

3.變式訓(xùn)練

（1）若ex－ey=e，x，y∈R，則2x－y的最小值為 .

（2）已知agt;1，bgt;1，aa－1=2a，bb－1=log2b，則以下結(jié)論中正確的是（ ）.

A.a+2a=b+log2bB.12a+1log2b=1

C.a－blt;－2 "D.a+bgt;4

4.教學(xué)啟示

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，解題是主旋律.但教師很容易陷入“就題論題”的教學(xué)誤區(qū)，僅僅停留在把題目的答案求解出來，從而使課堂變得枯燥乏味，缺乏新知的生成，學(xué)生思維能力的靈活性和深刻性很難得以進(jìn)一步提升，所以要讓學(xué)生理解問題的本質(zhì)，關(guān)注解題基本模型，聚焦問題表征.學(xué)生的知識表征可以是語言、文字、圖像、公式、概念圖、知識結(jié)構(gòu)圖等.同一知識可以用多種方式來表征，教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇最佳的方式獲取表征知識，幫助學(xué)生更好地探索解決問題的思路，猜想結(jié)果，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).教師在此過程中引導(dǎo)學(xué)生思考解決思路的異同，通過類比歸納，尋找解題模型，搭建問題線索，立足從問題表征的角度去比較問題解決思路的異同，形成解題程序.再次，抓住通解通法，形成解題程序.通解通法是解決某類問題最合理的想法、最基本的思路、也是最普遍的操作程序.通過一題多解、多解歸一，讓學(xué)生掌握處理一個基本模型的方法，理解方法背后所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，知道如何應(yīng)用到其他情境中去，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).變式訓(xùn)練變化的是題目，不變的是通解通法，通過對問題的變式的探究和原問題的推廣，幫助學(xué)生掌握一類數(shù)學(xué)問題的解法，從而形成解題模塊，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).